Kryptographie und Komplexit¨at

Pollard ρ: Ablaufbeispiel• Trace der Berechnung von log 89 618 in Z 809– Ordnung vong = 89 in(Z ∗ 809,·) ist n = 101– WähleG 1/2/3 = {g≤808|g≡1/0/2 mod 3}Schleife 1. β = 618 a = 0 b = 1 β’ = 76 a’ = 0 b’ = 2Schleife 2. β = 76 a = 0 b = 2 β’ = 113 a’ = 0 b’ = 4Schleife 3. β = 46 a = 0 b = 3 β’ = 488 a’ = 1 b’ = 5Schleife 4. β = 113 a = 0 b = 4 β’ = 605 a’ = 4 b’ = 10Schleife 5. β = 349 a = 1 b = 4 β’ = 422 a’ = 5 b’ = 11Schleife 6. β = 488 a = 1 b = 5 β’ = 683 a’ = 7 b’ = 11Schleife 7. β = 555 a = 2 b = 5 β’ = 451 a’ = 8 b’ = 12Schleife 8. β = 605 a = 4 b = 10 β’ = 344 a’ = 9 b’ = 13Schleife 9. β = 451 a = 5 b = 10 β’ = 112 a’ = 11 b’ = 13Schleife 10. β = 422 a = 5 b = 11 β’ = 422 a’ = 11 b’ = 15– Resultat: x = (a− n a ′ )(b ′ − n b) −1 = 95·n4 −1 = 95·n76= 49• Erweiterung des Algorithmus– Originalverfahren bricht ab, wenn gcd(b 2k −b k ,n)≠1– Kongruenz (a k −a 2k )≡x·(b 2k −b k )modn hat d mögliche Lösungen x iwenn d = gcd(b 2k −b k ,n) > 1– Für kleine d kann man für alle x i prüfen, obg x i = y istKRYPTOGRAPHIE UND KOMPLEXITÄT §5.2: 7 ANGRIFFE AUF DISKRETE LOGARITHMEN