22 Berechnung von Integralen

22 BERECHNUNG VON INTEGRALEN 122
Beispiele
(1)
�b
a
xe x dx =
= [xe x ] b
a −
�b
a
�b
a
f(x)g ′ (x) dx
1 · e x dx = [xe x ] b
a − [ex ] b
a .
� f(x) = x,
g(x) = e x
Mit der üblichen Schreibweise für unbestimmte Integrale, die wir von nun an
verwenden wollen, lautet das Ergebnis also
�
xe x dx = xe x − e x .
Das bedeutet, wie gesagt, daß F (x) := xe x − e x eine Stammfunktion von f(x) :=
xe x ist. Die Probe durch Differenzieren (die man immer machen sollte) bestätigt
das.
Ganz ähnlich:
�
x sin x dx
�
= −x cos x +
= −x cos x + sin x
cos xdx
� f(x) = x
g(x) = − cos x
Zwei Kunstgriffe sind im Zusammenhang mit partieller Integration oft nützlich:
Man kann immer den Faktor 1 einfügen und als g ′ ansehen. Zweitens kann man
eventuell durch partielle Integration eine Gleichung für das fragliche Integral erhalten
und hieraus das Integral berechnen.
(2)
(3)
�
ln x dx =
�
1
ln x dx =
x
�
= x ln x −
�
f(x)g ′ (x) dx
= (ln x) 2 −
�
� f(x) = ln x
g(x) = x
�
1
x dx = x ln x − x.
x
f(x)g ′ (x) dx
�
1
ln x dx.
x
� f(x) = ln x
g(x) = ln x
�
�
�