22 Berechnung von Integralen

22 BERECHNUNG VON INTEGRALEN 129
also die zweite, speziellere Form der Substitutionsregel (22.2). Wir erhalten
�
√1
� �
− x2 dx = 1 − sin2 �
t cos t dt = cos 2 t dt
=
�
1
1 1
(cos 2t + 1) dt = sin 2t +
2 4 2 t
= 1
sin t
2
�
1 − sin 2 t + 1
2 t
= 1
2 x√1 − x2 + 1
arcsin x.
2
Speziell ergibt sich (mit einem Grenzübergang)
� 1 √
1 − x2 dx =
−1
�
1
2 x√1 − x2 + 1
�1 arcsin x =
2 −1
π
2 .
Damit ist die Deutung der Zahl π als Flächeninhalt des Kreises vom Radius 1
gewonnen.
(5)
� x 1 + e
dx
1 − ex �
Substitution ex e
= t
xdx =
�
dt
=
� � � �
1 + t 1
2 1
dt = + dt
1 − t t 1 − t t
= −2 ln |1 − t| + ln t
= −2 ln |1 − e x | + x.
(6) Häufig muß man Substitution und partielle Integration kombinieren, wie im
folgenden Beispiel.
�
also �
�
arctan x dx = x arctan x −
x
dx
1 + x2 �
x
dx
1 + x2 �
= 1
�
2
1 1
1
dt = ln(1 + t) =
1 + t 2 2 ln(1 + x2 ),
Substitution x2 = t
2xdx = dt
arctan xdx = x arctan x − 1
2 ln(1 + x2 ).
(7) Wir wollen sehr kurz und nur anhand einfachster Beispiele auf das Verfahren
zur Integration rationaler Funktionen, die sog. Partialbruchzerlegung, eingehen.
�