22 Berechnung von Integralen

22 BERECHNUNG VON INTEGRALEN 131
zu finden. Ohne weitere Information über f können wir natürlich keine solche
Schranke aufstellen. Nun ist die obige Differenz gleich Null, wenn f eine affine
Funktion ist. Wir hoffen daher, daß die Differenz klein ist, wenn f nur wenig von
einer affinen Funktion abweicht. Da affine Funktionen durch f ′′ = 0 gekennzeichnet
sind, können wir das Abweichen von einer affinen Funktion durch die Größe
�f ′′ � messen, vorausgesetzt, daß f ′′ existiert und beschränkt ist.
(22.3) Satz (Sehnen- oder Trapezregel). Sei h > 0 und f : [−h, h] → R zweimal
stetig differenzierbar, sei
Dann gilt
�h
−h
A := h[f(−h) + f(h)].
f(x) dx = A − 2
3 h3 f ′′ (c)
mit passendem c ∈ [−h, h], also
�
�
� �h
�
�
�
�
� f(x) dx − A�
�
�
�
−h
≤ 2
3 h3 �f ′′ �.
Beweis. Durch zweimalige partielle Integration erhalten wir
�h
−h
= A −
f(x) dx = [xf(x)] h −h −
�h
−h
�
1
2 (x2 − h 2 )f ′ �h (x) +
−h
xf ′ (x) dx
�h
−h
1
2 (x2 − h 2 )f ′′ (x) dx.
Hier ist �
1
2 (x2 − h 2 )f ′ �h (x) = 0
−h
(deshalb wurde bei der zweiten partiellen Integration zu x die Stammfunktion
1
2 (x2 − h2 ) gewählt). Wegen h2 − x2 ≥ 0 für x ∈ [−h, h] folgt aus dem Mittelwertsatz
der Integralrechnung (20.5) mit passendem c ∈ [−h, h]
�h
−h
(h 2 − x 2 )f ′′ (x) dx = f ′′ (c)
= f ′′ (c)
�
h
−h
(h 2 − x 2 ) dx
�
h 2 x − x3
3
� h
−h
= f ′′ (c) 4
3 h3 ,