Die Metrik der französischen Eisenbahn - Institut fuer Mathematik

Humboldt-Universität zu BerlinInstitut für MathematikDipl.-Math. Christoph StadtmüllerDie Metrik der französischen EisenbahnUm den Umgang mit den Begriffen der ε-Kugeln und von offenen und abgeschlossenen Mengenzu trainieren, kann man sich die in der Vorlesung erwähnte ”Metrik der französischenEisenbahn” ansehen. Bevor wir mit der mathematische Betrachtung beginnen, eine kurzeBemerkung zum Urpsrung des Namens Metrik der französischen Eisenbahn: Frankreich ist(und war früher noch viel stärker) ein stark zentralisierter Staat, in dem ein großer teil derInfrastruktur auf Paris ausgerichtet ist. Unter anderem führ(t)en die meisten Bahnverbindungenzwischen zwei französischen Städten über Paris, wie man an folgender Karte derfranzösichen Eisenbahnen erkennen kann:Abbildung 1: Karte des französischen Eisenbahnnetzes, man erkennt die überwiegend auf Pariszulaufenden Linien. Quelle: Wikimedia Commonshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:French_railway_network.svg?uselang=deDie betrachtete Metrik bildet dies ab: Man muss zunächst die Distanz vom Ausgangpunktnach Paris zurücklegen und anschließend die Distanz von Paris zum Ziel.1

AufgabeWir betrachten die Ebene R 2 mit einem fixierten Punkt p ∈ R 2 (”Paris”) und der Metrik derfranzösischen Eisenbahnd F E : R 2 × R 2 −→ R + 0{0 falls x = y(x, y) ↦−→‖x − p‖ + ‖y − p‖ sonst• Man zeige, dass dies tatsächlich eine Metrik ist.• Wie sehen die ε-Kugeln um p aus?• Wie die Kugeln um einen beliebigen anderen Punkt?• Wie sehen die offenen Mengen aus? Wie die abgeschlossenen?AufgabeDie oben definierte Metrik bildet die ”Wirklichkeit” im folgende Sinne nicht ab: Liegen Städtex und y an der selben Bahnlinie nach Paris, so muss man von x nach y natürlich nicht überParis fahren. Wir korrigieren unsere Metrik also wie folgt, wobei wir p = 0 annehmen, umuns Schreibarbeit zu ersparen:d SNCF : R 2 × R 2 −→ R + 0{‖x − y‖(x, y) ↦−→‖x − p‖ + ‖y − p‖falls x = λy für ein λ ∈ Rsonst• Man zeige, dass dies tatsächlich eine Metrik ist.• Wie sehen die ε-Kugeln um p = 0 aus?• Wie die Kugeln um einen beliebigen anderen Punkt?• Wie sehen die offenen Mengen aus? Wie die abgeschlossenen?Auf den folgenden Seiten findet man Lösungsskizzen. Bitte vorher selber nachdenken.2

Zu Aufgabe 1Der Nachweis, dass d F E eine Metrik ist, erfolgt durch einfaches Nachprüfen der definierendenEigenschaften, wir wollen dies hier nicht im Detail nachprüfen und wenden uns direkt den ε-Kugeln zu. Wir bezeichnen im Folgenden die ε-Kugeln bezüglich der Standardmetrik d(x, y) =‖x − y‖ um x mit B ε (x) und die Kugeln zu d F E mit K.Wenn wir Paris (p) betrachten, so sieht man sofort, dass d F E (p, x) = ‖p − p‖ + ‖p − x‖ =‖p − x‖. Also sind die Kugeln um p gerade die gleichen wie in der StandardmetrikK(p, ε) = {x ∈ R 2 | ‖x − p‖ < ε} = B ε (p) .Betrachten wir nun zwei beliebige Punkte x ≠ y, so gilt für ihren Abstand stetsd F E (x, y) = ‖x − p‖ + ‖p − y‖ ≥ max{‖x − p‖, ‖p − y‖} (1)Betrachtet man also die ε-Kugeln um x ≠ p, so muss man zwei Fälle unterscheiden:ε ≤ ‖x − p‖ Wegen (1) gilt dann d F E (x, y) ≥ ‖x − p‖ ≥ ε für alle y ≠ x und somit bleibtin diesem Fall nurK(x, ε) = {x} ∀x ≠ p, ε ≤ ‖x − p‖ε > ‖x − p‖In diesem Fall istund wir erhaltend F E (x, y) = ‖x − p‖ + ‖y − p‖ < ε ⇔ ‖y − p‖ < ε − ‖x − p‖K(x, ε) = B ε−‖x−p‖ (p) ∪ {x}∀x ≠ p, ε > ‖x − p‖Wie sehen nun die offenen Mengen bezüglich dieser Metrik aus? Da wir oben ein unterschiedlichesVerhalten der ε-Kugeln um p bzw. um andere Punkte festgestellt haben, machen wirauch hier diese Unterscheidung. Sei A ⊂ R 2 und x ∈ A. Wann ist x ∈ Int(A)?x ≠ p Für hinreichend kleines ε gilt in diesem Fall: K(x, ε) = {x} ⊂ A, also ist in jedemFall x ∈ Int(A).x = p Damit p ∈ Int(A), muss gelten, dass ein ε > 0 ex., so dass K(p, ε) = B ε (p) ⊂ A,d.h. A muss eine kleine Kreisscheibe um p enthalten.Zusammenfassend erhalten wir also:Die offenen Mengen von (R 2 , d F E ) enthalten alle Teilmenge A ⊂ R 2 , für die entweder giltp ∉ A oder B ε (p) ⊂ A für hinreichend kleines ε.Die offenen Mengen entsprechen also außerhalb auf R 2 \ {p} denen der diskreten Metrik.Da die abgeschlossenen Mengen gerade den Komplementen offener Mengen entsprechen, erhaltenwir für diese folgende Aussage:Eine Menge A ⊂ R 2 ist genau dann abgeschlossen bezüglich d F E , wenn sie p enthält oderwenn sie eine kleine Kreisscheibe um p nicht enthält.3

Wir betrachten nun noch einige Besipiele. Wir vereinbaren dabei folgendes: Ist der (anschauliche)Rand einer Figur eingezeichnet, so gehört er zur Menge, anderfalls nicht.PPPAbbildung 2: Menge offenund abgeschlossenAbbildung 3: Menge offenund abgeschlossenAbbildung 4: Mengeabgeschlossen, aber nichtoffenDie Menge U = B 1 (0)\{p} (schlecht zu zeichnen) ist hingegen offen, aber nicht abgeschlossen.Eine letzte Bemerkung: In dieser Metrik kann es keine Menge geben, die weder offen, nochabgeschlossen ist (warum?).4

zu Aufgabe 2Der Beweis, dass d SNCF eine Metrik ist, erfordert zwar einige Fallunterschiedungen, ist aberansonsten nicht weiter schwierig und wir verzichten hier auf einen genauen Beweis. Wirwenden uns wieder den ε-Kugeln zu. Um p herum sehen diese genauso aus wie für die Metrikd F E .Wir betrachten nun also die Kugeln um einen Punkt x ≠ p (wir erinnern nochmal daran,dass p = 0). Aus der Definition der Metrik ist ersichtlich, dass im Fall x ≠ λy gilt, dassd SNCF (x, y) ≥ ‖x − p‖ + ‖y − p‖ ≥ max{‖x − p‖, ‖y − p‖}. Wir unterschieden also folgendeFälle:ε ≤ ‖x − p‖ Nach den gerade angestellten Überlegungen können in diesem Fall nur Vielfachevon x in der ε-Kugel um x liegen. Um die Rechnung zu vereinfachen schreiben wirdie Vielfachen von x als (1 + λ)x und erhaltend SNCF (x, (1 + λ)x) = ‖x − (1 + λ)x‖ < ε ⇔ |λ| · ‖x‖ < ε ⇔ |λ| −1 gehört betrachten. Anschaulich ist dies der Teil, der von x aus gesehen aufder selben Seite von 0 liegt. Insgesamt erhalten wirK(x, ε) = B ε−‖x−p‖ (p) ∪ Str(0, 1 +ε‖x‖ )∀x ≠ p, ε > ‖x − p‖,5

wobei mit Str(0, (1+ ε‖x‖(ohne die Endpunkte) darstellt.)x) = {(1+λ)x| −1 < λ 0 und geeignete (ggf. leere) MengeM ⊂ R 2 und λ x > 0. Die Beschreibung der abgeschlossenen Mengen erhält man dann durchKomplementbildung.6