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Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Der noch gebrauchte Wert „ω“ kann einfach über dieBewegungsdifferentialgleichung berechnet werden. Für dieEnergien gilt dann:⇒⇒⇒EEEkinpot1= mx′21 2= kx2+ Ekin pot=2E1 2 1 2m x′+ kx = E2 2kx′ + x = 0mDie Charakteristische dieser Bewegungsdifferentialgleichung:2 kλ + m= 0⇒⇒λ 1;2= ±−a ± ib = 0 ± ikmkmSchwingungsfähig dann, wenn gilt:km> 0Da diese Bedingung uneingeschränkt gilt (Die Werte „k“ und „m“sind intrinsisch immer positiv) ist das System schwingungsfähig:⇒⎡ω = b⎢⎣Nmkg=kgm2s mkg=12s1⎤= ⎥s ⎦ω =kmIf question:6B_Zindler@t-online.de
Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Für eine geänderte Annahme der kinetischen Energie:EEkinpot21 p=2 m1= kx2Ergibt sich folgendes nichtrelativistisches Ergebnis:ω =kpc⎡⎢⎣2Nm 1 1⎤= =2 2 ⎥mNs s s ⎦Für das vorliegende harmonische Potential ergibt sich damit eineneue Schreibweise⇒⇒⇒⇒⇒⇒If question:E pot2ω=ωkcp2k = m =2h− ψ ′′ + E 2 m=12m7=kmp 2ωcψpot=2 2ω x =2h ⎛ 1 2− ψ ′′ + ⎜ mωx2m⎝ 22h ⎛ 1 p 2− ψ ′′ + ⎜ ω x2m⎝ 2 c1222Eψp 2ω xc2⎞− E ⎟ψ= 0⎠⎞− E ⎟ψ= 0⎠2 2⎛ 2mm ω 2 ⎞ψ ′′ +⎜ E − x 022⎟ψ=⎝ h h ⎠⎛ 2mm p 2 2 ⎞ψ ′′ + ⎜ E − ω x = 02 2⎟ψ⎝ h h c ⎠2 22 ⎛ 2mm ω 2 ⎞λ +⎜ E − x 022⎟ =⎝ h h ⎠2 ⎛ 2mm p 2 2 ⎞λ + ⎜ E − ω x = 02 2⎟⎝ h h c ⎠B_Zindler@t-online.de
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