Dr. Andreas Gundlach, Mathematiklehrer und Schulbuchautor „Neue ...

Forum Unterrichtspraxis - Köln 20071Dr. Andreas Gundlach, Mathematiklehrer und SchulbuchautorViele Standardaufgaben im Mathematikunterricht können heute mithilfe neuer Technologien leichterund schneller gelöst werden, sodass schnell der Ruf nach anderen, neuen Aufgaben mit stärkeremAnwendungsbezug aufkam. Für die Unterrichtspraxis stellt sich aber zusätzlich noch die Frage, obdiese Technologien dabei helfen, die bewährten Ziele des Mathematikunterrichts besser als bisher zuerreichen. Der Vortrag ging dieser Frage anhand konkreter Unterrichtsbeispiele aus allen dreiThemenbereichen (Analysis, Stochastik und Analytische Geometrie) nach.„Neue Technologien im Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II –Ändert sich dadurch das Lernen von Mathematik?“(Die Präsentation finden Sie ab Seite 2!)

Ändert sich das Lernen vonMathematik durch den Einsatz neuerTechnologien ?

1. FunktionenFür den Umgang mit Funktionen sei hier besonders darauf hingewiesen,dass der GTR die Wertetabellen von Funktionen zur Verfügung stellt. Mansollte deshalb die Wertetabelle einer Funktion intensiver nutzen, als mandies ohne GTR konnte.

2. DifferentialrechnungDifferenzenquotient als Näherung für die Ableitung an einer Stelle

Symmetrischer Differenzenquotient als Näherung für die Ableitung aneiner Stelle⎛ ⎞f⎜a+h⎟−ff′(a) ≈⎝ ⎠2h⎛⎜⎝a−h⎞⎟⎠In der Differentialrechnung bietet der GTR gute Möglichkeiten zurnäherungsweisen Bestimmung von Tangentensteigungen: Dabeikönnen verschiedene Differenzenquotienten betrachtet und leichtberechnet werden, wodurch das exakte Verfahren (Grenzwert desDifferenzenquotienten bilden) besser vorbereitet und verstandenwerden kann.

AbleitungsfunktionenDurch die Möglichkeit des numerischen Differenzierens mithilfe desGTR muss der Funktionenvorrat im weiteren Unterrichtsverlauf nichteingeschränkt werden, da Wertetabellen und Graphen vonAbleitungsfunktionen auch ohne Term der Ableitungsfunktion zurVerfügung stehen.

3. FunktionsuntersuchungennDerive, Zero, Minimum, Maximumy=x5−3x2+ x−4

Ein Weg, der in vielen Fällen zum Ziel führt, aber nicht richtig isty=x5−3x2+ x−4

Ein richtiger Wegy=x5−3x2+ x−4

Nullstellen und Extrempunkte kann der GTR in einem gegebenenAnsichtsfenster für den Graphen einer Funktion mittels speziellerBefehle näherungsweise bestimmen. Um jedoch zu entscheiden, obman alle Nullstellen und Extrempunkte gefunden hat, bedarf es derAnwendung der bekannten Kriterien zur Untersuchung von Funktionen.Allein aus der Betrachtung des Graphen einer Funktion zusammen mitdem Graphen ihrer Ableitungsfunktion im GTR können bereits vieleSchlüsse gezogen werden.

4. IntegralrechnungFlächeninhalte näherungsweise berechnen0 ,24

Flächeninhalte näherungsweise berechnen0 ,285

Flächeninhalte zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse überIntervallen [Nullstelle; nächste Extremstelle] oder [Extremstelle; nächsteNullstelle] können näherungsweise gut mit dem GTR durch die Flächeninhalteoberer- und unterer Treppenfiguren abgeschätzt werden. Dabei kann man dasjeweilige Intervall leicht in immer mehr Teilintervalle zerlegen und so dieNäherungen immer weiter verbessern. Die analytische Definition des Integrals alsGrenzwert einer Summe von Produkten kann so besser vorbereitet undverstanden werden.

numerisch Integrieren: fnInt – Flächeninhalte berechnenA=b ∫af (x)−g(x)dx

Integralfunktion - Hauptsatz

Integrale können auch ohne Stammfunktionen numerisch mithilfe des GTRbestimmt werden. Für die Berechnung des Flächeninhalts der Fläche zwischenzwei Graphen über einem Intervall kann man direkt die Betragsformelb∫ f (x) − g(x)dxaverwenden, bei der die Notwendigkeit zur Berechnung der Schnittstellen derbeiden Graphen zwischen a und b entfällt.

5. Funktionsanpassungdurch eine RegressionsfunktionMithilfe des GTR können verschiedene Regressionsfunktionen zu gegebenenMessdaten bestimmt werden.

6. Analytische GeometrieLösen linearer Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme können nach Eingabe derKoeffizientenmatrix leicht mit nur einem Rechnerbefehl gelöstwerden, was insbesondere bei der Analytischen Geometrie sehrhilfreich ist.

7. StochastikSimmulationen

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mit dem GTR können Zufallsversuche simuliert werden. Die Ergebnisse kannman in Listen speichern und anschließend leicht rechnerisch und grafischauswerten. Durch solche Versuche können die Schülerinnen und Schülererfahren, was es heißt: Wahrscheinlichkeit ist die zu erwartende relativeHäufigkeit bei großen Zufallsversuchszahlen.Intervallwahrscheinlichkeiten für Binomialverteilungen können mit dem GTRberechnet werden, das Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitstabellen ist damitüberflüssig.

Dichtefunktion normalverteilter Zufallsgrößenf (x)=σ12π⋅ e(x−µ)−22σ2

Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße ist nichtelementar integrierbar, sie kann jedoch mit dem GTR leichtnumerisch integriert werden. Dadurch wird die Bestimmung vonIntervallwahrscheinlichkeiten mittels der Standard-Normalverteilung überflüssig.