Tunnelmodell für Gläser:

Tunnelmodell für Gläser:
x
4.1.2 Gläser
x
• Bewegungszustände von Eigendefekten
• z. B. teilvernetzte SiO 2 -Tetraeder in Quarzglas
2 3 4
V(x) = a x + bx + cx
O
O
Si
O
O
O
Si
O
O
Konfigurations-Koordinate
anharmonische Terme
• Glas: a, b, c schwanken von Ort zu Ort
• Schwankungen mit schwach negativem a:
a
s
2 3 4
V(x) =− a x + b x + c x
∆
V
• s häufiger in unterer Mulde, a mehr oben
• schwankende b, c ⇒ schwankende V, ∆
x
asymmetrisches
Doppelmulden-Potenzial

Zustandsdichte und spezifische Wärme:
4.1.2 Gläser
• einfachste QM für asymmetrisches Potenzial:
2 2
E = ∆ + E tunnel
Asymmetrie
Tunnelaufspaltung
• alle V und ∆ gleich häufig ⇒ jedes E gleich häufig (lässt sich zeigen)
• d. h. Zustandsdichte D(E) ≡ D 0 = const
innere Energie
∞
⎛ E ⎞
2
⇒ U = ∫D(E) ⋅f⎜
⎟⋅ EdE = (kBT) D0
x f(x)dx mit x =
⎝kT
∫
B ⎠
0
Besetzungszahl
• U ∝ T² ⇒ C ≡ dU/dT ∝ T
const
+...T³
E
kT
B
d. h. linearer Term erklärbar durch Tunnelmodell
aber: erhöhter T³-Term evtl. D(E) = D 0 +D 1 E²
weitere Info durch Wärmeleitung

4.1.3 Schwere Fermionen
• Elektronische spezifische Wärme bis zu 1000× vergrößert
3
• Normalfall: C= γ ⋅ T+ A⋅T
siehe Kittel
Elektronen
Phononen
• Beispiel: Kalium
C/T
y
= γ + A⋅T
x
2
γ
A
Achsenabschnitt: γ≈2 ·10 -3 J/mol K²
sehr klein, nur bei T < 1 K deutlich messbar

CeCu 6 :
4.1.3 Schwere Fermionen
• C ∝ T
Phononen vernachlässigbar!
C 1, 5 J / mol K
2
• γ= =
T
• ca. 1000 × größer als sonst
• wegen γ∝D(E F ) ∝ m * :
m * ≈ 10 3 m e
"schwere Fermionen", "heavy Fermions"
• ähnlich: CeAl 3 , UBe 13 mit teilweise gefüllten 4f-oder 5f-Schalen

Schwer-Fermion-Supraleiter:
4.1.3 Schwere Fermionen
• z. B. CeCu 2 Si 2 :
Sprung in spez. Wärme riesig!
d. h. "schwere" Elektronenpaare
Elefantenhochzeit

4.1.3 Schwere Fermionen
weitere Schwer-Fermionen-Supraleiter:
• Deutung des Mechanismus: "Kondo-Gitter"
siehe später bei elektr. Leitfähigkeit

Programm:
4. Materialeigenschaften bei tiefer Temperatur
✔
4.1. Wärmekapazität
4.1.1. Tunnelzustände
4.1.2. Gläser
4.1.3. Schwer-Fermionen-Systeme
4.2. Wärmeleitung
4.2.1. Isolatoren
4.2.2. Gläser
4.2.3. Kapitza-Widerstand
4.2.4. Metalle
4.3. ballistische Phononen
4.3.1. Wärmepulse
4.3.2. Kapitza-Problem mit Pulsen
4.3.3. monochromatische Phononen
4.4. Elektrische Leitfähigkeit
4.4.1. Kondoeffekt
4.4.2. Schwere Fermionen
✔

4.2 Wärmeleitung
4.2.1 Isolatoren
• es war:
Wärmestromdichte
• hier:
• reines Material:
(siehe 3.2.1 und 3.2.5)
bei tiefer Temperatur:
j
U
dT
=−K dx
Wärmeleitfähigkeit
Wärmeleitung durch Phononen
nur Oberflächen-Streuung
Temperaturgradient
∝T 3
ballistisch N-Prozesse
U-Prozesse

4.2.1 Wärmeleitung in Isolatoren
Beispiel: KCl mit Li + - Tunnelzuständen
• zusätzliche Streuung durch Li +
• Minimum bei ∼ 0,8K
• Tunnelzustände:
∆
∆
∆
Resonanzstreuung
l
∆
2∆
ħω
T min ∝∆
nicht aufgelöst

4.2.1 Wärmeleitung in Isolatoren
allgemein: Wärmeleitungs-Spektroskopie
• thermisches Phononenspektrum
• Maximum bei ∼ 3,8 k B T
"Wiensches Verschiebungsgesetz"
• Resonanzlinie wird abgebildet
• Nachteile:
Intensität nimmt zu ∝ T²
Auflösung ∼ k B T
mäßig
• Vorteil: einfaches Verfahren

4.2.1 Wärmeleitung in Isolatoren
weitere Beispiele: Massendefekte
• schweres Atom an Gitterplatz:
schwerer
= Masse-Feder-System
mit Resonanz
"Massendefekt-Streuung"

Isotopenstreuung
4.2.1 Wärmeleitung in Isolatoren
• Masse schwankt
von Ort zu Ort:
• isotopenreine Elemente:
Na, F
siehe 3.2.5 (2. Schall in FK)

4.2.2 Wärmeleitung in Gläsern
• Unordnung ⇒ Tunnelzustände mit breiter ∆ -Verteilung (siehe 4.1.2)
"2-Niveau-Systeme"
• ⇒ Resonanzstreuung bei allen Frequenzen
E
D 0 +D 1 E²
D(E)
D 0
• ⇒ bei allen Temperaturen geringere Wärmeleitung
• Phonon-2NS-Kopplung ∝ zur Deformation: ε≡∂u/∂x ∝ k ∝ ω∝E ∝ T
• ⇒ l -1 ∝ D(E)·E = D 0 E + D 1 E 3 ∝ D 0 T + D 1 T 3
1
⇒ K = C vl
∝
3
const
T 3
3
T
DT+
DT
0 1
3
log K
Kristall
T 2
T 3
Glas
const
log T

4.2.3 Kapitza-Widerstand
• Wärmewiderstand an der Grenzfläche Festkörper-flüss. Helium
• Experiment von Kapitza (1940):
Messung der Wärmeleitfähigkeit von He II
heizen:
He II
Cu-Blöcke
T 1 > T 2
T 1 -T 2 ∝ P
Abstand variieren:
T 1 -T 2 ungeändert!
bis herab zu 0,1 mm
Heizer
P=U·I
Temperatur
-Sensor
Kryostat
T 1
T 2
fest
verschiebbar
Vakuum

Folgerungen:
4.2.3 Kapitza-Widerstand
• He II hat keinen Wärmewiderstand siehe 3.2.1: nur Wandstreuung
• trotzdem ist T 1 > T 2 :
T − T
⇒ Grenzflächen-Widerstand: R
K
P
• erster Erklärungsversuch durch Khalatnikov 1952:
1 2
= "Kapitza-Widerstand"
Wärmetransport durch akustische Transmission von Phononen
FK
He
reflektiert
einlaufend
transmittiert

akustische Fehlanpassung:
4.2.3 Kapitza-Widerstand
• Transmissionskoeffizient der Intensität: (⊥ Einfall, hier ohne Herleitung)
t
=
4Z Z
1 2
( Z + Z )
1 2
2
akustische Impedanz
≙ Brechungsindex
mit Z = ρ ·v
• Beispiel: Cu: He:
Dichte
Schallgeschwindigkeit
ρ = 9 ·10 3 kg/m 3 ρ = 0,14 ·10 3 kg/m 3
v L = 4,8 ·10 3 m/s
v L = 0,24 ·10 3 m/s
⇒ Z Cu ≈ 10 3 ·Z He und t ≈ 0,4% "akustische Fehlanpassung"
• Kapitza-Widerstand: 1/R K ≈ (1/4) C FK ·v FK ·t ∝ T 3
100 × zu klein!
stimmt
mehr dazu später in 4.3.2
"anomale Transmission"

Programm:
4. Materialeigenschaften bei tiefer Temperatur
4.1. Wärmekapazität
4.1.1. Tunnelzustände
4.1.2. Gläser
4.1.3. Schwer-Fermionen-Systeme
4.2. Wärmeleitung
4.2.1. Isolatoren
4.2.2. Gläser
4.2.3. Kapitza-Widerstand
4.2.4. Metalle
✔
4.3. ballistische Phononen
4.3.1. Wärmepulse
4.3.2. Kapitza-Problem mit Pulsen
4.3.3. monochromatische Phononen
4.4. Elektrische Leitfähigkeit
4.4.1. Kondoeffekt
4.4.2. Schwere Fermionen

4.2.4 Wärmeleitung in Metallen
2
1
• Wärmeleitfähigkeit der e – 2 1 π n kBT
2
: Ke = C vFτ= ⋅ ⋅vFτ
3 3 2T
F
=
2
π nk B
τ
3m
T
• elektrische Leitfähigkeit:
σ=
2
neτ
m
Sommerfeld
• τ eliminieren:
K
π k
= σ
3e
2 2
B
e 2
T = L σT
0
Lorentz-Zahl L 0 = 2,44×10 -8 A²/K²
"Wiedemann-Franz-Gesetz" (siehe Kittel)
• Ladungstransport ∝ Wärmetransport
• gute Leiter sind auch gute Wärmeleiter
• sonst nichts Neues

Aktuell:
4.2.4 Wärmeleitung in Metallen
Violation of the Wiedemann-Franz law in the normal state of a cuprate superconductor
(Robert Hill, University of Toronto)
The question as to whether the high temperature cuprate superconductors have an
underlying normal groundstate described by Fermi liquid physics remains a
pertinent one. In an attempt to shed light on this issue the thermal and charge
transport in the high-Tc superconductor Pr 1.85
Ce 0.15
CuO 4
were investigated in the
normal state down to very low temperature, accessed by applying a magnetic
field normal to the CuO 2
planes up to 14 T. The charge transport exhibits good
metallic behaviour down to 0.05K, whilst the corresponding thermal conductivity
shows no component compatible with fermionic heat transport (linear in
temperature). This complete violation of the Wiedemann-Franz law is strongly
suggestive of a breakdown of Fermi liquid theory.
http://www.cap.ca/congress2001/invAbstracts/Hill-DCMMP.htm

4.2.4 Wärmeleitung in Metallen
Wärmeleitung in Pr 1.85 Ce 0.15 CuO 4 :
Cuprat-SL, T c ≈ 20K, B c2 (0) ≈ 8T
NATURE | VOL 414 |
13 DECEMBER 2001
K gesamt = K e +K ph ≡ aT +b T³
Elektronen
Phononen
K ges /T = a +b T²
Achsenabschnitt
Steigung
• SL (B=0): K e = 0 bzw. a=0
⇒ K ges /T =b T²
Nullpunktsgerade
• NL (13 Tesla):
a = L 0 σ Wiedemann-Franz
Messung: a=0 bleibt; b wächst; K ges ∝ T³
http://www.physics.utoronto.ca/~louis/Article-Hill-13dec2001.pdf
0,1 K
⇒ C ∝ T³
keine Fermiflüssigkeit !
0,2 K