Dichtetransformation und Untersuchung der Standardnomalverteilung

Dichtetransformation und Untersuchung der
Standardnomalverteilung
Janina Alkan
Humboldt Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Institut für Mathematik
Stochastische Methoden
Dozent: Dr. B. Gerlach
28.10.2012
1 Mehrdimensionale Verteilungsdichten
Bisher wurden Dichten von eindimensionalen Zufallsvariablen betrachtet. Im folgenden soll
dieser Begriff auch auf mehrdimensionale Zufallsvektoren ausgeweitet werden. Beginnen wir
mit der Definition der mehrdimensionalen Dichtefunktion.
Definition 1 Eine Riemann-integrierbare Funktion f : R n → R heißt Dichte über R n , falls
f(x) ≥ 0, x ∈ R n und
gilt.
∫ ∞
−∞
. . .
∫ ∞
−∞
f(x 1 , . . . , x n )dx 1 . . . dx n = 1 , x = (x 1 , . . . , x n ) T
Bemerkung 1 Ist f eine Dichte über R n , so ist die zugehörige Verteilungsfunktion F stetig
und gegeben durch:
Zudem gilt dann:
F (x 1 , . . . , x n ) =
∫x n
−∞
. . .
∫ x 1
−∞
f(y 1 , . . . , y n )dy 1 . . . dy n , (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n .
δ n
δx 1 , . . . δ, x n
F (x 1 , . . . , x n ) = f(x 1 , . . . , x n ).
Verteilungen der einzelnen Zufallsvariablen eines n dimensionalen Zufallsvektors lassen sich aus
der gemeinsamen Verteilung gewinnen wie die folgende Definition zeigt.
Definition 2 Sei X = (X 1 , . . . , X n ) ein Zufallsvektor des R n mit der zugehörigen Dichte f X .
Dann gilt für die i-te Randdichte (bzw. Dichtefunktion der i-ten Randverteilung) f Xi : R → R
der i-ten Komponente X i mit i ∈ {1, . . . , n} und t ∈ R:
f Xi (t) =
∫ ∞
−∞
. . .
∫ ∞
−∞
f(x 1 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x n )dx 1 . . . dx i−1 , dxi + 1, dx n .
Betrachten wir den also im zweidimensionalen Fall den zufälligen Vektor (X 1 , X 2 ) mit der
zweidimensionalen Verteilung F (x 1 , x 2 ). Für die Randverteilungen F 1 (x 1 ) und F 2 (x 2 ) gilt:
F (x 1 , ∞) = F 1 (x 1 )
F (∞, x 2 ) = F 2 (x 2 )
1

und für die zweidimensionale Randdichte gilt dann:
f 1 (x 1 ) =
f 2 (x 2 ) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(x 1 , x 2 )dx 2
f(x 1 , x 2 )dx 1 .
Abschließend soll in diesem Kapitel die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen betrachtet
werden.
Definition 3 Sei n ∈ N und X 1 , . . . , X n Zuvallsvariablen über dem selben Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P ) und I eine nichtleere Indexmenge I ⊆ {1, . . . , n}. Dann heißen die Zufalssvariablen
stochastisch Unabhängig, wenn für alle A 1 , . . . A n ∈ F gilt:
( )
⋂ n∏
P {X i ∈ A i } = P {X 1 ∈ A 1 , . . . , X n ∈ A n } = P (X i ∈ A i ).
i∈I
i=1
Zudem sind dann n- stetige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n über einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P ) stochastisch Unabhängig, wenn der Zufallsvektor X = (X 1 , . . . , X n )
stetig ist und eine gemeinsame Dichte f X bzw. Randdichten f X1 , . . . , f Xn existieren, so dass für
alle x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n gilt:
f X (x) =
n∏
f Xi (x 1 ).
i=1
Bemerkung 2 Weiterhin gilt für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X 2 mit
Verteilungsdichten F X1 , . . . , F Xn :
F X1,...,X n
(x 1 , . . . , x n ) = F X1 (x 1 ) · · · · · F Xn (x n ), d.h.
P (X 1 ≤ x 1 , . . . X n ≤ x n ) = P (X 1 ≤ x 1 ) · · · · · P (X n ≤ x n ) ∀(x 1 , . . . x n ) ∈ R n .
2 Verteilungstransformation
2.1 Betrachtung des skalaren Falls
Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion f X . Außerdem sei eine streng monotone
stetig differenzierbare Funktion g(x) mit der inversen Transformation g −1 (y) = h(y) gegeben,
dann besitzt Y = g(X) eine Dichte f Y , die gegeben ist durch:
f Y (y) = f X (h(y)) · |h ′ (y)|
y ∈ W b(g)
= 0 y ∉ W b(g).
Dies folgt aus der Betrachtung zweier Fallunterscheidungen:
1. Fall h ′ (ẋ) ≥ 0:
2. Fall h ′ (ẋ) ≤ 0:
F y (y) = P (Y ≤ y) = P (h(Y ) ≤ h(y)) = P (X ≤ x) = F x (x) = F x (h(y))
⇒ f y (y) = f x (h(y)) · h ′ (y) (1)
F y (y) = P (Y ≤ y) = P (h(Y ) ≥ h(y)) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − F x (x) = 1 − F x (h(y))
⇒ f y (y) = −f x (h(y)) · h ′ (y) (2)
Zusammen aus (1) und (2) ergibt sich die Formel zur Dichtetransformation im eindimensionalen
Fall.
Zum besseren Verständnis wird die folgende Transformation der Normalverteilung betrachtet.
2

Beispiel 1 Es sei die Zufallsvariable X ∼ N(µ, σ 2 ) mit f X (x) = 1 √
2πσ 2 e− 1 2( x−µ
σ ) 2 gegeben. Sie
soll durch y = g(x) = (x−µ)
σ
transformiert werden. Also ist:
x = yσ + µ = h(y) und h ′ (y) = σ
Und mit f Y (y) = f x (h(y)) · |h ′ (y)| folgt dann:
f Y (y) = √ 1 e − 1 2( y+µ−µ
σ ) 2 · |σ| = √ 1 e − 1 2 y2
2πσ 2π
⇔ Y ∼ N(0, 1)
Das heißt also eine lineare Transformation Y einer normalverteilten Zufallsvariablen X ist
wieder normalverteilt und. Andersherum gilt auch: Ist Y ∼ N(0, 1), so gilt X = σX + µ ∼
N(0, 1).
2.2 Betrachtung des n-dimensionalen Falls
Sei im folgenden X = (X 1 , . . . , X n ) T ein n-dimensionaler Zufallsvektor des R n mit der Dichte
f X . Weiterhin sei U eine offene Menge aus R n mit P x (U) = 1 und h eine eindeutige stetig
differenzierbare Funktion von U auf V ⊆ R n , deren Jacobimatrix
( δhi (x)
J (x) :=
δx i
)i,j=1,...,n
nirgends auf U singulär ist. Mit g = h −1 werde die Inverse Funktion zu h bezeichnet.
Dann hat der Zufallsvektor Y := h(X) eine Dichte f Y mit
{
f X (g(Y)) · |detJ g (y)| , falls y ∈ V
f Y (y) =
0 , falls y ∈ R n \ V
Nun kann auch im mehrdimensionalen Fall zu einer gegebenen Dichte f X die Dichte f Y der
Funktion h : x → y mit Hilfe der Dichtetransformationsformel ermittelt werden. Im folgenden
Abschnitt wird diese Formel ihre Anwendung finden.
3 Untersuchung der Standardnormalverteilung
Im folgenden soll nun gezeigt werden, dass die Dichte f X einer normalverteilten Zufallsgröße
X ∼ N(µ, σ 2 ) mit f X (x) = √ 1 1 2πσ 2 e− 2( x−µ
σ ) 2 tatsächlich eine Dichte ist. Da jede Normalverteilung
durch eine lineare Transformation auf eine Standardnormalverteilung transformiert werden
kann und umgekehrt (s. Beispiel 1), genügt es, die Standardnormalverteilung zu untersuchen.
Satz 1 Sei X ∼ N(0, 1) mit f X (x) = 1 √
2π
e − 1 2 x2 , dann ist f X eine Dichte.
Beweis 1 Falls f X eine Dichte ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein.
(i) Zum einen muss gelten: f X (x) ≥ 0 ∀x ∈ R. Dies ist offensichtlich erfüllt.
(ii) z.z. bleibt also:
∞∫
−∞
f X (x)dx = 1
Hierfür wird der zweidimensionale Fall betrachtet, d.h. die unabhängigen Zufallsgrößen
X 1 , X 2 ∼ N(0, 1) mit den Dichten
f X1 (x 1 ) = 1 √
2π
e − 1 2 x2 1
f X2 (x 2 ) = 1 √
2π
e − 1 2 x2 2 .
Da X 1 undX 2 unabhängig verteilt sind, gilt:
und
f(x 1 , x 2 ) = f X1 (x 1 ) · f X2 (x 2 ).
3

Es ist:
∫ ∞
∫ ∞
−∞ −∞
f(x 1 , x 2 )dx 1 dx 2 =
Zu zeigen ist also:
I :=
∫ ∞
∫ ∞
−∞ −∞
∫ ∞
∫ ∞
−∞ −∞
f X1 (x 1 )f X2 (x 2 )dx 1 dx 2 =
1
√ e − 1 1
2 x2 1 · √ e − 1 2 x2 2 dx1 dx 2 =
2π 2π
∫ ∞
∫ ∞
−∞ −∞
∫ ∞
−∞
f X1 (x 1 )dx 1
∫∞
−∞
1
2π e− 1 2(x 2 1 +x2 2) dx1 dx 2 = 1
f X2 (x 2 )dx 2 .
Nun lässt sich das Integral mit Hilfe der folgenden Transformation in Polarkoordinaten
umwandeln:
Hierbei ist h : (x 1 , x 2 ) → (r, φ) mit:
x 1 = r cos(φ)
x 2 = r sin(φ).
h(y) = (x 1 , x 2 ) T = (r cos(φ), r sin(φ)) T
Der Integrationsbereich bzw. der Bildbereich V wird dadurch die Menge:
M = {(r, φ) : 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ φ < 2π} = [0, ∞) [0, 2π) .
Hierbei ergibt sich für die Jacobideterminante:
J (x) =
∣ cos φ
−r sin φ
sin φ r cos φ ∣ = r(cos2 φ + sin 2 φ) = r
Nach Einsetzen in die Formel für die Dichtetransformation ergibt sich dann:
∫
I =
2π∫ ∞
0
∫
=
=
1
2π e− 1 2(r 2 cos 2 φ+r 2 sin 2 φ) · |r| drdφ
0
2π∫ ∞
0 0
∫2π
∫ ∞
0
∫
=
2π
0
0
1
2π e− 1 2(r 2 (cos 2 φ+sin 2 φ)) · |r| drdφ
1
2π e− 1 2 r2 · r dφdr
∫∞
1
2π dφ e − 1 2 r2 · r dr.
0
Hierbei handelt es sich also um zwei bekannte Dichten, die integriert werden sollen, zum
einen um die Gleichverteilung auf dem Intervall [0, 2π] und zum anderen um die Weibullverteilung
zum Parameter r. Auf dem angegebenen Integrationsbereichen ergeben beide
Verteilungen 1, womit auch die zweite Bedingung erfüllt ist.
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