Formelsammlung: Methoden der empirischen Wirtschaftsforschung

Verallgemeinertes lineares RegressionsmodellVerallgemeinerte KQ-Schätzungˆβ = (X ′ Ω −1 X) −1 X ′ Ω −1 y (53)Transformierte Regressionsgleichung bei Heteroskadstiey i= β 0 x 1i x ki+ β 1 + · · · + β k + u i(54)σ i σ i σ iσ i σ iTransformierte Regressionsgleichung bei Autokorrelation erster OrdnungAutokorrelationskoezienty t − ρy t−1 = (X t − ρX t−1 )β + u t − ρu t−1 (55)ˆρ =T∑û t û t−1t=2T∑û 2 t−1t=2MehrgleichungsmodellZweigleichungsmodell scheinbar unverbundener Regressionsgleichungen (SUR)y =( )y1=y 2(56)( ) ( )X1 0 u1β + =: Xβ + u (57)0 X 2 u 2Kovarianzmatrix der Störgröÿen im Zweigleichungsmodell( ( )u1 σ11 I σΩ = V =12 Iσ 21 I σ 22 Iu 2)Schätzer für die Kovarianz der Störterme zwischen den Gleichungenˆσ 12 = 1 nn∑i=1Test auf Diagonalität der Kovarianzmatrixλ = nL∑Spezialfall: Zweigleichungsmodelll−1 ∑l=2 l ′ =1(58)û 1i û 2i (59)r 2 ll ′ a ∼ χ 2 L(L−1)/2 (60)λ = nr 2 12 = n ˆσ2 12ˆσ 11ˆσ 22 a ∼ χ 2 1 (61)7

Simultanes MehrgleichungsmodellReduzierte Form2SLS-Ansatz zweite Stufe2SLS-SchätzungTest auf ÜberidentikationsrestriktionenΓy = Bx + u (62)y = Γ −1 Bx + Γ −1 u =: Πx + v (63)y 1 = Ŷ1γ 1 + X 1 β 1 + u 1 =: Ẑ1α 1 + u 1 (64)ˆα 2SLS1 = (Ẑ′ 1Ẑ1) −1 Ẑ 1 y 1 (65)T = û′ 1rû 1r − û ′ 1uû 1u n − l·û ′ 1û 1 l − g 1 − k 1 + 1 ∼ F l−g 1−k 1 +1n−l (66)Basismodell für ExogenitätstestExogenitätstestSystem-R 2y 1 = Ẑ1α 1 + (Ŷ 1 , ˆX11 )˜α 1 + ɛ (67)T = ˆ˜α ′ 1[ ˆV (ˆ˜α 1 )] −1ˆ˜α 1 ∼ χ 2 l ′ (68)˜R2 = 1 − detÛ ′ ÛdetY ′ YTest auf Nullhypothese, dass alle Koezienten im System gleich Null sind(69)mit l = Zahl der Parameter des Gesamtsystems.−n(ln(1 − ˜R 2 )) ∼ χ 2 l (70)8

Modelle mit nichtmetrischen VariablenQualitative Information als DummyvariableD = { 1, wenn Beobachtungsträger Merkmal A0 sonst(71)Einfache Regression mit Dummy als RegressorIndikatorvariableLineares Wahrscheinlichkeitsmodelly = β 0 + β 1 D + u (72)I = { 1, wenn U 1 ≥ U 00, wenn U 1 < U 0(73)I = β 0 + β 1 X + u (74)E(I) = 1 · P (I = 1) + 0 · P (I = 0) = β 0 + β 1 X (75)Latentes Nutzenmodell0 ≤ Î = ˆβ 0 + ˆβ 1 X ≤ 1 (76)U = α 0 + α 1 X + ε (77)P (I = 1) = P (U 1 ≥ U 0 ) = P (U ≥ 0) = P (ε ≥ −α 0 − α 1 X) =1 − P (ε < −α 0 − α 1 X) = Φ(α 0 + α 1 X) =LikelihoodfunktionL =n∏i=1Ableitung der Log-Likelihoodfunktion nach α 0∂ ln L∂α 0=∫ E(I)−∞(2π) − 1 2 e− ε2 2 dε (78)P (I i = 1) Ii · P (I i = 0) 1−I i(79)(n∑ ∂ ln LI ii=1∂Φ(α 0 + α 1 X i ) · ∂Φ(α )0 + α 1 X i )∂α 0−(1 − I i )∂ ln L∂(1−Φ(α 0 +α 1 X i )) · ∂Φ(α 0+α 1 X i )∂α 0)= 0 (80)9

Marginaler Eekt eines Regressors auf den Regressanden im Probitmodell∂P (I i = 1)∂X i= Φ ′ (α 0 + α 1 X i )α 1 = ϕ(α 0 + α 1 X i )α 1 (81)Pseudo-Bestimmtsheitsmaÿ nach McFaddenLikelihood-Verhältnis-Test0 ≤ P seudo − R 2 = 1 − lnˆLlnˆL 0≤ 1 (82)λ = −2[lnL − lnL 0 ] ∼ χ 2 1 (83)10

Dynamische RegressionsgleichungDynamische Modelley t =T ∗∑τ=0Bayessches Informationskriterium nach Schwarzb τ x t−τ + u t (84)SC = ln ˆσ 2 ML,T ∗ + T ∗ ln TTAutoregressiver Prozess p-ter Ordnung(85)y t = θ 0 +p∑τ=1Autoregressiver Prozess erster OrdnungAutokorrelationsfunktionE(y) = θ 01 − θ 1; V (y) = σ21 − θ 2 1ρ τ = Cov(y t, y t−τ )V (y)Folge der partiellen Autokorrelationskoezientenθ τ y t−τ + u t (86)(87)= θ τ 1 τ = 1, 2, . . . (88)y t = θ 1 0 + θ 1 1y t−1 + u 1y t = θ 2 0 + θ 2 1y t−1 + θ 2 2y t−2 + u 2.y t = θ p 0 + θ p 1y t−1 + θ p 2y t−2 + . . . + θ p py t−p + u pTest auf AutokorrelationskoezientenT k =ˆθ kk √ 1T(89)Partielle Anpassungy t − y t−1 = y ∗ t − y t−1 (90)y t − y t−τ = γ(y ∗ t − y t−1 ) 0 < γ < 1 (91)y ∗ t = a + bx t + u t (92)11

Test auf H 0 : ρ τµ ∗ k = 1 2 ln 1 + ρ k1 − ρ k(103)Kondenzintervall für µ∗− 2 √T< µ ∗ < + 2 √T(104)Ljung-Box-TestARMA(p,q)-ProzessQ = (T + 2)Tτ∑τ ′ =1r 2 τ ′T − τ ′ > χ 2 τ−q, (105)p∑q∑y t = α + θ τ y t−τ + α τ u t−τ + u t (106)τ=1τ=1ARCH-Modell erster Ordnungσt 2 = γ 0 + γ 1 u 2 t−1 (107)Schätzung des ARCH(1)-Modellsû 2 t = γ0 1 + γ1 1 · û 2 t−1 + ɛ t (108)(û2tˆσ t− 1) = γ 2 0( 1ˆσ t) + γ 2 1(û2 t−1ˆσ t) + ˜ɛ t (109)(û t · str t) = (x t · r t ) ′ d β + v t (110)ˆβ = ˆβ + ˆd β (111)Mehrgleichungsmodell mit verzögerten Variablen (Haavelmoo-Modell)Y t = C t + I t + G tC t = c 0 + c 1 Y t−1I t = b 0 + b 1 (Y t−1 − Y t−2 ) (112)13

Y t = (b 0 + c 0 ) + (b 1 + c 1 )Y t−1 − b 1 Y t−2+G t =: d 0 + d 1 Y t−1 + d 2 Y t−2 + G t (113)∆Y t = (b 1 + c 1 )∆Y t−1 − b 2 ∆Y t−2 + ∆G t (114)Dynamisches zweigleichungsmodell: Konsum- und EinkommensfunktionC t = α 0 + α 1 Y t + α 2 C t−1 + u 1tReduzierte FormY t = β 0 + β 1 Y t−1 + β 2 C t−1 + u 2t (115)C t = π 01 + π 11 C t−1 + π 21 Y t−1 + v 1tY t = π 02 + π 12 C t−1 + π 22 Y t−1 + v 2t (116)Vektorschreibweisey t = π 0 + Π 1 y t−1 + v t (117)Random-Walk-Prozessy t = θ 0 + y t−1 + u t (118)t∑y t = y 0 + θ 0 t + u ′ t (119)t ′ =1Modell mit Trend und DriftE(y t ) = θ 0 t; V (y t ) = tσ 2 (120)y t = a + bt + u t (121)E(y t ) = bt; V (y t ) = σ 2 (122)Scheinregressiony t = a 0 + a 1 t + u 1 ; x t = b 0 + b 1 t + u 2 (123)14

y t = c 1 x t + u 3 (124)Dierenzenbildung∆y t = β 0 + β 1 ∆x t + ∆u t (125)Ausgangsmodell für Test auf Stationaritäty t = θ 0 + θ 1 y t−1 + bt + u t (126)Umformung durch Dierenzenbildung∆y t = θ 0 + (θ 1 − 1)y t−1 + bt + u t (127)TeststatistikT S = (û′ Rû R − û ′ Uû U )/2û ′ Uû U /(T − 3)(128)15