Die Ausgangslage

Entwicklung qualitativ-inhaltlicher Vorstellungen zuKonzepten der Analysis durch den Einsatz interaktiverVisualisierungenGestaltungsprinzipien und empirische ErgebnisseAndrea Hoffkamp, Technische Universität BerlinWissenschaftliche Aussprache4. November 2011„[..] du hast noch nie den mathematischen BegriffFunktion gehört? Ein Gegenstand, der etwas kann,hat eine Funktion. Das ist nicht in Mathe der Fall. [..]“(Schüler, 10. Klasse, Gymnasium)Montag, 7. November 2011Die AusgangslageMontag, 7. November 2011

Cinderella .2ProgrammierschnittstelleDynamisierungApplikationenFunktionales DenkenUnterrichtseinsatzInteraktivitätMontag, 7. November 2011Funktionales DenkenMontag, 7. November 2011

Aufgabe: Dreiecksfläche(nach: Schlöglhofer 2000)Die gestrichelte Linie wird vom Punkte A um die Entfernung x nach rechts gezogen. Der WertF(x) gibt die Größe der grau unterlegten Fläche an. Welcher Graph passt? Begründe Deine Wahl!• Graph-als-Bild Fehler• Konzepte der Analysis ohne dynamische SichtMontag, 7. November 2011Funktionales Denken und Analysis• Meraner Reform (1905)(Krüger 2000)! „Erziehung zum funktionalen Denken“ als Sonderaufgabe! gebietsübergreifende Denkgewohnheit (fundamentale Idee)! Denken in Variationen und funktionalen Abhängigkeiten! Blick auf Bewegung und Veränderlichkeit! Propädeutik zur Einführung in die Differential- und Integralrechnung• Aspekte funktionalen Denkens(Vollrath 1989)! Zuordnung, Änderung, Funktion als Ganzes/als ObjektMontag, 7. November 2011

Begrifflicher Standort meines AnsatzesFunktionales Denken als Propädeutikzur Differential- und Integralrechnung„One purpose of function is to represent how things change. With thismeaning it is natural to move on to consider the calculus concepts of therate of change (differentiation) and cumulative growth (integration)together with the remarkable fundamental theorem of calculus that tellsus that differentiation and integration are essentially inverse processes.“(Tall 1996)Montag, 7. November 2011Schwierigkeiten und Unterrichtsrealität (I)(Schüler, 10. Klasse , Gymnasium)Montag, 7. November 2011

Schwierigkeiten und Unterrichtsrealität (II)(Schülerin, 10. Klasse, Gymnasium)Montag, 7. November 2011Schwierigkeiten und Unterrichtsrealität (III)Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element x einerMenge genau ein Element y einer (anderen) Menge zuordnet.! Dirichletdefinition ist abstrakt und sehr allgemein• Behandlung weniger bestimmter Funktionenklassen! concept image versus concept definition (Vinner/Dreyfus 1989)! Epistemologische Hürden (Sierpinska 1992)• Zuordnungsaspekt und punktweises Lesen dominieren, Tabellen und numerischeZugänge dominieren und verhindern Objektsicht(Goldenberg et al. 1992, Sierpinska 1992)• Analysisunterricht: kalkülorientiert, wenig inhaltliche Vorstellungen(Blum/Kirsch 1979, Stellmacher 1986, Bender 1991 und viele andere)Montag, 7. November 2011

Schwierigkeiten und Unterrichtsrealität (IV)„Bekanntlich enthält die Unendlichkeitsrechnung sehr viel Formeln, diedem Schüler in Fleisch und Blut übergehen müssen, soll der Unterrichtseinen Zweck erfüllen. Da liegt denn die Gefahr nahe, dass der Schülerglaubt, das Wesen des Unterrichts liege in diesen Formeln, und es genügederen Kenntnis und ihre Anwendung zu seiner mathematischenAusbildung.“(Weinmeister: Unendlichkeitsrechnung in der Schule, 1907)! Plädoyer für eine stärkere Gewichtung der qualitativenAnfänge der Analysis(Meraner Reform 1905, Freudenthal 1973, Hahn & Prediger 2008)Montag, 7. November 2011Die LernumgebungenMontag, 7. November 2011

Interaktive Lernumgebungen -Grundideen und Gestaltungsleitlinien• Grundidee:! interaktiv-experimentelle Visualisierung! Ziele:- dynamische Komponente funktionalen Denkens- Inhaltliche Vorstellungen im Hinblick auf Propädeutik zur Differential- undIntegralrechnung• Verknüpfung Situation - Graph• Zweistufige dynamische Visualisierung! Variation innerhalb der Situation! Metavariation und Objektaspekt• Sprache als Vermittler, kognitive und kooperative Funktion(Janvier 1978, Vygotskij 1972/78)• Kontiguität• Geringer technischer Overhead und PraktikabilitätMontag, 7. November 2011Die StudieMontag, 7. November 2011

Forschungsfragen1.Welche Vorstellungen im Hinblick auf eine dynamische Sicht funktionalerAbhängigkeiten werden bei der Arbeit mit den Lernumgebungenentwickelt?(qualitative Beschreibung lokaler/globaler Funktionseigenschaften imHinblick auf Konzepte der Analysis)2.Welche Interaktionsprozesse (Schüler-Schüler, Schüler-Computer) lassensich beschreiben, und welche Rolle spielen dabei die Möglichkeiten derApplikationen (Variation, Metavariation)?3.Welche epistemologischen Hürden lassen sich identifizieren?Montag, 7. November 2011Forschungsfragen1.Welche Vorstellungen im Hinblick auf eine dynamische Sicht funktionalerAbhängigkeiten werden bei der Arbeit mit den Lernumgebungenentwickelt?(qualitative Beschreibung lokaler/globaler Funktionseigenschaften imHinblick auf Konzepte der Analysis)2.Welche Interaktionsprozesse (Schüler-Schüler, Schüler-Computer) lassensich beschreiben, und welche Rolle spielen dabei die Möglichkeiten derApplikationen (Variation, Metavariation)?3.Welche epistemologischen Hürden lassen sich identifizieren?Conceptual-Change-AnsatzMontag, 7. November 2011

Qualitative Studie - Studiendesign• Interaktive Lernumgebungen: Dreiecksfläche, Einbeschriebene Rechtecke, Die Reise• Ende der 10. Klasse an zwei Berliner Gymnasien im propädeutischenAnalysisunterricht (Kurvendiskussionskalkül noch unbekannt!)• eine Doppelstunde pro Lernumgebung (90 Min.) + eine Einzelstunde (45 Min.)• Auswertungsmaterial:! Videoaufnahmen von 3-4 Schülerpaaren pro Lernumgebung(Schülergespräch und Bildschirmaktivität) Hauptauswertungsmaterial!! Videoaufnahmen der Unterrichtsgespräche! Arbeitsbögen und FragebögenMontag, 7. November 2011Methodische Aspekte und theoretischer Rahmen• Hauptziel: Verstehen• Theoretischer Rahmen: Interpretative Unterrichtsforschung (Maier/Voigt)! Grundannahmen:Lehren und Lernen von Mathematik sind Momente eines sozialen ProzessesAushandlung und interaktive Konstituierung von mathematischer Bedeutung! Ziel:Re-Konstruktion der Bedeutungen aus Texten (Transkripte, Arbeitsbögen)! Art der Ergebnisse:Erfassung von Ähnlichkeiten, Regelmäßigkeiten, TypizitätVielgestaltigkeit im Einzelfall:Sensibilisierung im Hinblick auf didaktisches Handeln und WahrnehmungSchlüsse auf Gestaltung von LernarrangementsMontag, 7. November 2011

Ausgewählte Ergebnisse• begriffliches „Ringen“ um Bestand und Änderungin Situation und Graph! Videoausschnitt: Warum hat der Graph diese Gestalt?- Behauptung von S1:Graph steigt zunächst, und er sinkt, sobald C überschritten ist.- Beschreibung des Änderungsverhaltens in Situation- MetavariationMontag, 7. November 2011Ausgewählte ErgebnisseMontag, 7. November 2011

Ausgewählte ErgebnisseMontag, 7. November 2011Ausgewählte Ergebnisse• begriffliches „Ringen“ um Bestand und Änderungin Situation und Graph• Beschreibung des Änderungsverhaltens in der Situation ist schwerer als imGraphen• Visualisierung und Metavariation:informelle visuelle Kommunikation (Siehste, dass das da genauso ist?)Überprüfung von VermutungenVerdeutlichung von Grapheneigenschaften (Siehste, dass das da genauso ist?)• Stoffdidaktische Analyse:Ebenen- und Aspektwechsel (Hahn & Prediger 2008):Änderung im Bestandsgraph entspricht Bestand im Änderungsgraph! im Unterricht produktiv aufgreifen!Montag, 7. November 2011

KAPITEL 5. QUALITATIVE STUDIE –ANALYSEN UND ERGEBNISSE 87Ausgewählte ErgebnisseMontag, 7. November 2011Ausgewählte Ergebnisse• Epistemologische Hürde „Steigung in einem Punkt“35 S1: [..] ich würde sagen ‚der Anstieg der Funktion’ ändert sich36 S2: Ne,ne, der Anstieg, die Funktion hat keinen Anstieg, weil, wenn37 sie einen Anstieg hätte, wäre sie gerade38 S1: [ Verschieb Abbildung mal. 5.5: Dreiecksfläche: Einige erfolgreiche Antworten auf den Arbeitsbögen.39 S2: (verschiebt C horizontal ein paar Mal hin und her) Der guck mal, weil der das ääh, da gibt es40 keinen Anstieg, weil der Anstieg ist überall unterschiedlich. Es gibt keinen genauen Anstieg und41 schon gar nicht hier (schiebt C in die Mitte über AB)- „Anstieg“ nur bei Geraden- Metavariation:visueller Eindruck führt zu„da gibt es keinen Anstieg, weil der Anstieg ist überall unterschiedlich“„Es gibt keinen genauen Anstieg und schon gar nicht hier“! Notwendigkeit der KonzepterweiterungMontag, 7. November 2011

WeiterführungMontag, 7. November 2011Bestand und Änderung - Aufgabe: DownloadverhaltenStelle Dir vor, Du bist Manager(in) einer Band, die ihre neue Single auf iTunesveröffentlicht hat. Release war am 1. Januar 2009.Was Du im Graphen siehst, sind die Downloads pro Tag vom Release bis MitteJuni 2009.Name: Aufgabe: Downloadverhalten Datum:d) Beschreibe die Änderung der täglichen Downloads über die Zeit undStelle Dir vor, Du bist Manager(in) einer Band, die ihre neue Single auf iTunesveröffentlicht hat. Release war am 1. Januar 2009. Was Du im Graphen siehst, sindversuche einen Graphendie Downloads prozuTagzeichnen,vom Release bis MittederJuni 2009.die Änderung bzw. Zunahmewiedergibt!Montag, 7. November 2011a) Beschreibe und interpretiere den Graphen!b) Wann ungefähr ist die Anzahl der Downloads am größten?c) Wann ungefähr ist die Zunahme der täglichen Downloads am größten?

Downloadverhalten - SchülerlösungenKAPITEL 6. FORTSETZUNGSIDEEN UND WEITERFÜHRUNG 1304. Welche Form könnte zu den folgenden Flächeninhaltsgraphen gehören?Schau Dir die Unterschiede zwischen den Graphen genau an und zeichneeine passende Form.Montag, 7. November 2011KAPITEL 6. FORTSETZUNGSIDEEN UND WEITERFÜHRUNG 1304. Welche Form könnte zu den folgenden Flächeninhaltsgraphen gehören?Schau Dir die Unterschiede zwischen den Graphen genau an und zeichneeine passende Form.Steigung in einem Punkt - qualitativWelche Form könnte zu den folgenden Flächeninhaltsgraphen gehören? SchaueNGSIDEEN UND WEITERFÜHRUNG Dir die Unterschiede zwischen 130 den Graphen genau an und zeichne eine passendeForm.nnte zu den folgenden Flächeninhaltsgraphen gehören?nterschiede zwischen den Graphen genau an und zeichneorm.Abbildung 6.4: Arbeitsbogen: Weitere Formen und Flächeninhaltsgraphen (Seite 2).Montag, 7. November 2011

Konklusion und Ausblick- Aufgreifen der interaktiven Visualisierungen zur Theorie- und Kalkülentwicklung- Nutzung von „mentaler Simulation“ im Sinne des Prinzips der Kompression(Tall 1994)- Verschiebung der Balance zwischen kalkülhaften und qualitativ-inhaltlichenAnteilen- Entwicklung weiterer Lernarrangements(Mathematikdidaktik als Design Science (Wittmann))- Diskurs zur Relevanz der Inhalte (Gesellschaft, Schüler, Hochschule)Montag, 7. November 2011