Kryptographie und Komplexit¨at

Pohlig-Hellman Algorithmus für x = log 5 3 in Z 2017• Reduktion auf Primzahlpotenzen– Die Gruppenordnung istn = 2016 = 25·32·7– Zu berechnen sind x 2 = log 5 633 63 = log 500 913,x 3 = log 5 2243 224 = log 576 1933 und x 7 = log 5 2883 288 = log 1879 1879• Berechnung von x 2 = ∑ 4i=0 x 2,i 2 i– Es ist g ∗ = 500 16 mod2017 = 2016 und 913 16 mod2017 = 1– Damit ist x 2,0 = log 2016 1 = 0– Es ist y 2,1 = (913·500 0 ) 8 = 913 8 = 2016 also x 2,1 = log 2016 2016 = 1– Es ist y 2,2 = 1579 4 = 2016 also x 2,2 = log 2016 2016 = 1– Es ist y 2,3 = 1 2 = 1 also x 2,3 = log 2016 1 = 0– Es ist y 2,4 = 1 also x 2,4 = log 2016 1 = 0– Insgesamt ergibt sichx 2 = 6• Berechnung von x– Analog ergibt sich x 3 = 4 undx 7 = 1– Lösung der simultanen Kongruenzen x≡6mod32, x≡4mod9 undx≡1mod7 ergibt x = 1030KRYPTOGRAPHIE UND KOMPLEXITÄT §5.2: 10 ANGRIFFE AUF DISKRETE LOGARITHMEN