22 Berechnung von Integralen

22 BERECHNUNG VON INTEGRALEN 124
Für m ≥ 2 ist
also
�
Im = −
a
b
sin m−1 x cos ′ x dx
= � − cos x sin m−1 x � b
a
= � − cos x sin m−1 x � b
a
�
+ (m − 1)
a
�
+ (m − 1)
a
b
b
sin m−2 x cos 2 x dx
sin m−2 x(1 − sin 2 x) dx
= � − cos x sin m−1 x � b
a + (m − 1)Im−2 − (m − 1)Im,
Im = − 1 � � m−1 b m − 1
cos x sin x +
m
a m Im−2.
Dies ist eine Rekursionsformel, mit deren Hilfe sich Im berechnen läßt, denn I0
und I1 sind wohlbekannt.
Eine Folgerung. Setze
Dann ist
am :=
π
2
�
0
sin m x dx.
a0 = π
2 , a1
für m ≥ 2 und folglich
= 1, am =
a2n =
a2n+1 =
2n − 1
2n
m − 1
m am−2
2n − 3 1 π
· · ·
2n − 2 2 2 ,
2n 2n − 2 2
· · ·
2n + 1 2n − 1 3 .
Wegen sin 2n+2 x ≤ sin 2n+1 x ≤ sin 2n x für x ∈ [0, π
2 ] ist a2n+2 ≤ a2n+1 ≤ a2n;
wegen
gilt also auch
a2n+2
lim
n→∞ a2n
a2n+1
lim
n→∞ a2n
= 1
= 1.