Dichtetransformation und Untersuchung der Standardnomalverteilung

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und für die zweidimensionale Randdichte gilt dann: f 1 (x 1 ) = f 2 (x 2 ) = ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ f(x 1 , x 2 )dx 2 f(x 1 , x 2 )dx 1 . Abschließend soll in diesem Kapitel die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen betrachtet werden. Definition 3 Sei n ∈ N und X 1 , . . . , X n Zuvallsvariablen über dem selben Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) und I eine nichtleere Indexmenge I ⊆ {1, . . . , n}. Dann heißen die Zufalssvariablen stochastisch Unabhängig, wenn für alle A 1 , . . . A n ∈ F gilt: ( ) ⋂ n∏ P {X i ∈ A i } = P {X 1 ∈ A 1 , . . . , X n ∈ A n } = P (X i ∈ A i ). i∈I i=1 Zudem sind dann n- stetige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n über einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) stochastisch Unabhängig, wenn der Zufallsvektor X = (X 1 , . . . , X n ) stetig ist und eine gemeinsame Dichte f X bzw. Randdichten f X1 , . . . , f Xn existieren, so dass für alle x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n gilt: f X (x) = n∏ f Xi (x 1 ). i=1 Bemerkung 2 Weiterhin gilt für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X 2 mit Verteilungsdichten F X1 , . . . , F Xn : F X1,...,X n (x 1 , . . . , x n ) = F X1 (x 1 ) · · · · · F Xn (x n ), d.h. P (X 1 ≤ x 1 , . . . X n ≤ x n ) = P (X 1 ≤ x 1 ) · · · · · P (X n ≤ x n ) ∀(x 1 , . . . x n ) ∈ R n . 2 Verteilungstransformation 2.1 Betrachtung des skalaren Falls Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion f X . Außerdem sei eine streng monotone stetig differenzierbare Funktion g(x) mit der inversen Transformation g −1 (y) = h(y) gegeben, dann besitzt Y = g(X) eine Dichte f Y , die gegeben ist durch: f Y (y) = f X (h(y)) · |h ′ (y)| y ∈ W b(g) = 0 y ∉ W b(g). Dies folgt aus der Betrachtung zweier Fallunterscheidungen: 1. Fall h ′ (ẋ) ≥ 0: 2. Fall h ′ (ẋ) ≤ 0: F y (y) = P (Y ≤ y) = P (h(Y ) ≤ h(y)) = P (X ≤ x) = F x (x) = F x (h(y)) ⇒ f y (y) = f x (h(y)) · h ′ (y) (1) F y (y) = P (Y ≤ y) = P (h(Y ) ≥ h(y)) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − F x (x) = 1 − F x (h(y)) ⇒ f y (y) = −f x (h(y)) · h ′ (y) (2) Zusammen aus (1) und (2) ergibt sich die Formel zur Dichtetransformation im eindimensionalen Fall. Zum besseren Verständnis wird die folgende Transformation der Normalverteilung betrachtet. 2
Beispiel 1 Es sei die Zufallsvariable X ∼ N(µ, σ 2 ) mit f X (x) = 1 √ 2πσ 2 e− 1 2( x−µ σ ) 2 gegeben. Sie soll durch y = g(x) = (x−µ) σ transformiert werden. Also ist: x = yσ + µ = h(y) und h ′ (y) = σ Und mit f Y (y) = f x (h(y)) · |h ′ (y)| folgt dann: f Y (y) = √ 1 e − 1 2( y+µ−µ σ ) 2 · |σ| = √ 1 e − 1 2 y2 2πσ 2π ⇔ Y ∼ N(0, 1) Das heißt also eine lineare Transformation Y einer normalverteilten Zufallsvariablen X ist wieder normalverteilt und. Andersherum gilt auch: Ist Y ∼ N(0, 1), so gilt X = σX + µ ∼ N(0, 1). 2.2 Betrachtung des n-dimensionalen Falls Sei im folgenden X = (X 1 , . . . , X n ) T ein n-dimensionaler Zufallsvektor des R n mit der Dichte f X . Weiterhin sei U eine offene Menge aus R n mit P x (U) = 1 und h eine eindeutige stetig differenzierbare Funktion von U auf V ⊆ R n , deren Jacobimatrix ( δhi (x) J (x) := δx i )i,j=1,...,n nirgends auf U singulär ist. Mit g = h −1 werde die Inverse Funktion zu h bezeichnet. Dann hat der Zufallsvektor Y := h(X) eine Dichte f Y mit { f X (g(Y)) · |detJ g (y)| , falls y ∈ V f Y (y) = 0 , falls y ∈ R n \ V Nun kann auch im mehrdimensionalen Fall zu einer gegebenen Dichte f X die Dichte f Y der Funktion h : x → y mit Hilfe der Dichtetransformationsformel ermittelt werden. Im folgenden Abschnitt wird diese Formel ihre Anwendung finden. 3 Untersuchung der Standardnormalverteilung Im folgenden soll nun gezeigt werden, dass die Dichte f X einer normalverteilten Zufallsgröße X ∼ N(µ, σ 2 ) mit f X (x) = √ 1 1 2πσ 2 e− 2( x−µ σ ) 2 tatsächlich eine Dichte ist. Da jede Normalverteilung durch eine lineare Transformation auf eine Standardnormalverteilung transformiert werden kann und umgekehrt (s. Beispiel 1), genügt es, die Standardnormalverteilung zu untersuchen. Satz 1 Sei X ∼ N(0, 1) mit f X (x) = 1 √ 2π e − 1 2 x2 , dann ist f X eine Dichte. Beweis 1 Falls f X eine Dichte ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein. (i) Zum einen muss gelten: f X (x) ≥ 0 ∀x ∈ R. Dies ist offensichtlich erfüllt. (ii) z.z. bleibt also: ∞∫ −∞ f X (x)dx = 1 Hierfür wird der zweidimensionale Fall betrachtet, d.h. die unabhängigen Zufallsgrößen X 1 , X 2 ∼ N(0, 1) mit den Dichten f X1 (x 1 ) = 1 √ 2π e − 1 2 x2 1 f X2 (x 2 ) = 1 √ 2π e − 1 2 x2 2 . Da X 1 undX 2 unabhängig verteilt sind, gilt: und f(x 1 , x 2 ) = f X1 (x 1 ) · f X2 (x 2 ). 3
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