22 Berechnung von Integralen
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<strong>22</strong> BERECHNUNG VON INTEGRALEN 125<br />
Nun ist<br />
also gilt:<br />
(<strong>22</strong>.1) Satz.<br />
a2n+1<br />
a2n<br />
∞�<br />
k=1<br />
=<br />
= 2<br />
π<br />
(2 · 2)(4 · 4) · · · (2n)(2n) 2<br />
·<br />
(1 · 3)(3 · 5) · · · (2n − 1)(2n + 1) π<br />
n�<br />
k=1<br />
4k 2<br />
4k 2 − 1<br />
4k 2<br />
4k 2 − 1 ,<br />
:= lim<br />
n�<br />
4k<br />
n→∞<br />
k=1<br />
2<br />
4k2 − 1<br />
= π<br />
2 .<br />
Man nennt dies das Wallissche Produkt; es wird später verwendet.<br />
. . . . . . . . .<br />
Die zweite wichtige (und vielseitiger anwendbare) Integralumformung ist die Substitutionsregel.<br />
Man erhält sie, kurz gesagt, durch Integration der Kettenregel.<br />
(<strong>22</strong>.2) Satz (Substitutionsregel). Sei f : [a, b] → R stetig und g : [c, d] → [a, b]<br />
stetig differenzierbar. Dann gilt<br />
�d<br />
c<br />
f(g(t))g ′ (t) dt =<br />
Ist g : [c, d] → [a, b] außerdem bijektiv, so gilt<br />
�b<br />
a<br />
f(x) dx =<br />
�<br />
g −1 (b)<br />
g −1 (a)<br />
�<br />
g(d)<br />
g(c)<br />
f(x) dx.<br />
f(g(t))g ′ (t) dt.<br />
Beweis. Zu f gibt es nach (21.1) eine Stammfunktion F auf [a, b]. Nach der<br />
Kettenregel (16.4) gilt<br />
(F ◦ g) ′ (t) = F ′ (g(t))g ′ (t) = f(g(t))g ′ (t)
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