22 Berechnung von Integralen

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22 BERECHNUNG VON INTEGRALEN 122 Beispiele (1) �b a xe x dx = = [xe x ] b a − �b a �b a f(x)g ′ (x) dx 1 · e x dx = [xe x ] b a − [ex ] b a . � f(x) = x, g(x) = e x Mit der üblichen Schreibweise für unbestimmte Integrale, die wir von nun an verwenden wollen, lautet das Ergebnis also � xe x dx = xe x − e x . Das bedeutet, wie gesagt, daß F (x) := xe x − e x eine Stammfunktion von f(x) := xe x ist. Die Probe durch Differenzieren (die man immer machen sollte) bestätigt das. Ganz ähnlich: � x sin x dx � = −x cos x + = −x cos x + sin x cos xdx � f(x) = x g(x) = − cos x Zwei Kunstgriffe sind im Zusammenhang mit partieller Integration oft nützlich: Man kann immer den Faktor 1 einfügen und als g ′ ansehen. Zweitens kann man eventuell durch partielle Integration eine Gleichung für das fragliche Integral erhalten und hieraus das Integral berechnen. (2) (3) � ln x dx = � 1 ln x dx = x � = x ln x − � f(x)g ′ (x) dx = (ln x) 2 − � � f(x) = ln x g(x) = x � 1 x dx = x ln x − x. x f(x)g ′ (x) dx � 1 ln x dx. x � f(x) = ln x g(x) = ln x � � �
22 BERECHNUNG VON INTEGRALEN 123 Also ist � 1 1 ln x dx = x 2 (ln x)2 . Manchmal muß man partielle Integration mehrfach anwenden, um zu einer Gleichung zu kommen, aus der das Integral bestimmbar ist: � (4) e x sin x dx = −e x � cos x + e x cos x dx Also ist � = −e x cos x + e x sin x − � e x sin x dx. e x sin x dx = 1 2 ex (sin x − cos x). Manchmal erfordert die partielle Integration“, also die Bestimmung von g zu g ” ′ in � fg ′ , ihrerseits partielle Integration: � (5) (ln x) 2 � dx = ln x ln x dx. Wir wissen nach Beispiel (2), daß ist, also ergibt sich � d (x ln x − x) = ln x dx ln x ln x dx = ln x(x ln x − x) − � = ln x(x ln x − x) − � ln x dx + = ln x(x ln x − x) − (x ln x − x) + x = x(ln x) 2 − 2x(ln x) + 2x. � 1 (x ln x − x) dx x Schließlich ermöglicht es partielle Integration bisweilen, zu einer Rekursionsformel zu kommen. Als Beispiel betrachten wir (6) Im := �b a 1 dx sin m x dx für m ∈ N.
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