Mechanik der Kontinua Blatt 8 — Rohre und Platten

Prof. Roland NetzLehrstuhl Weiche Materie T37netz@ph.tum.deMechanik der KontinuaBlatt 8 — Rohre und Plattenhttp://www.ph.tum.de/lehrstuehle/T37/teaching.htmlAusgabe 7.12.061) Strömungswiderstand in einem Rohr: Die beiden gebräuchlichen Widerstandskoeffizientenλ und ψ der Strömung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit durchein zylindrisches Rohr sind durch∆p = λ L ρvav22R 2und∆p = 2ψ L ρvmax2R 2definiert. Dabei bezeichnen ∆p den Druckabfall über dem Rohr, ρ die Dichte derFlüssigkeit, L und R die Länge bzw. den Radius des Rohrs und v av und v maxdie mittlere bzw. die maximale Geschwindigkeit der Flüssigkeit. Verwenden Siedie Lösung für [ die radiale ] Geschwindigkeitsverteilung in einem zylindrischen Rohrv z = − R2 ∆p1 − r2 um zu zeigen, dass die Widerstandskoeffizienten durch die4η L R 2mit der mittleren bzw. der maximalen Geschwindigkeit berechneten Reynoldszahlausgedrückt werden können:λ = 64R av, ψ = 4R max2) Strömung über eine oszilliernde Platte: Betrachten Sie eine unendlich ausgedehntePlatte bei y = 0 die mit der Geschwindigkeit U cos(ωt) entlang der x-Richtung oszilliert.a) Erklären Sie, warum die Lösung als v = (v(y, t), 0, 0) geschrieben werden kann,und warum die Navier-Stokes Gleichung die Form∂v∂t = ν ∂2 v∂y 2annimmt.b) Zeigen Sie, dassv(y, t) = Ue −ky cos(ky − ωt) ,wobei k = √ ω2ν . Verwenden Sie dazu den Ansatz v = Re(f(y)eiωt ) = f(y)cos(ωt).Nehmen Sie no-slip Randbedingungen auf der Oberfläche der Platte und v = 0 beiy → ∞ an.1

3) Flachwasserströmung: a) Berechnen Sie die Geschwindigkeits- und Druckverteilungder stationären Strömung, die sich längs einer schiefen Ebene aufgrund derSchwerkraft ausbildet. Die Höhe der Strömung senkrecht zur Platte sei H, der Neigungswinkelα.b) Welche Kraft wirkt die Wand auf das Fluid aus?c) Der Volumendurchsatz pro Breite der Strömung sei ˙V /b. Berechnen Sie hierausdie Höhe H der Strömung.Lösung1) Strömungswiderstand in einem Rohr: Der Volumenfluss durch das Rohrist:∫˙V = 2π= − 2πR24η∆pL∫ R0[1 − r2∫ Rv(r)rdr = 2π v(r)rdr0]rdr = − 2πR2R 2 4η= − πR48η∆pL .∆pL[ r22 − r44R 2 ]∣ ∣∣∣RIndem wir durch den Querschnitt teilen erhalten wir für den Betrag der mittlerenGeschwindigkeitv av = R2 ∆p8η LWir setzen nun ∆p aus dieser Formel in die Definition von λ ein,λ =64η = 64 ,ρRv av Re avwobei die Reynoldszahl als Re av = v av d/ν über den Durchmesser, d = 2R, definiertist.Der Betrag der maximalen Geschwindigkeit ist durchgegeben, undv max = R2 ∆p4η L = 2v avψ =4η = 4 .ρRv max Re maxwobei die Reynoldszahl jetzt als Re max = v max R/ν definiert ist.2) Strömung über eine oszilliernde Platte:a) Wir betrachten die Navier-Stokes Gleichung für die x-Komponente der Geschwindigkeit∂v x∂t + v ∂v xx∂x + v ∂v xy∂y + v ∂v xz∂z = −1 ρ[∂p ∂ 2∂x + ν v x∂x 2+ ∂2 v x∂y 20]+∂2 v x∂z 2Im vorliegenden Fall ist die Geschwindigkeit unabhängig von x und z, so dass nurdie Ableitungen in y-Richtung nichtverschwindende Beiträge liefern können, daher∂v x∂t = ν ∂2 v x∂y 2 .2

) Mit dem Ansatz v = Re(f(y)e iωt ) = f(y)cos(ωt) erhalten wir aus der letztenGleichungiωf(y)e iωt = νf ′′ (y)e iωt .Lösungen haben die Form f(y) = e ay , damit folgta 2 − iω ν ⇒ a = ± √iων = ± √ ωνWir führen nun den Wellenvektor k = √ ω2ν1 + i√2.ein, und schreibenf(y) = Ae ky(1+i) + Be −ky(1+i) .Um die Randbedingung bei y → ∞ zu erfüllen müssen sämtliche Lösungen mitpositiven reellen Exponenten verschwinden, d.h. A = 0 undv x = Re[Be −ky(1+i) e iωt ] = Re[Be −ky e i(ωt−ky) ] = Be −ky cos(ky − ωt) .Die Randbedingung bei y = 0 erfordert v x (y = 0) = U cos ωt, und daher B = U.Das Geschwindigkeitsprofil lautet alsov x (y, t) = Ue −ky cos (ky − ωt) .3) Flachwasserströmung: Für diese Geometrie ist es zweckmäßig das Koordinatensystemso zu legen, dass die x-Achse parallel und die y-Achse senkrecht zur Platteverlaufen. Die Strömung ist unabhängig von der z-Richtung. In diesem Fall lautetdie stationäre Navier-Stokes Gleichung für die x-Komponente der Geschwindigkeit0 = − ∂p∂x + ν ∂2 v x∂y + ρg 2 xwobei g x = g sin α die Projektion der Gravitationsbeschleunigung auf die x-Achsebezeichnet. Die stationäre Strömung über eine unendlich ausgedehnte Platte istunabhängig von x, daherν ∂2 v x+ ρg sin α = 0 .∂y2 Nach zweimaliger Integration erhalten wirv x = −ρg sin αy 2 + Ay + B .2νNun bestimmen wir die Integrationskonstanten aus den Randbedingungen:undSchließlichy = H :∂v x∂y= 0 ⇒ A =ρgH sin ανy = 0 : v x = 0 ⇒ B = 0 .ρg sin αv x = −ν] [Hy − y2.2b) Die Kraft pro Einheitsfläche auf die Flüssigkeit muss der Beschleunigung derFlüssigkeit durch die Gravitation entgegenwirken, daraus folgtf xA = −η ∂v x∂y | y=0 = −Hρg sin α3

undf yA= Hρg cos α .c) Den Volumenfluss erhalten wir durch Integration des Geschwindigkeitsprofils:∫ Hρg sin αH3˙V = b v x (y)dy = b .03νFür gegebenen Volumenfluss ist die Höhe der Flüssigkeit also durchgegeben.(3νH =˙Vbρg sin α) 1/34