Kryptographie und Komplexit¨at

Pollard ρ Algorithmus• Modifikation der Pollard ρ Faktorisierung– Suchea≠a ′ ,b≠b ′ ∈Z nmit g a·yb b′= ga′·y – Ist x = log g y inGso gilt g a·g x·b = g a′·g x·b′ also g a+x·b = g a′ +x·b ′somit a+x·b≡a ′ +x·b ′ modn bzw. (a−a ′ )≡x·(b ′ −b)modn– Damit ist x = (a−a ′ )(b ′ −b) −1 modn falls gcd(b ′ −b,n)=1Bei Erzeugung einer Zufallsfolge mit O( √ n) Elementen findet mandiese Kollision mit Wahrscheinlichkeit 50% (Geburtstagsparadox)• Erzeuge und prüfe Zufallskandidaten– Berechne Folge (β 1 ,a 1 ,b 1 ), (β 2 ,a 2 ,b 2 )... mit β i = g a i·y b iund (β i+1 ,a i+1 ,b i+1 ) = f(β i ,a i ,b i ) für eine “Zufallsfunktion” f– Gilt β i = β j für eini