¨Ubungen Nachrichtenübertragung I SS 2009 - Universität Bremen

19 SS 2009 “Nachrichtenübertragung I” – ÜbungenAufgabe 18 (ber12):BitfehlerwahrscheinlichkeitKlausur “Nachrichtentechnik” (TUHH, neue DPO) vom 07.04.04 (Aufgabe 3)Das Ergebnis eines Fußballspiels ( A: Sieg der Heim-Mannschaft, B: Unentschieden, C: Niederlageder Heim-Mannschaft) soll einem Empfänger mitgeteilt werden, wobei die Ereignisse A, B und Cdie gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit haben. Dazu wird eine digitale Übertragung im Basisbandrealisiert, wobei die Ereignisse auf ein zweistufiges Alphabet mitA → d(1) = 1; d(2) = 0B → d(1) = 0; d(2) = 1C → d(1) = 1; d(2) = 1abgebildet werden. Auf dem Übertragungsweg wird das Signal d(i) von weißem Rauschen mit derLeistung σn 2 = 0.1 und der Verteilungsdichtefunktionp n (ζ) =1√2πσnexp(−ζ 2 /(2σ 2 n ))überlagert.(a) Bestimmen Sie die diskrete Verteilungsdichtefunktion des binären Signals d(i).(b) Legen Sie eine Schwelle S für die Datenentscheidung von d(i) so fest, dass die Wahrscheinlichkeiteiner Fehlentscheidung ˆd(i) ≠ d(i) am Empfänger minimiert wird. BerücksichtigenSie dabei die in Aufgabenteil (a) ermittelten a-priori Wahrscheinlichkeiten Pr{d(i) = 0} undPr{d(i) = 1}.(c) Bestimmen Sie nun mit Hilfe der Funktion erfc (siehe Graphik) die bedingte WahrscheinlichkeitPr{ ˆd(i) = 1|d(i) = 0} (die Wahrscheinlichkeit, dass unter der Bedingung d(i) = 0 dasgeschätzte Datum ˆd(i) den Wert 1 annimmt). Berechnen Sie außerdem auch die bedingtenWahrscheinlichkeiten Pr{ ˆd(i) = 0|d(i) = 1}, Pr{ ˆd(i) = 1|d(i) = 1} und Pr{ ˆd(i) = 0|d(i) = 0}.(d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die entschiedenen Daten keinem der EreignisseA, B oder C sinnvoll zugeordnet werden können.