Dichtetransformation und Untersuchung der Standardnomalverteilung
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Beispiel 1 Es sei die Zufallsvariable X ∼ N(µ, σ 2 ) mit f X (x) = 1 √<br />
2πσ 2 e− 1 2( x−µ<br />
σ ) 2 gegeben. Sie<br />
soll durch y = g(x) = (x−µ)<br />
σ<br />
transformiert werden. Also ist:<br />
x = yσ + µ = h(y) <strong>und</strong> h ′ (y) = σ<br />
Und mit f Y (y) = f x (h(y)) · |h ′ (y)| folgt dann:<br />
f Y (y) = √ 1 e − 1 2( y+µ−µ<br />
σ ) 2 · |σ| = √ 1 e − 1 2 y2<br />
2πσ 2π<br />
⇔ Y ∼ N(0, 1)<br />
Das heißt also eine lineare Transformation Y einer normalverteilten Zufallsvariablen X ist<br />
wie<strong>der</strong> normalverteilt <strong>und</strong>. An<strong>der</strong>sherum gilt auch: Ist Y ∼ N(0, 1), so gilt X = σX + µ ∼<br />
N(0, 1).<br />
2.2 Betrachtung des n-dimensionalen Falls<br />
Sei im folgenden X = (X 1 , . . . , X n ) T ein n-dimensionaler Zufallsvektor des R n mit <strong>der</strong> Dichte<br />
f X . Weiterhin sei U eine offene Menge aus R n mit P x (U) = 1 <strong>und</strong> h eine eindeutige stetig<br />
differenzierbare Funktion von U auf V ⊆ R n , <strong>der</strong>en Jacobimatrix<br />
( δhi (x)<br />
J (x) :=<br />
δx i<br />
)i,j=1,...,n<br />
nirgends auf U singulär ist. Mit g = h −1 werde die Inverse Funktion zu h bezeichnet.<br />
Dann hat <strong>der</strong> Zufallsvektor Y := h(X) eine Dichte f Y mit<br />
{<br />
f X (g(Y)) · |detJ g (y)| , falls y ∈ V<br />
f Y (y) =<br />
0 , falls y ∈ R n \ V<br />
Nun kann auch im mehrdimensionalen Fall zu einer gegebenen Dichte f X die Dichte f Y <strong>der</strong><br />
Funktion h : x → y mit Hilfe <strong>der</strong> <strong>Dichtetransformation</strong>sformel ermittelt werden. Im folgenden<br />
Abschnitt wird diese Formel ihre Anwendung finden.<br />
3 <strong>Untersuchung</strong> <strong>der</strong> Standardnormalverteilung<br />
Im folgenden soll nun gezeigt werden, dass die Dichte f X einer normalverteilten Zufallsgröße<br />
X ∼ N(µ, σ 2 ) mit f X (x) = √ 1 1 2πσ 2 e− 2( x−µ<br />
σ ) 2 tatsächlich eine Dichte ist. Da jede Normalverteilung<br />
durch eine lineare Transformation auf eine Standardnormalverteilung transformiert werden<br />
kann <strong>und</strong> umgekehrt (s. Beispiel 1), genügt es, die Standardnormalverteilung zu untersuchen.<br />
Satz 1 Sei X ∼ N(0, 1) mit f X (x) = 1 √<br />
2π<br />
e − 1 2 x2 , dann ist f X eine Dichte.<br />
Beweis 1 Falls f X eine Dichte ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein.<br />
(i) Zum einen muss gelten: f X (x) ≥ 0 ∀x ∈ R. Dies ist offensichtlich erfüllt.<br />
(ii) z.z. bleibt also:<br />
∞∫<br />
−∞<br />
f X (x)dx = 1<br />
Hierfür wird <strong>der</strong> zweidimensionale Fall betrachtet, d.h. die unabhängigen Zufallsgrößen<br />
X 1 , X 2 ∼ N(0, 1) mit den Dichten<br />
f X1 (x 1 ) = 1 √<br />
2π<br />
e − 1 2 x2 1<br />
f X2 (x 2 ) = 1 √<br />
2π<br />
e − 1 2 x2 2 .<br />
Da X 1 <strong>und</strong>X 2 unabhängig verteilt sind, gilt:<br />
<strong>und</strong><br />
f(x 1 , x 2 ) = f X1 (x 1 ) · f X2 (x 2 ).<br />
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