Ermittlung von Landeskoordinaten aus GPS ... - DVW Bayern

Einleitung
Ermittlung von Landeskoordinaten
aus GPS-Messungen *
Von J. Strehle, München
Leider ist es nicht möglich, auf einfache Weise aus den mit GPS-Messungen
gewonnenen X, Y, Z-Koordinaten im System WGS84 unmittelbar Gebrauchskoordinaten
der Landesvermessung zu gewinnen.
Ursachen:
Mangelhafte Genauigkeit der WGS84-Koordinaten
- die WGS84-Koordinaten der Satelliten können selbst im Rahmen des
Post-Processing nur mit einer Genauigkeit von ca. I m bestimmt werden
(hauptsächlich wegen nicht modeltierbarer Strahlungsdruckeffekte)
- die von den Satelliten abgestrahlten Bahndaten werden künstlich um Beträge
bis zu 100m verHilscht (Selective Availability).
Die Genauigkeit der Satellitenposition im WGS84-System fällt also bezüglich
der Genauigkeit der fundamentalen Tracking-Stationen deutlich ab.
Auswirkung auf die Positionsbestimmung
Die Satelliten sind die Punkte, durch welche das WGS84-System für den
GPS-Benutzer realisiert wird. Aus diesen Punkten abgeleitete absolute Koordinaten
beliebiger Stationen können also nicht genauer sein, als die Position
der Satelliten selber. Schon aus diesem Grund kann noch nicht einmal Metergenauigkeit
für die Koordinaten von Neupunkten erreicht werden. Da aber
Fehler der Satellitenposition bei simultanen Messungen zu den selben Satelliten
auf mehreren Stationen zu fast identischen Fehlereinflüssen führen,
erzielt man eine hohe relative Genauigkeit bei der Positionsbestimmung,
während die absolute Zuordnung zum WGS84-Koordinatensystem nur mit
untergeordneter Genauigkeit möglich ist.
• Nach einem Vonrag gehalten, beim Seminar »EinfUhnmg in die Pruis der GPS-Messungen«
des DVW-Landesverein Bayern am 15. März 1996 in München
Mitteilungsblau DVW-Bayem 4/1996 623

Ausweg: »Fiducial Point«·Konzept
Aber selbst wenn die aus GPS·Messungen gewonnenen Koordinaten im
System WGS84 auch absolut mit ausreichender geodätischer Genauigkeil zu
erhalten wären, könnte man daraus trotzdem nicht Landeskoordinaten über
allgemeingültige Umrechnungsformeln gewinnen.
Fehler in den Koordi!U1ten des Deutschen Hauptdreiecksnetzes (DHDN)
Das DHDN beruht nicht auf einem einheitlichen und homogenen Referenz·
system, sondern auf verschiedenen, regional variierenden Systemen. lnfolge
dieser Netzverzerrungen ist es nicht möglich, den Zusammenhang zwischen
dem zu einem dreidimensionalen System erweiterten DHDN und einem mo·
derneo terrestrischen Referenzsystem durch eine räumliche Ähnlichkeits·
Iransformation mit bckanmen Transformationsparametern herzustellen.
Fühn man ftir das gesamte Gebiet des DHDN eine räumliche überbestimmte
Ähnlichkeitstransfonnation durch, so ergeben sich Restklaffungen in der
Größenordnung von Im für Lage. und Höhcnkoordinaten.
Räumliche Koordinatentransformation
(Dreidimensionale Ähnlichkeitstransformation)
Die Übertragung zwischen zwei
dreidimensionalen kartesischen
Koordinatensystemen mit einheit·
Iichen Maßstäben auf den jeweils
drei Achsen ist minels
- dreier Translationen
- drcier Rotationen und
- eines Maßstabsfaktors
möglich, also mit insgesamt
- 7 Transformationsparamctern.
Die Transformationsgleichung lautet in Matrizenschreibweise:
624 Mitteilungsblatt DVW-ßayern 4/1996
z,
l,
y,

Xz: Koordinaten des Zielsystems Xs: Koordinaten des Startsystems
t: Vektor der Translationen Maßstabsfaktor
R: Rotationsmatrix
Die 3 x 3 Rotationsmatrix R besteht aus folgenden Komponenten:
I cosß
.
cosy cosa siny +sina sinß cos y sina siny - cosa sinß c?sy
-cosß siny cosa. cosy- sina sinß siny sina cosy + cosa. sinß sm y
Slnß -sina cosß cosa cosß
a: Drehwinkel um X-Achse Alle Drehungen im
ß: Drehwinkel um die mitgedrehte Y-Achse Gegenuhncigersinn
y. Drehwinkel um die neue Z-Aehse
Für sehr kleine Drehwinkel da , dß und dy kann R mit
vereinfacht werden zu:
Mit: Zielsystem
Startsystem
sin da = da und cos da = I
R' =I _;,
dy
1
dß -da
(X,Y,Z)BES
(X,Y,Z)WGS84
I + dm
da
-dß 1 I
erhält man aus GL(l) folgende Transfonnationsgleiehungen:
Xees-TR = tl( +(1+dmHXwGS84 + YwGs84 ·dy -ZWGS84 ·dß);
YaEs-TR = ty +{1+dm)·{-Xwas64 ·dy + YwaS84 +ZwaS84 ·da); (2)
Zees-TR = t� +(1+dm)·(Xwas84 ·dß- Ywas84 ·da+Zw0584);
Will man die 7 Transformationsparameter aus einer Ausgleichung bestimmen,
so benötigt man insgesamt mindestens drei identische Punkte. Jeder
identische Punkt liefen drei Verbesserungsgleichungen. Die umgeformten
Verbesserungsgleichungen
haben folgenden Aufbau:
v =A· �-I
Mitteilungsblatt DVW-Bayem 411996 625

v,
v,
v,
Vx A =
0 0 0 -Z Y X Xwo.s-X
0 Z 0 -Z Y Y&:s- Y
1 -Y X 0 Z lses-Z
0 0 0 -Z Y X x= da I= Xaes-X
d�
dy
dm
Koordinaten ohne Index beziehen sich auf das System WGS84.
Aus dem System der umgeformten Verbesserungsgleichungen werden nach
den Regeln der Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen die Unbekannten
ermittelt.
Restklaffungen:
Hinweise:
Vx = XsE:s. TR -Xaes
V�= YaeS-TR- Yaes
v, = Zses:m - Zses
- die Drehwinkel werden im Bogenmaß erhalten,
- durch die Einführung der Matrix R' anstelle von R wird die Ausgleichung
linear,
- will man die Varianz-Kovarianz-Matrizen der Koordinaten berücksichtigen
und wahlweise Unbekannte mil einem vorgegebenen Wert anhalten,
so wählt man besser ein anderes Ausgleichungsmodell (Gauß-He\mert­
Modell: bedingte Ausgleichung mit Unbekannten).
Netzbildung
Aus der gleichzeitigen Beobachtung von zwei Stationen läßt sich im System
WGS84 der Basisvektor ax, .1.Y, !:JZ zwischen den beiden Stationen berech­
·nen.
Dazu müssen die Koordinaten einer Station im System WGS84 festgehalten
werden. Näherungsweise kann man davon ausgehen, daß ein Punktlagefehler
von 20m einen Maßstabsfehler der Basislinie von etwa I ppm hervonuft.
Natürlich beobachtet man in der Regel mehrere Basislinien und achtet
darauf, daß man Überbestimmungen erhält. Um für alle Basislinien einen
einheitlichen Maßstab zu gewährleisten, darf man nur die WGS84-Koordi-
626 Mitteilungsblatt DVW-Bayem 411996

naten für den Referenzpunkt einer Basislinie festhalten. Die Referenzpunkte
für die anderen Basislinien müssen von diesem Referenzpunkt aus abgeleitet
werden.
Vorteil: Haben alle Basislinien (Basisvektoren) den gleichen Maßstab und
erfolgt später eine Transfonnation über identische Punkte zur
Berechnung von Landeskoordinaten, so wird der Maßstabsfehler
eliminiert.
Korrelationen
Bei der Auswertung einzelner Basislinien entstehen Korrelationen zwischen
den drei Komponenten der Basislinie, die in den Protokollen der Auswertesoftware
angegeben werden (Single Baseline Solution).
Werden mehr als zwei GPS-Empf

Ursprüngliche Verbesserungsgleichungen für jede Basislinie:
X, Y, Z: Vollständige Unbekannte; LlX, 11Y, I:J.Z: Beobachtungen
Verbesserungen
Es handeiL sich um ein einfaches lineares Ausgleichungsproblem, so daß die
umgefonnten Verbesserungsgleichungen sofort angeschrieben werden kön-
Verkür.de Unbekannte: 'X, 9, 2
Verkürzte Beobachtungen:
I&X1 =llX,�(Xf�X�); lli.Y1 =6Yij�(Yj0�Yi0); I

Zahlenbeispiel
Von Studenten der Fachhochschule München wurden in einem Netz mit den
4 Punkten A, B, C und D fünf Basisvektoren beobachtet. Der fünfte Punkt
N wird erst späler verwendet.
Eine unabhängige Auswertung der Basisvektoren ergab folgende Ergebnisse:
Oo 0-Matrix
Vektor öX[m] aY[mj !J.Z{m] [�[ der Beobachtungen
A - B -120.6571 -300.2994 +156.7401 1.8 +0.214 +0.059 +0.204
+0.059+0.075 +0.009
+0.204 +0.009 +0.372
A-C -476.0756 +10.1637 +410.1607 2.1 +0.105 +0.016+0.115
+0.016 +0.026 +0.014
+0.115 +0.014 +0.206
B -C -355.4156 +310.4622 +253.4266 2.2 +0.265 +0.046 +0.288
+0.046 +0.053 +0.055
+0.288-+0.055+0.454
C-0 -+292.3411 -+258.9934 -301.0399 2.5 +0.391 +0.039 -+0.390
-+0.039-+0.064 +0.062
+0.390-+0.062 +0.558
0-A +183.7152 -269.1486 -109.1266 2.4 -+0.852 -0.308+0.672
-0.308 +0.150-0.250
+0.672 -0.250-+0.623
B
Mit Hilfe der gemessenen Basisvektoren wurden die in der folgenden Tabelle
angegebenen Näherungskoordinaten berechnet. Dazu wurden für den
Punkt A die aus der Navigationslösung erhaltenen Koordinaten im System
WGS84 angehalten.
Mitteilungsblatt DVW-Bayem 411996 629
0

Die durchgeführten Beobachtungen werden in drei Varianten einer vermittelnden
Ausgleichung unterzogen, wobei jeweils die Koordinaten des Punktes
A angehaUen werden, um einen Rangdefekt auszuschalten. Die einzelnen
Lösungen unterscheiden sich lediglich durch die Gewichtsmatrix ftir die
Komponenten der Basislinien. Die Designmatrix A (enthält die Koeffizienten
der verkürzten Unbekannten) und der Vektor I der verkürzten Beobachtungen
(Dimension: mm) bleiben dagegen bei allen Ausgleichungsvarianten
identisch.
Reihenfolge der Unbekannten: X8, Y8, Z8, Xe. Yc. Zc.X0, Yl)• Zo.
A=
·
-1
0 -1
0 -1
0 0 -1
-1
Variante!:
-1
0 -1
-1
0 -1
29
I= -0.9
0 (mm] 6.0
-19.3
8.3
-5.8
Alle Komponenten der Basislinien werden als unabhängige und gleichgenaue
Beobachtungen in die Ausgleichung eingeführt. Dadurch wird die Gewichtsmatrix
P identisch mit der Einheitsmatrix E und es gelten die vereinfachten
Beziehungen:
630 Millcilungsblatt DVW·Bayem 4/1996

Nonnalgleichungsmatrix
Absolutgliedvektor
N=
Variante2:
N=A T PA=A T A;
n=A T PI=A T J;
• 0 0 -1 0 0 0 0 0
0 • 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 • 0 0 -1 0 0 0
-1 0 0 0 -1 0
0 -1 0 � 0 0 -1
0 0 -1 0 0 � 0 0 -1
0 0 0 -1 0 0 • 0 0
0 0 -1 0 0 • 0
0 0 0 -1 0 0 •
-2.9
0.9
-6.0
22.2
n= -9.2
11.8
-19 .3
8.3
-5.8
Bei der Auswertung der Basisvektoren erhält man zusätzlich lnfonnationen
bezüglich der erreichten Genauigkeit (siehe Angaben). Bei diesem Beispiel
sind ftir jedeo Vektor die Standardabweichung der Gewichtseinheit a0 und
die Gewichtskoeffizienten der einzelnen Komponenten der Basislinien (Basisvektoren)
gegeben. Betrachtet man diese Komponenten als unabhängige
Beobachtungen, so können in einfacher Weise Beobachtungsgewichte P;
berechnet werden aus:
p1 = c/a12; c: Konstante; a12 = alq11: Varianz der i. Beobachtung;
Für den Vektor A-B erhält man z.B. mit c = I:
p{M) = 1f(oi·q(�))
p(AY) = 1/(cro2·q(AYAY))
p(t..Z)= 11(cro2·q(.L\Z.t..Z))
Mineilungsblatt DVW-Bayem 411996
1/(1.82·0.214)
1/(1.82·0.075)
1/(1.82·0.372)
1.44
4.12
0.83
63 1

Die GewichlSmatrix P wird nun eine Diagonalmatrix mit den Beobachtungsgewichten
Pi in der Diagonalen:
1.44
4.12
0.83
0.20
0 1.16
0.28
Die Normalgleichungsmatrix N = A TpA und der Absolutgliedvektor n =
A Tpt ergeben sich zu·
m
�
�
-0.78
-3.90
-0.46
..{1.78 0 � ..{1.41
N � -3.90 &12 0 0 -2.50
-0.46 JM -0.29
-0.41 !ill 0
-2.50 0 � 0
0 -0.29 MI
nr • 1 -2.262 3.510 -2.760 10.175 -24.260 4.442 -7.913 20.750 -1.6132 1
Variante 3:
Bei dieser Lösung sollen nicht nur die unterschiedlichen Genauigkeiten der
einzelnen Komponenten der Basisvektoren, sondern auch deren gegenseitige
Korrelationen (Abhängigkeiten) berücksichtigt werden, die bei der Auswertung
der Basislinien entstehen. Dazu benötigt man die Varianz-Kovarianzmatrix
der korrelierten Beobachtungen, die allerdings durch die GPS­
Auswerteprogramme meist nicht direkt angegeben wird. Dafür ist bei
632 Mitteilungsblatt DVW-Bayem 411996

diesem Beispiel die Matrix der Gewichtskoeffizienten Q und die Standardabweichung
der Gewichtseinheit cr0 gegeben. Die Varianz-Kovarianzmatrix
L erhält man durch Multiplikation der Q-Matrix mit der Varianz der
Gewichtseinheit cr0 2 .
Daraus wird die Gewichtsmatrix P ftir korrelierte Beobachtungen durch
Invertierung der Varianz-Kovarianzmatrix gewonnen aus:
Beachte:
L = Oo2·Q; c·Q = L; p = a-1 = ((1/c) ·L )"1 = C·L" 1
cr0 2 : Varianz der Gewichtseinheit aus der Auswertung der Basislinien
Schätzwert für die Varianz der Gewichtseinheit zur Netzausgleichung
Berechnung der Gewichtsmatrix P A-B für den Vektor A-B mit wiederum c = 1:
0.214 0.059 0.204 1 1 4.896 -3.539 -2.599 1
!:=crtQ=1.8
I
' · 0.059 0.075 0.009 P.._.8= -3.539 6.686 1.779
0.204 0.009 0.372 -2.599 1.779 2.212
In gleicher Weise sind für die anderen Vektoren die Gewichtsmatrizen zu
bestimmen, die dann zur Gesamtgewichtsmatrix P zusammengefaßc werden.
Pa.c
Pc.o
Mitteilungsblatt DVW-Bayem 411996 633

In gewohnter Weise werden nun wieder Nonnalgleichungsmatrix
N = A TpA und Absolutgliedvektor n = A T'pJ gebildet:
lli -4.16 -4.17 -2.59 0.62 1.57
-4.16 � 1.62 0.62 -4.61 0.16
-4.17 1.62 3 . 68 157 0.16 -1.47 0
-2.59 0.62 1.57 � -2.46 -5.72 -1.35 -0.10 0.96
"' 0.62 -4.61 0.16 -2.46 1Lll -0.12 -0.10 -2.81 0.38
1.57 0.16 -1.47 -5.72 -0.12 � 0.96 0.38 -1.00
-1.35 -0.10 0.96 3.13 1.48 -2.33
-0.10 -2.81 0.36 1.48 7.36 -0.04
0.% 0.38 -1.00 -2.33 -0.04 2.89
1.34 6.93 -4.42 18.40 -30.49 -5.09 -19.74 23.56 9.51
n' =I
Vergleich der Ergebnisse:
In der Tabelle sind die wichtigsten Ergebnisse der drei Netzausgleichungen
zusammengestellt, nämlich die Koordinaten der Punkte B, C und D im
System WGS84 mit ihren Standardabweichungen.
Punkt 1.Variante 2. Variante 3.Variante
B X 4177 810 048m 4.2mm 046m 3.0mm .046m 3.3 rm1
y 854 673 .220 42 221 1.6 .221 1.7
z 4 727 818 411 4.2 .411 4.0 .410 4.4
c X 4 177 454 .634 3.8 .629 2.6 .629 2.8
y 854983 .681 38 .683 1.2 .683 1.4
z 4 728 071 836 3.8 .834 3.4 .833 3.7
D X 4177 746 982 42 .976 5.7 .972 5.0
y 855 242 672 4.2 .674 2.4 .675 2.1
z 4 727 770 797 4.2 .797 5.9 789 5.0
Ein Blick auf die Ergebnisse zeigt, daß sich die Koordinaten der Punkte um
bis zu einem Zentimeter unterscheiden, in Relation zu den Standardabweichungen
der Koordinaten ein großer Betrag. Ursache sind die unterschiedlichen
Genauigkeiten der Basisvektoren und die starken Korrelationen zwischen
den Komponenten jeweils einer Basistinie. Nicht berücksichtigt wurden
eventuell vorhandene Korrelationen zwischen den Komponenten
verschiedener Basislinien.
Problem: In der Praxis werden natürlich in der Regel Landeskoordinaten
benötigt und nicht Koordinaten im System WGS84. Daher wer-
634 Mitteilungsblatt DVW-Bayem 411996

den in den nächsten Kapiteln die wichtigsten Möglichkeiten zur
Übetführung der Koordinaten vom System WG$84 ins Lan·
deskoordinatensystem aufgezeigt.
DreidimensionaJe Ü berführung der GPS-Koordinaten
in Landeskoordinaten
Ergebnisse von GPS-Messungen: X, Y, Z-Koordinaten im System WGS84
Aus den in der Einleitung genannten Gründen können diese Koordinaten nur
mit Hilfe von identischen Punkten in Koordinaten des Landessystems
(Gauß-Krüger Koordinaten) umgeformt werden, da es nicht möglich ist, die
Wene von allgemein gültigen Transformationsparametern zu beslimmen.
Dabei wird man selbstverständlich immer bemüht sein, mehr identische
Punkte zur Verfügung zu haben, als zur gerade eindeutigen Bestimmung der
Transfonnationsparameter notwendig sind => Ausgleichungsproblem.
Da es sich bei den Koordinaten des Systems WGS84 um dreidimensionale
Koordinaten handelt, bietet sich natürlich eine dreidimensionale Lösung als
der theoretisch naheliegende Weg zur Zusammenführung von GPS-Netzen
und Netzen der Landesvermessung an.
Hinweis: Bei dieser Lösung werden keinerlei Infonnalionen bezüglich der
gegenseitigen Lage beider System benötigt
Formeln: siehe Anhang I
Skizzen: siehe Anhang 2
Miueilungsblan DVW-Bayem 4/1996 635

Erforderliche Einzelschritte:
OHON, OHHN, NN-Undutationen
Identische Punkte samtliehe Punkte
(R,H,HNN)eEs
'
0
u
(ß,l,h)eEs
u
0
u
(X,Y,Z)&s
u
Landeskoordinaten
(R,H,HNN)BEs.-m
n
49
n
Ellipsoidische Koordinaten (B,L,hlats-m
"
@
n
Kartesische Koordinaten (X,Y,ZAAos.-lR
"
Räumliche Ähnlichkeitstransformation � •�. t.,., t,, a, ß. y, m
WGS84 "
(X,Y,Z}wa56-4
"
Ausgleichung der Basisvektoren
Basisvektoren (6X,.�Y,,!Q,}w0sa�. (6X:�,L\Y2,AZ2J...vGSM ...
(�Xn.t. Y n.AZnMoasa.o
0 Berechnung von kartesischen Koordinaten X, Y, Z aus ellipsoidischen
Koordinaten B, L, h
8 Berechnung von ellipsoidisehen Koordinaten B, L, h aus kartesischen
Koordinaten X, Y, Z
0 Berechnung von Gauß-Krüger Koordinaten R, H und der Meereshöhe
HNN aus ellipsoidischen Koordinaten B, L, h und der NN-Undulation U
0 Berechnung von ellipsoidischen Koordinaten B, L, h aus Gauß-Krüger
Koordinaten R, H, der Meereshöhe HNN und der NN-Undulationen U
Zweidimensionale Ü berrührung der GPS-Koordinaten in Landeskoor­
dinaten
Die dreidimensionale Zusammenführung von terrestrischen und GPS-Netzen
setzt nivellitisch bestimmte Höhen der identischen Punkte und Kenntnis
636 Mitteilungsblatt DVW-Bayern 411996

der NN-Undulationen aller Punkte voraus ("cm-Geoid"). Sind diese Voraussetzungen
nicht erfüllt, so kann man die Zusammenführung auch zweidimensional
durchführen.
Lösung ohne Vortransformation
OHON
Identische Punkte
(R,H)eEs
u
WGS84
Gauß'sche konforme Koordinaten
bezogen auf das
WGS84-EIIipsoid
Landeskoordinaten
Ebene Transformation
(R.H�ss•
"
,;)
"
(B,L,h}M:;S84
'
Ausgleichung der Basisvektoren
Basisvektoren: (tl.X1,J.Y1.&1�se•. {tl.X,,t!.Y2,t. Z2,)wose• ...
(6X".6.Yn,C.Z")wGseo
Samtliehe Punkte
(R,H)eES.ffi
"
(h einfach weglassen)
Hinweis: Die ebene Transfonnation darf streng genommen nicht als ebene
ÄhnlichkeitstranSfonnation durchgeführt werden, da ein Ellipsoidübergang
stattfindet. Stau dessen müßte man eine aufwendigere
konfonne Transfonnation anwenden. Gelegentlich behilft
man sich trotzdem mit einer ebenen Ähnlichkeitstransformation
oder mit einer Affintransfonnation und erzielt bei kleinen Umformungsgebieten
ausreichende Ergebnisse.
Mitteilungsblau DVW-Bayem 411996 637

Lösung mit Vortransformation
WGS84
Basisvektoren: (UX,,.lY1,.

Koordinaten des Systems WGS84 über eine überbestimmte ?-Parameter­
Transformation in kartesiSche Koordina1en des Bessel-EIIipsoids transformiert.
Die Verwendung von NN-Höhen anstelle der eigentlich einzuführenden
ellipsoidischen Höhen h ist hier im Gegensatz zur dreidimensionalen
Lösung nicht schädlich. Die Kenntnis der NN-Undulationen ist hier also
nicht notwendig.
Beispiel:
Für die vorher durch eine vermittelnde Ausgleichung bestimmten Koordinaten
der Punkte 8, C und D im System WGS84 stehen auch Gauß-Krüger
Koordinaten und NN-Höhen zur Verfügung. Dazu kommt noch der Neupunkt
N, der nur im System WGS84 bekannt ist. In dem sehr kleinräumigen
Gebiet treten Undulationsunterschiede lediglich in der Größenordnung von
einigen Millimetern auf, so daß auf die Einftihrung von ellipsoidischen
Höhen verzichtet wird. Für die Koordinaten im System WGS84 werden die
Ergebnisse der Ausgleichungsvariante 3 herangezogen.
Punkt
A
B
c
0
N
Punkt
A
B
c
0
GPS-Koordinaten
X[m) Y[m) Z[m)
4177 930.704 854 973.520 ! 4 727 661.672
4 177 810 046 854 673.221 4 727 818.410
4 177 454.629 854 983.683 l 4 728 071.833
4 177 746.972 855 242.675 1 4 727 770.789
4 177 656.721 855 170.975 4 727 888.696
Landeskoordinaten (GK-Koordinaten)
R[m) H[m)
HüNN [m}
44 67 749 610 1 53 33 616.210 520.518
44 67 480.960 53 33 855.190 518.188
44 67 858.500 53 34 235.170 516.146
44 68 051.050 53 33 781.200 517.672
Mitteilungsblan DVW-Bayem 411996 639
I

Mit Hilfe eines Rechenprogramms wurden folgende Ergebnisse erzielt:
Lösungsvariante
Neupunkt N
R[m] H[m] HüNN[mJ
3-0 Lösung 44 67 999.788 53 33 936.728 536.904
mit NN - Höhen
3-D Lösung 44 67 999.788 53 33 936.728 536.905
mit el!i s. Höhen
2-D Lösung ohne 44 67 999.788 53 33 936.729
Vortransformation
2-0 Lösung mit 44 67 999.788 53 33 936.728
Vortransformation
Wie in Anbetracht des geringen Umfangs des Meßgebietes und der !deinen
Undulationsunterschiede nicht anders zu erwarten war, stimmen die Ergebnisse
nahezu vollständig überein. Bei der 2-D Lösung mit Vortransformation
wurde nur ganz grob der Datumsshirt aus der 3-D Lösung auf ca. 50 m
genau eingesetzt.
Restklaffungen im Landeskoordinatensystem:
Die Restklaffungen in den Höhen gelten natürlich nur für die dreidimensionale
Lösung.
Gemeinsame Auswertung von terrestrischen Beobachtungen und
Satellitenbeobachtungen
Traditionell werden die terrestrischen Netze und die GPS-Netze getrennt
ausgeglichen und anschließend nach einem der gezeigten Verfahren über
Transformationen zusammengeführt. Naheliegend ist es jedoch, alle Beobachtungen,
wie z. B.
- Streckenmessungen
- Richtungsmessungen
640 Mitteilungsblatt DVW-Bayem 411996

- Zenitwinkelmessungen
- Höhenumerschiede und eben auch
- Koordinatenunlerschiede !\X, 6. Y und t:JZ aus GPS-Messungen
in eine gemeinsame Ausgleichung einzubringen, um ausgeglichene Koordinaten
der Neupunkte zu ennitteln.
Problem: die GPS-Daten beziehen sich auf ein dreidimensionales, kartesisches
und geozentrisches Koordinatensystem (WGS84), während
sich die terrestrischen Beobachtungen auf das jeweilige Tangentialkoordinatensystem
im Beobachtungsstandpunkt beziehen.
Man beachte auch, daß üblicherweise in der Landesvennessung Ausgleichungen
getrennt nach Lage, bezogen auf ein Ellipsoid, und Höhe! bezogen
auf das Geoid, durchgeführt werden.
Eine erste Möglichkeit der gemeinsamen Ausgleichung von Satellitenbeobachtungen
und terrestrischen Beobachtungen besteht darin, aus den Komponenten
der Basisvektoren Schrägstrecken zu berechnen, diese zu verebnen
und gemeinsam mit den herkömmlichen Beobachtungen einer vermittelnden
Ausgleichung w unterziehen. Man verzichtet dabei jedoch auf einen Teil
des lnfonnationsgehaltes von Satellitenbeobachtungen {Azimut und Zenitwinkel
im System WGS84) und ist daher nicht zu empfehlen.
Grundsätzlich bieten sich mehrere Möglichkeiten an, GPS-Beobachtungcn
gemeinsam mit konventionellen Beobachtungen auszugleichen (Strauß/
Walter 1993):
I. Transfonnati O n der GPS-Raumvektoren und ihrer Genauigkeitsmaße
mittels bekanmer Transfonnationsparameter in das amtliche Bezugssystem
und anschließende kombinierte Ausgleichung im Landessystem.
2. Ausgleichung der konventionellen Beobachtungen unter Berücksichtigung
der mittels bekannter Parameter trdflsformierten ausgeglichenen
Koordinaten und deren Kovarianzmatrix der GPS-Punkte im Landessystem
( Ausgleichung mit gemessenen Unbekannten).
Bei beiden Möglichkeiten muß man über hinreichend gcnaue Werte für die
Transfonnationsparameter verfügen, was meist nicht oder noch nicht vorausgesetzt
werden kann. Dann bleibt als dritte Möglichkeit:
3. Kombinierte Ausgleichung der im WGS84 gegebenen Raumvektoren und
der konventionellen Beobachtungen bei gleichzeitiger Bestimmung der
Transfonnationsparameter in der Ausgleichung.
Milteilungsblan DVW-Bayem 411996 641

Natürlich muß die Ausgleichung in einem einheitlichen Koordinatensystem
durchgeführt werden. Auch daflir gibt es mehrere Möglichkeiten:
- auf den Mittelpunkt des Referenzellipsoids bezogene kartesische Koordinaten
X, Y, Z,
- ellipsoidische Koordinaten B, L, h und
- Koordinaten im Abbildungssystem, in Deutschland also Gauß-Krüger
Koordinaten.
Je nach Wahl des Koordinatensystems muß das funktionale Modell der Ausgleichung
aufgestellt werden, d. h. der Zusammenhang zwischen den Beobachtungen
auf der einen Seite und den Unbekannten (Parametern) der Ausgleichung
auf der anderen Seite ist zu formulieren (ursptüngliche Verbesserungsgleichungen):
Beobachtung + Verbesserung= Funktion der ausgeglichenen Unbekannten
Ausgleichung in kartesischen Koordinaten X, Y,Z des Landessystems
'" + '• = f ( it;. �;. i;. 51:.,� •. i".Ö;. �. ß. y.�);
1;�::: durchgeführte Beobachtung von Punkt i nach Punkt k
V;�:: zugehörige Verbesserung
Unbekannte:
X;,Y;,Z;,
Xt, Y k•Zk: Koordinaten der Neupunkte im Landessystem (Besselellipsoid)
0;: Orientierungsunbekannte
o., ß, y. Drehwinkel der Transformation vom System WGS84 ins
Landessystem (Besselellipsoid)
Maßstabsunbekannte
Als zusätzliche Unbekannte können eingeführt werden:
- ein oder mehrere Refraktionskoeffizienten
-Additions- bzw. Multiplikationskonstanten für die elektronischen Entfernungsmesser
Als Beobachtungen kommen in Betracht:
-Strecken
-Azimute
-Richtungen
642 Mitteilungsblan DYW-Baycrn 4/1996

-Zenitwinkel
-ellipsoidische Höhenunterschiede und
- Basisvektoren aus GPS-Messungen
Die erforderlichen Funktionen wurden z. B. angegeben von Hofmann-Wellenhof
(GPS in der Praxis 1994). Da es sich natürlich um keine linearen
Funktionen handelt, müssen diese noch linearisiert werden, d. h. man benötigt
die Ableitungen der Funktionen nach den einzelnen Unbekannten. Auch
diese Größen können z. B. bei Hofmann-Wellenhof nachgelesen werden.
Die Koordinaten der Festpunkte müssen natürlich vor der Ausgleichung
über ellipsoidische Koordinaten in kartesische Koordinaten übergeführt
werden, wozu streng genommen wieder die NN-Undulationen benötigt werden.
An der Fachhochschule München steht den Studierenden das Programm
MOVE3 von Grontmij Geogroep zur Verfügung, das alle wesentlichen
Schritte der Ausgleichung konsequent in ellipsoidischen Koordinaten
B, L und h durchführt. Da das Programm für den internationalen Markt
erstelitt wurde, ist dies sicherlich insofern von Vorteil, daß trotz unterschiedlicher
Abbildungen zwischen Ellipsoid und Ebene (Transversale Mercatorprojektion
[z. B. Österreich, Deutschland, Schweden und Großbritannien].
Konforme Lambertprojektion [z. B. Belgien, Dänemark, Frankreich
und Spanien], Stereographische Projektion [z. B. Niederlande, Polen, Rumänien
und Kanada]) der Linearisierungsprozeß stets identisch ist. Der Benutzer
muß angeben, in welcher Projektion die Landeskoordinaten eingegeben
werden und er erhält natürlich nach der Ausgleichung seine Ergebnisse
wieder in der gleichen Projektion. Es müssen die Originalbeobachtungen
ohne Anbringung von Reduktionen in das Programm eingegeben werden.
Es können folgende Beobachtungen kombiniert ausgeglichen werden:
-Horizontalstrecken
-Schrägstrecken
-Horizontalrichtungen
-Azimute
-Zenitwinkel
-Höhenunterschiede
- GPS-Basislinien (ilX, ßY, C..Z)
- GPS-Koordinaten (X, Y, Z)
Das Programm liefert neben den üblichen Genauigkeitsangaben auch Angaben
zur inneren und äußeren Zuverlässigkeit der ausgeglichenen Netze.
Mineilungsblan DVW-Bayem 411996 643

Ausgleichung im System der Landeskoordinaten (GK-Koordinaten)
Die Ausgleichung im System der Landeskoordinaten (Rechtswert R, Hochwert
H und cllipsoidische Höhe h) hat zunächst den Vorteil, daß die funktionalen
Beziehungen zwischen den konventionellen Beobachtungen und
den Unbekannten sehr wohl bekannt und in zahlreichen Programmen realisiert
sind. Will man also ein herkömmliches Ausgleichungsprogramm für
Lage- und Höhennetze zu einem Ausgleichungsprogramm ftir kombinierte
terrestrische und Satellitenbeobachtungen erweitern, so müssen im wesentlichen
lediglich die zusätzlichen Verbesserungsgleichungen flir die Komponenten
AX, 6. Y, !il.. der Basisvektoren ergänzt werden. Außerdem muß die
Zahl der Unbekannten um die vier Parameter a, ß, y und m einer räumlichen
Transformation (die Translationen entfallen) erweitert werden.
Die nichtlinearen Beziehungen zwischen den Koordinatendifferenzen von
Punkt P; 7.Um Punkt Px und den Unbekannten lauten allgemein:
AX;�;. = Fx (R;, H;, h;, Rk, H�;., h�;., a, ß, y, m);
6. Y il

An der Fachhochschule München ist neben MOVE3 auch das Programm
NETZ! R von Crcmer im Einsatz, das mit Ausnahme von beobachteten
GPS-Koordinaten die gleichen Typen von Beobachtungen wie MOVE3
gemeinsam verarbeiten kann.
Das Programm arbeitet nach dem Lösungsvorschlag von Strauß und Walter.
Literaturverzeichnis
Denker, �1. A new Gravimetrie Quasig«>id for the federal Republie
ofGermany
DGK, Reihe B. Nr. 291, Milnchcn 1989
Heck, B. Rochenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung
Verlag Wichmann.Karlsruhe 1987
Hofmann-Wellenhof. B. u.a Global Positioning System. Theory and Practice
Springer-Verlag. Wien New York, 3. Auflage 1994
Hofmann-Wellenhof, B. u.a GPS in der Praxis
Springer-Verlag, Wien; Ncw YorK, 1994
Keller,W. u.a.
Schmin,G.u.a.
Schnädelbach,K
Schödlbaucr.A.
Strauss,R.u.WaltCT.H
Dreidimensionale Netzausgleichung im lokalen
Horizontsystem
AVN l/l993.S. l3-28
Transformationsprobleme
DVW-Mineilungen Badcn-Wi.lntemberg 1991.
Sonderheft:GPSundlntcgralion vonGPS in
bestehende geodätische Netze
Zur Ausgleichung von GPS-Beobachtungen im System
ebenerkonformer Koordinaten
AVN 10/1995, S. 369-373
Rechenformeln und Rechenbeispiele zur
Landesvermessung
Herbcrt Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1981
Die Ausgleichung von GPS-Beobachtungen im System
der Landeskoordinaten
AVN 611993, S. 207-212
Mineilungsblan DVW-Bayem 411996 645

Anhang I: Fo.-meln
0 Berechnung von ka.-tesischen Koordinaten X, Y, Z aus ellipsoidi­
mit:
schen Koordinaten B, L, h:
X - (N+h)·cos B·COS L; Y = (N-t-h)·cos B·sin l; Z • ((1-e2)-N-t-h}sin 8;
Querkrümmungshalbmesser:
Quadrat der 1. numerischen Exzentrizität: e 2 = �a'
,
Sessel-Ellipsoid WGSB4-EIIipsoid
6 377 397.15508 m 6 378 137.00000 m
6 356 078.96290 m 6 356 752.31425 m
8 Be.-echnung von ellipsoidischen Koordinaten B, L, h aus kartesi­
mit:
schen Koordinaten X, Y, Z (direkte Lösung nach Scherrer):
L = arctanf:
Quadrat der 2. numerischen Exzentrizität:
Hilfsgröße: 6=arctan � X 22;�2 -b ;
" 2 a2 -b2
e = -b-, - ,
646 Mitteilungsblatt DVW-Bayern 4119%

e Berechnung von Gauß-Krüger Koordinaten R, H und der Meeres­
höhe HNN aus ellipsoidischen Koordinaten B, L, h und der NN­
Undulation U
41: ellipsoidischelänge des Bezugsmeridians in Grad;
x = G + {2)x·h.L2 + [4),·l'!.l• + . . · y = {1).,.·l'!.l + [3).,.·6l3 + [5},.-l'!..l5 + ..
mit .ö.l im Bogenmaß.
R = lw/3·106 m + 500 000 m + y; H = x; HNN = h-U; �
Bedeutung der Koeffizienten:
G = Meridianbogenlänge zur ellipsoidischen Breite B
G = a·(B + ß·Sin(2·B) + y-sin(4·B) + 8-sin(6·B) + E·Sin{8·B) + ... );
{2}. = N·cos2B·tl2;
[1)y = N-cos B;
mit ·
t= tan B;
Miueilungsblau DVW-Bayem 4/1996
[4], = N-cos�B-t-(5- ! 2 + 9-112)124;
[3]y = N·COS3B·(1 - f + 112)/6;
Sessel-Ellipsoid WGS84-EIIipsoid
6 366 742.5203 m
-2.511 274 56·10-3
2.62771·10-�
-3.42·10";
5·10"12
6 367 449.1458 m
-2.518 827 92·10"3
2.64354·10"�
-3.45·10"9
5-10·12
647

0 Berechnung von 'ellipsoidischen Koordinaten B, L, h aus Gauß­
Krüger Koordinaten R, H, der Meereshöhe Hr.'N und der NN-Undu­
lation U
x = H: y = R (Kz·10 � m + 500 000 m); Kz =Kennziffer des Rechtswerts R
Bedeutung der Koeffizienten:
L· LH .. [1JL.y+ [3Lr+ [5JL.I ..
[2]e =-
2_ P N � ·tF -(1+ TJ�); [4Je =
24 � N � -tF -(5 +3·1� + 6- T]r(1-t�));
[6]6 "'- 72 ;_ N� · IF · (61+ 90-t� + 45-t�):
(3]l ;---, p -- -(1+2·t�+TJ�);
6- N F -cosBF
(5)L • 120 ·N{co ·(5
s8F
+28 -t�+24·1�);
mit: BF =Geographische Breite des Lotfußpunktes F; p = 18 0ht ;
-J: = xlo.'; BF = (-J: + P'-sin(2-x') + y'-sin(4-x') + 6'-sin(6-x') + e'- s in(S·x'))·p;
648
Geographische Breite des Lotfußpunktes
u'
ß'
Sessel-Ellipsoid
6 366 742.5203 m
2.511 273 24-10"3
3.678 79-10�
7.38-10"�
17-10·12
WGSB4-EIIipsoid
6 367 449.1458 m
2.518 826 58·10"3
3.700 95-10�
7.45 -10"9
17- 10-12
Miueilungsblan DVW-Bayern 4/1996

Anhang 2: Skizzen
Mittleres Erdellipsoid Konventionelles Ellipsoid
Beispiel: WGS84-EIIipsoid Beispiel: Sessel Ellipsoid
WGS84-EIIipsoid: Mittleres Erdellipsoid, das die Erde als Ganzes ersetzen
soll
Geoid-Undulationen weltweit < 100 m
Bessei-EIIipsoid: Konventionelles Ellipsoid, das ein begrenztes Gebiet
der Geoidoberfläche ersetzen soll
Übergang zwischen WGS84-EIIipsoid und Sessel-Ellipsoid:
-über räumliche Ahnlichkeitstransformation mit mindestens drei identischen
Punkten
-über räumliche Ahnlichkeitstransfonnation mit vorgegebenen Parametern
Näherungswerte für die Parameter: t, = -628 m; ty = -23 m; t, = -445 m;
Startsystem: WGS84 System;
Miueilungsblau DVW-Bayern 4/1996
a. = +0_9"; ß = +0.2"; '! = -2.0";
m = -9 ppm;
Zielsystem: Landessystem (Bessel)
649

Ausgleichung von GPS Net'l.en: Aufstellung der ursprungliehen Verbesscrungsgleichungen
Y,
Z; i /
1 1/x,
I ;
_ _y
YWGS84
Zusammenhang zwischen kartesischen und ellipsoidischen
Koordinaten
Kartesiehe Koordinaten: X,Y,Z Ellipsoidische Koordinaten: B,L,h
a: große Halbachse:
b: kleine Halbachse; N: Normalkrümmungshalbmesser
Kartesische Koordinaten: X,Y,Z Ellipsoidische Koordinaten: B,L,h
650 Mitteilungsbtau DVW-Bayem 411996