22 Berechnung von Integralen

22 BERECHNUNG VON INTEGRALEN 127
zu merkende Schreibweise, die wir jetzt an demselben Beispiel erläutern wollen.
Man würde x statt g schreiben und sagen, daß man ” die Substitution
sin t = x
macht“. Hierbei muß man im Kopf haben, daß x als Funktion von t aufzufassen
ist. Man kann sie nach t differenzieren:
dx
dt
Schreibt man dies formal in der Weise
= cos t.
dx = cos t dt
und setzt dies in das Integral ein, so erhält man
�d
c
sin 3 �
t cos t dt =
x 3 dx,
wobei noch die Grenzen einzusetzen sind nach der Regel: Ist t = c, so ist x = sin c
usw., also
�sin
d
= x 3 dx.
sin c
Man kommt bei diesen formalen Umformungen also zum richtigen Ergebnis. Be-
zeichnet nun F eine Stammfunktion des Integranden (nämlich F (x) = 1
4 x4 ), so
ist dieses Integral
x=sin d
= [F (x)] x=sin c = [F (sin t)]t=d
t=c
Man erhält also das richtige Ergebnis, wenn man am Ende wieder x = sin t
einsetzt. Da hier d beliebig ist, haben wir in Wirklichkeit nicht nur ein bestimmtes
Integral gefunden, sondern eine Stammfunktion.
Die folgenden Beispiele zur Anwendung der Substitutionsregel behandeln wir immer
in dieser sehr einprägsamen Form. Es sollte keine Mühe bereiten, die Umformungen
auch in korrekter Weise darzustellen. Die Merkregel ist aber zur Auffindung
passender Substitutionen (für die es kein Patentrezept gibt) sehr hilfreich.
Es versteht sich in den folgenden Beispielen von selbst, daß die Integranden i.a.
nur auf passenden Intervallen erklärt sind; dies wird nicht jeweils im Einzelnen
angegeben. Da wir in Wahrheit immer Stammfunktionen bestimmen, geben wir,
der Konvention entsprechend, keine Integrationsgrenzen an.
(1)
�
�
�
tan t dt =
sin t
cos t dt
�
Substitution:
�
1
tan t dt = − dx = − ln |x| = − ln | cos t|.
x
x = cos t
dx = − sin t dt
�