Ausführliche Lösungen zu den Übungsaufgaben (pdf)

44 Ausführliche Lösungen zu den zu den Übungsaufgabenc·2550 a = 850 und c·3150 a = 1000. Die Gleichungen werden jeweils nachc aufgelöst und man erhält c = 8502550= 1000a 3150. Diese letzte Gleichung wirdanun nach a aufgelöst:8502550= 1000a 3150⇔ 3150aa 2550= 1000a 850 ⇔ ( )3150 x2550 =1000850 ⇔ ( )21 a17 =2017Es ergibt sicha = log 21/17 (20/10) = ln(20/17)ln(21/17) = ln(20)−ln(17)ln(21)−ln(17)≈ 0, 7691Diese Lösung wird zur Berechnung von c verwendet:c = 850≈ 2, 03918502550= a ln(20)−ln(17)2500 ln(21)−ln(17)Die Funktion lautet also f(x) = 2, 0391 · x 0,7691 .b) Zunächst muss eine lineare Funktion f(x) = cx bestimmt werden, für dief(2550) = 850 gilt, d.h. die Gleichung c·2550 = 850 ist zu lösen. Es ergibtsich c = 8502550 = 1 3 . Die Produktionsfunktion lautet dann f(x) = 1 3 x.Bei Erhöhung des Rohstoffeinsatzes um 600 Einheiten werden dann f(3150) =13 · 3150 = 1050 Einheiten hergestellt, das sind 200 Einheiten mehr alsbeim genannten geringeren Rohstoffeinsatz von 2550 Einheiten.Aufgabe 14.Für x = π 6 gilt π 2 − x = π 3 und daher sin( π 6 ) = cos( π 3 ) = 1 2 und cos( π 6 ) =sin( π 3 ) = √ 32Für x = 5π 6gilt π 2 − x = − π 3 und daher sin( 5π 6 ) = cos(− π 3 ) = cos( π 3 = 1 2 undcos( 5π 6 ) = sin(− π 3 ) = − sin( π 3 ) = − √ 32Für x = 7π 6 gilt π 2 − x = − 2π 3 und daher sin( 7π 6 ) = cos(− 2π 3 ) = cos( 2π 3 = − 1 2und cos( 7π 6 ) = sin(− 2π 3 ) = − sin( 2π 3 ) = − √ 32Für x = 11π6gilt π 2 − x = − 4π 3− 1 211πund cos(6 ) = sin(− 4π 3 ) = − sin( 4π 3 ) = √ 32Aufgabe 15.Es ist völlig ausreichend, sich dieGültigkeit des Additionstheorems fürWinkel-Argumente x ∈ [0; π 2 [ anhandeiner Skizze im Einheitskreis zu überlegen.Das Dreieck ∆ABC ist ein rechtwinkligesDreieck mit Hypotenusenlänge 1(Radius des Einheitskreises) und Kathetenlängensin(x) und cos(x) (lautDefinition der beiden trigonometrischenFunktionen).und daher sin(11π6 ) = cos(− 4π 3 ) = cos( 4π 3 =Web-Service: http://www.uvk-lucius.de/terveer