Entwicklung eines CAD-Systems für den Unterrichtseinsatz

DiplomarbeitEntwicklung eines CAD-Systems fürden UnterrichtseinsatzAusgeführt am Institut fürDiskrete Mathematik und Geometrieder Technischen Universität Wienunter der Anleitung vonAo. Univ. Prof. Mag.rer.nat. Dr.techn. Martin PETERNELLdurchMarko KNÖBLBaumgarten 21, 7122 Gols15. Juli 2013

InhaltsverzeichnisZusammenfassung 11 Grundlagen der Boundary Representation und Béziergeometrie 21.1 Repräsentationsformen geometrischer Modelle . . . . . . . . . . . . . 21.2 Beschreibung geometrischer Objekte in der B-rep-Darstellung . . . . . 31.3 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Die Winged-Edge Datenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Euler Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Béziergeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Der Algorithmus von de Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Die Bernsteinform von Bézierkurven . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Ableitung von Bézierkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.4 Formeigenschaften von Bézierkurven . . . . . . . . . . . . . . 131.4.5 Rationale Bézierkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.6 Kegelschnitte als rationale Bézierkurven . . . . . . . . . . . . 151.4.7 Zusammengesetzte Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.8 Rationale Bézierflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Geometrische Konstruktionen und Algorithmen 202.1 Freiformkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.1 Kubische Hermiteinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Kubische C 2 -Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 B-Spline-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Besondere Flächenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Regelflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Rotationsflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Schnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Schnittkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Boolesche Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1 Regularisierte boolesche Operationen . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Benutzeroberfläche 333.1 Übersicht über andere Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.1 CAD-3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33i

Inhaltsverzeichnis3.1.2 SketchUp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.3 GAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.4 MicroStation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Eingabemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1 Punkteingabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Eingabe numerischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3 Benutzerkoordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Grundobjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Raumtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Boolesche Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.2 Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.3 Differenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Implementierung 474.1 Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Grundobjekte und Objekttypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Objektmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Objektdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5 Dokumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6 Werkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.7 Programmstruktur und Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 Schlussbemerkungen 57Literaturverzeichnis 59ii

ZusammenfassungZiel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Computerprogramms für Computer AidedDesign (CAD), welches für den Schulunterricht insbesondere im UnterrichtsfachGeometrisches Zeichnen konzipiert ist.In den ersten beiden Kapiteln werden wir uns mit der internen Repräsentation geometrischerModelle in CAD-Systemen befassen sowie darauf aufbauend Algorithmenfür das Erstellen und Ändern derartiger Modelle beschreiben. In diesem Zusammenhangwerden wir uns insbesondere mit der Béziergeometrie und der BoundaryRepresentation beschäftigen, welche in den meisten der heutzutage verwendetenCAD-Programme zum Einsatz kommen.Im dritten Kapitel sollen sodann Überlegungen zu der Benutzeroberfläche des Programmsangestellt werden. Basierend auf einer Untersuchung von im Schulunterrichtverwendeten CAD-Systemen werden wir hier eine Oberfläche entwickeln, welche einemöglichst einfache Bedienung ermöglichen soll.Schließlich werden wir uns im vierten Kapitel mit der Implementierung sowie derdazu verwendeten Softwareplattform Open CASCADE beschäftigen. Außerdem werdenwir in diesem Kapitel darstellen, wie das resultierende Programm auf einfacheWeise durch weitere Werkzeuge ergänzt werden kann.DanksagungIch möchte mich herzlich bei meinem Betreuer Martin Peternell für die Ermöglichungdieser Diplomarbeit und die Unterstützung bei der Ausführung bedanken.Weiters gilt mein Dank meiner Familie, insbesondere meinen Eltern Elisabeth undJakob Knöbl, für ihre Unterstützung während meines gesamten Studiums.Die Entwicklung des im Rahmen dieser Arbeit entstandenen Computerprogrammswäre nicht möglich gewesen ohne die Vielzahl an existierender Freier Software, aufder dieses aufbaut. Mein Dank geht hier an die Entwickler von Open CASCADE,OCE und insbesondere an Jelle Feringa und Thomas Paviot für Ihre Arbeitan pythonOCC.Abschließend möchte ich mich bei all meinen Professoren und Studienkollegen bedanken,sowie bei meinen Freunden, die mich in diesem Lebensabschnitt begleiteten.1

1 Grundlagen der BoundaryRepresentation undBéziergeometrie1.1 Repräsentationsformen geometrischer ModelleComputermodelle zur Repräsentation dreidimensionaler geometrischer Modelle wurdenerstmals in in den frühen 1960er Jahren genutzt. Seither haben sich verschiedensteDarstellungsformen entwickelt, die sich bezüglich ihrer Genauigkeit und Flexibilitätvoneinander unterscheiden und jeweils in verschiedenen Gebieten Anwendungfinden.Die erste computergestützte Darstellung geometrischer Objekte geschah durch Drahtgittermodelle.Dabei wird die Oberfläche von Modellen alleine durch Ecken undKanten repräsentiert. Später wurden in den sogenannten Polygonnetzmodellen nebenEcken und Kanten auch Flächen erfasst, meist als ebene Drei- oder Vierecke.Diese erlaubten erstmals die computergesteuerte maschinelle Herstellung von Bauteilen,beispielsweise in der Automobilindustrie. Der Schritt von Flächen- zu Volumsmodellenerfolgte in den 1970er Jahren. Mit dieser Entwicklung war es dannmöglich, auch physikalische Eigenschaften von Modellen, wie Masse, Schwerpunktund Belastbarkeit, zu bestimmen beziehungsweise zu simulieren.Die einfachste Möglichkeit zum Darstellen von Volumsmodellen ist das Normzellen-Aufzählungsschema. Bei diesem wird der Raum in ein gleichmäßiges Gitter aus würfelförmigenZellen aufgeteilt. Ein Körper wird dann durch jene Zellen repräsentiert,die in seinem Inneren liegen. Für die Beschreibung eines Modells in diesem Schemaist es daher notwendig, für jede Zelle anzugeben, ob sie im Inneren des Körpers liegt,oder nicht, was dieses Verfahren sehr speicherintensiv macht.Ein Nachteil aller bisher beschriebenen Darstellungsmöglichkeiten ist, dass Modellein vielen Fällen nicht exakt repräsentiert werden können. So erlaubt etwa keine derDarstellungsformen, eine Kugel oder einen Zylinder exakt zu beschreiben. Dies wurdeerstmals durch Constructive Solid Geometry, kurz CSG, ermöglicht. Bei ConstructiveSolid Geometry steht zur Modellierung eine gewisse Menge an Grundkörpern zurVerfügung, aus denen Modelle zusammengesetzt werden. Solche Grundkörper könnenbeispielsweise Kugel, Quader, Kegel oder Torus sein. Aus diesen Grundkörpernwerden durch die booleschen Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Differenz2

1.2 Beschreibung geometrischer Objekte in der B-rep-Darstellungweitere Körper gebildet. Der wesentliche Nachteil von CSG ist die Einschränkungder modellierbaren Objekte auf aus Grundkörpern zusammengesetzte. Im Vergleichzu den zuvor beschriebenen Möglichkeiten bietet es also eine höhere Genauigkeit aufKosten der Flexibilität.Ein erweitertes Repertoire an Körpern bei Beibehaltung der Genauigkeit ermöglichtdie Darstellungsform der Verschiebegeometrie (englisch sweeps). Hierbei werden Körperdadurch beschrieben, dass ein vorgegebenes Flächenstück entlang eines Pfadesbewegt wird. Der dabei überstrichene Teil des Raums legt den Körper fest. Sonderfälleder möglichen Körper sind Drehkörper, bei denen eine Fläche um eine Achserotiert, und Extrusionskörper, die durch eine geradlinige Bewegung eines Flächenstücksentstehen.Die meisten CAD-Systeme verwenden heutzutage die Boundary Representation, oftauch als B-rep abgekürzt. Bei der Boundary Representation werden geometrischeObjekte unter anderem über ihre Begrenzung definiert. Ein Körper ist beispielsweisedurch die ihn begrenzenden Flächenstücke festgelegt, ein Flächenstück wiederumneben der es enthaltenden Fläche durch die begrenzenden Kanten. In Kombinationmit rationalen Bézierkurven und -flächen können in einem Boundary RepresentationModell viele in CAD-Systemen auftretende Körper, wie Kugel, Kegel, Zylinder sowieExtrusions- und Rotationskörper, exakt beschrieben werden.1.2 Beschreibung geometrischer Objekte in derB-rep-DarstellungIn der Boundary Representation oder B-rep-Darstellung wird ein geometrisches Objektüblicherweise durch vier Eigenschaften angegeben, die wir als Form, Begrenzung,Topologie und Positionierung bezeichnen wollen.ΦAbbildung 1.1: Flächenstück in der Boundary RepresentationAls Beispiel dafür betrachten wir ein Flächenstück, wie es in Abbildung 1.1 angegebenist. Die Form dieses Flächenstücks ist durch die Form der es enthaltenden FlächeΦ festgelegt. Die Begrenzung innerhalb dieser Fläche geschieht durch zwei Randkurven,die in den Flächenparametern gegeben sind. Weiters sind mit diesen auch zwei3

1.2 Beschreibung geometrischer Objekte in der B-rep-DarstellungRaumkurven assoziiert, die in diesem Zusammenhang als Kanten bezeichnet werden.Diese Zuordnung zwischen dem Flächenstück und den es begrenzenden Kantenbeschreibt die Topologie des Objekts. Schließlich kann das Flächenstück beliebigim Raum positioniert werden. Diese Positionierung wird durch eine Transformationbeschrieben, die Ausgangs- und Endlage ineinander überführt.Nicht für jedes Objekt ist die Angabe von sowohl Form als auch Begrenzung notwendig:Für die Beschreibung von Flächen in einem 2D-System reicht etwa die Begrenzungzur eindeutigen Angabe aus - die Form ist in Gestalt der euklidischenEbene schon vorgegeben. Gleiches gilt für Körper in einem 3D-System: Diese sinddurch ihre Grenzflächen eindeutig festgelegt. Umgekehrt ist es für Punkte nicht notwendig,eine Begrenzung anzugeben.In CAD-Systemen wird die Form aller Objekte durch drei Arten von Grundobjektenbeschrieben:Punkt (englisch „point“): Ein Punkt wird durch seine drei Koordinaten bestimmt.Punkte sind die einzigen Objekte, die mittels Koordinaten beschrieben werden.Sowohl Kurven als auch Flächen werden als rationale Bézierkurven und-flächen nur als Linearkombination gegebener Punkte angegeben.Kurve (englisch „curve“): Eine Kurve wird als rationale Bézierkurve, beziehungsweiseals Zusammensetzung solcher Kurven, beschrieben. Eine rationale Bézierkurvewird wiederum durch eine Folge von Kontrollpunkten und zugehörigenGewichten angegeben. Mithilfe dieser Daten lässt sich auf einfache Weise aucheine Parameterdarstellung der Kurve ermitteln.Fläche (englisch „surface“): Eine Fläche wird, analog zum Fall der Kurve, alsZusammensetzung rationaler Bézierflächen beschrieben. Auch sie wird durchKontrollpunkte und Gewichte festgelegt, woraus sich eine Parameterdarstellungableiten lässt.Die drei beschriebenen Objekte, welche nur Forminformationen tragen, werden imZusammenhang mit CAD-Systemen als geometrische Objekte bezeichnet. Sie bildendie Basis für die sogenannten topologischen Objekte, die auch Informationen zu ihrerBegrenzung und zu benachbarten Objekten beinhalten. In jedem CAD-System gibtes zumindest vier Arten topologischer Objekte:Ecke (englisch „vertex“): Eine Ecke ist eine Erweiterung eines Punktes, die auchden Zugang zu topologischen Informationen, wie angrenzende Kanten oderFlächen, bietet.Kante (englisch „edge“): Eine Kante ist ein Teilstück einer Kurve, das durch zweigegebene Parameterwerte begrenzt ist. Weiters verweist eine Kante auf die zweisie begrenzenden Ecken.Flächenstück (englisch „face“): Analog zur Kante ist ein Flächenstück definiertals begrenzter Teil einer Fläche. Eine Fläche ist dabei wie erwähnt als Bézierflächein Parameterdarstellung gegeben. Ebenso verweist die Fläche auf die sie4

1.3 Topologiebegrenzenden Kanten und eine zugehörige Parametrisierung in Flächenparametern.Körper (englisch „solid“): Ein Körper ist durch die Angabe der ihn begrenzendenFlächenstücke bestimmt.Weiters werden oft Objekte unterstützt, die aus gleichartigen und zusammenhängendenObjekten bestehen. Beispiele hierfür sind die Objekttypen wire und loop, dieoffene beziehungsweise geschlossene Ketten von Kanten repräsentieren, sowie shellfür die Beschreibung zusammenhängender Flächenstücke.1.3 TopologieDie einfachste Möglichkeit zur Festlegung der Topologie eines Modells ist, mit jedemzu beschreibenden geometrischen Objekt jeweils dessen begrenzende Objekte zu assoziieren.Die Dimension der begrenzenden Objekte ist dabei um eins niedriger alsdie des ursprünglichen Objekts. Ein Beispiel einer solchen einfachen Festlegung ist inTabelle 1.1 gegeben. Dieses Beispiel zeigt die Topologie einer vierseitigen Pyramide,wie sie in Abbildung 1.2 angegeben ist.v5e6e5e8e7v1e4v4e3e1e2v3v2Abbildung 1.2: Pyramide mit Ecken- und KantenbezeichnungenIn dieser einfachsten Form wird die Topologie eines Körpers durch die ihn begrenzendenFlächen festgelegt, die Topologie einer Flächen durch die begrenzenden Kantenund die Topologie einer Kante durch die begrenzenden Ecken. Die gesamte Topologiedes Objekts ist durch diese drei Zuordnungen eindeutig bestimmt.Ein Nachteil dieser einfachsten Repräsentationsmöglichkeit ist, dass für einige Aufgabenauf der entsprechenden Datenstruktur nur ineffiziente Abfragealgorithmenzur Verfügung stehen. Beispielsweise ist das Auffinden aller an einer gegebenen Eckeendenden Kanten nur durch Durchlaufen der gesamten Kantenliste möglich. Problemedieser Art können durch das Anlegen weiterer Zuordnungen behoben werden.So kann etwa das Auffinden der an einer Ecke zusammentreffenden Kanten mithilfe5

1.3 TopologieTabelle 1.1: Einfache topologische Struktur zur Repräsentation einer vierseitigenPyramide: Die Topologie ist durch Körper-, Flächen- und Kantenliste eindeutigbestimmt.(a) KörperlisteKörper Flächens1 f1, f2, f3, f4, f5(b) FlächenlisteFläche Kantenf1 e1, e2, e3, e4f2 e1, e5, e6f3 e2, e6, e7f4 e3, e7, e8f5 e4, e8, e5(c) KantenlisteKante Eckene1 v1, v2e2 v2, v3e3 v3, v4e4 v4, v1e5 v1, v5e6 v2, v5e7 v3, v5e8 v4, v5einer Eckenliste gelöst werden, in der jeder Ecke die jeweils angrenzenden Kantenzugeordnet werden. Derartige zusätzliche Zuordnungen stellen redundante Datendar, wodurch sich der Speicherverbrauch und der Wartungsaufwand für die Datenstrukturerhöhen.1.3.1 Die Winged-Edge DatenstrukturEine weit verbreitete Erweiterung des vorgestellten minimalen Modells ist die Winged-Edge Datenstruktur. Bei dieser Datenstruktur wird vor allem die Beschreibung derKanten erweitert. Neben Referenzen auf ihren Anfangs- und Endpunkt verweisenKanten hier auch auf die beiden angrenzenden Flächen und auf jene vier Nachbarkanten,die in den angrenzenden Flächen liegen. Diese werden als linke und rechteFläche sowie als rechter beziehungsweise linker Vorgänger beziehungsweise Nachfolgerbezeichnet.LVFläche linksLNAPKanteEPRVFläche rechtsAbbildung 1.3: Kante und referenzierte Objekte im Winged-Edge Modell.AP und EP bezeichnen Anfangs- und Endpunkt.Die bezeichneten Kanten sind der rechte beziehungsweise linke Vorgänger oderNachfolger.RN6

1.3 TopologieDabei ist zu beachten, dass referenzierte Objekte nicht notwendigerweise verschiedensind. Betrachten wir hierzu etwa das Modell eines Zylinders, bei dem der Basiskreisals eine durchgängige Kante repräsentiert ist. Bei dieser Kante stimmen AnfangsundEndpunkt überein. Weiters bezeichnen sowohl die Vorgänger- als auch die Nachfolgerkantendie ursprüngliche Kante. Es sind auch Kanten möglich, bei denen dierechte und linke Fläche übereinstimmen.Neben der erweiterten Kantenliste kommt bei dem Winged-Edge Modell eine Eckenlistehinzu, die jeder Ecke die davon ausgehenden Kanten zuordnet. Das Winged-Edge Modell für die Pyramide aus dem vorigen Beispiel ist in Tabelle 1.2 dargestellt.Tabelle 1.2: Topologische Struktur einer vierseitigen Pyramide im Winged-EdgeModell.(a) FlächenlisteFläche Kantenf1 e1, e2, e3, e4f2 e1, e5, e6f3 e2, e6, e7f4 e3, e7, e8f5 e4, e8, e5(b) KantenlisteKante Ecken Kanten Flächene1 v1, v2 e5, e4, e6, e2 f1, f2e2 v2, v3 e6, e1, e7, e3 f1, f3e3 v3, v4 e7, e2, e8, e4 f1, f4e4 v4, v1 e8, e3, e5, e1 f1, f5e5 v1, v5 e4, e1, e8, e6 f2, f3e6 v2, v5 e1, e2, e5, e7 f3, f4e7 v3, v5 e2, e3, e6, e8 f4, f5e8 v4, v5 e3, e4, e7, e5 f5, f6(c) EckenlisteEcke Kantenv1 e4, e1, e5v2 e1, e2, e6v3 e2, e3, e7v4 e3, e4, e8v5 e5, e6, e7, e81.3.2 Euler OperatorenDie Euler Operatoren stellen eine Möglichkeit dar, die Topologie von Volumsmodellenin einer Weise zu verändern, die die Gültigkeit des Modells bewahrt. Einenotwendige Bedingung für die Gültigkeit des topologischen Modells eines einfachzusammenhängenden Körpers istSatz 1 (Eulerscher Polyedersatz).v − e + f = 27

1.3 TopologieDabei bezeichnet v die Anzahl der Ecken, e die Anzahl der Kanten und f die Anzahlder Flächen des Körpers.Wir werden hier nur den Spezialfall betrachten, dass der Kantengraph des Körpersein einfacher, planarer Graph ist, und für diesen Spezialfall eine Beweisidee geben.Die Einfachheit und Planarität des Graphen bedeuten, dass er keine Mehrfachkantenoder Schleifen enthält und sich ohne Kantenüberschneidungen in der Ebenedarstellen lässt. Insbesondere der Kantengraph eines Polyeders ist immer einfachund planar.Der einfachste planare Graph besteht nur aus einer Ecke, einer Fläche und keinenKanten. Er erfüllt also die gegebene Gleichung: 1 − 0 + 1 = 2. Wir definieren nunzwei elementare Operationen und werden zeigen, dass der Eulersche Polyedersatzauch nach Anwenden dieser Operationen Gültigkeit behält:Operation 1: Hinzufügen einer Ecke, die über eine neue Kante mit dem bestehendenGraphen verbunden istOperation 2: Hinzufügen einer Kante, die zwei bestehende Ecken miteinander verbindet,wobei eine neue Fläche entstehtMithilfe dieser beiden Operationen kann jeder Graph aus dem erwähnten minimalenGraphen konstruiert werden. Dabei behält die gegebene Formel ihre Gültigkeit: BeiOperation 1 wird die Anzahl der Ecken und Kanten um jeweils 1 erhöht, währenddie Anzahl der Flächen gleich bleibt. Bei Operation 2 steigt die Anzahl der Flächenund Kanten jeweils um 1 und die Anzahl der Ecken bleibt konstant. Operationendieser Art werden als Euler Operatoren bezeichnet.Der folgende Satz stellt eine Verallgemeinerung der Formel von Euler dar, die nichtauf einfach zusammenhängende Körper beschränkt ist.Satz 2. Für jeden Körper gilt:v − e + f − h = 2(b − g)Hierbei bezeichnen die Variablen v, e und f wie zuvor die Anzahl der Ecken, Kantenund Flächen. Die Variable h gibt die Anzahl der Löcher in Flächen und die Variableg die Anzahl der den Körper durchdringenden Löcher an. Mit b wird die Anzahl derinneren Hohlräume des Körpers bezeichnet.Für die Behandlung von Objekten, die der verallgemeinerten Formel von Euler genügen,ist auch eine erweiterte Menge an Operatoren notwendig, um ihre Topologiezu ändern. Laut [Str06] gibt es 99 Euler Operatoren, die die in der obigen Gleichungangegebenen Variablen um jeweils höchstens 1 verändern. Gemäß [Hav05] lässt sichdie Anzahl der benötigten Operatoren auf fünf Paare von Operatoren und zugehörigeninversen Operatoren begrenzen, um jede beliebige Änderung an der Topologievornehmen zu können.8

1.4 Béziergeometrie1.4 BéziergeometrieBézierkurven und -flächen und deren Verwandte sind mittlerweile zum Standard fürdie Darstellung von Objekten in CAD-Systemen geworden. Bézierkurven wurdenursprünglich zum Modellieren von Freiformkurven entwickelt. Sie wurden erstmalsum 1960 unabhängig voneinander von Paul de Casteljau und Pierre Bézier bei denAutomobilherstellern Citroën und Renault verwendet. Neben dem Einsatz in derFreiformgeometrie spielen sie heute in Form von rationalen Bézierkurven auch beider exakten Repräsentation von in CAD-Konstruktionen auftretenden Kurven, wieKegelschnitten, eine zentrale Rolle.1.4.1 Der Algorithmus von de CasteljauDer Algorithmus von de Casteljau beschreibt ein Verfahren, um eine Folge vonPunkten durch eine Bézierkurve anzunähern. Es wird sich zeigen, dass der erste undder letzte Punkt den Anfangs- und Endpunkt der Kurve bilden. Die dazwischengelegenen Punkte bestimmen die Form der Kurve, liegen aber nicht notwendigerweiseauf ihr.Definition 3 (Bézierkurve). Zu gegebenen Punkten b 0 . . . b n ist die Bézierkurveb(t) : [0, 1] → R d durch folgende rekursive Auswertungsvorschrift gegeben:b 0 i (t) = b ib r i (t) = (1 − t)b r−1i (t) + tb r−1i+1 (t)b(t) = b n 0(t)Dabei heißt n der Grad der Bézierkurve. Die Punkte b 0 , . . . b n heißen Kontrollpunkte,das durch sie festgelegte Polygon wird als Kontrollpolygon bezeichnet.Aus der Definition ist ersichtlich, dass jeder Punkt b r i die Verbindungsstrecke b r−1i b r−1i+1im Verhältnis t : (1 − t) teilt. Diese Eigenschaft kann zur Konstruktion einzelnerPunkte der Bézierkurve verwendet werden. Man bezeichnet diese Konstruktion alsAlgorithmus von De Casteljau.Beispiel 4. Wir betrachten die ebene Bézierkurve mit den Kontrollpunkten b 0 =(0, 0), b 1 = (0, 1), b 2 = (1, 0).Damit können wir rekursiv die Darstellungen der b i j, bestimmen, die schließlich aufb führen. Beispielsweise ergibt sich b 1 0 = (1 − t) · b 0 0 + t · b 0 1 = (t, 0).Für alle b i j ermitteln wir:b 0 0 = (0, 0), b 0 1 = (1, 0), b 0 2 = (0, 1)b 1 0 = (t, 0), b 1 1 = (1 − t, t)b 2 0 = (2t − 2t 2 , t 2 ) = bDie letzte Zeile stellt hier die Parameterform der Bézierkurve dar.9

1.4 Béziergeometrieb 10b 02b 11b 20b 01b 03b 12b 21b 00b 30Abbildung 1.4: Algorithmus von de Casteljau zur Konstruktion eines Kurvenpunkteszum Parameterwert t = 2 einer Bézierkurve mit vier Kontrollpunkten31.4.2 Die Bernsteinform von BézierkurvenWährend der Algorithmus von de Casteljau eine relativ einfache Konstruktion einzelnerPunkte der Bézierkurve ermöglicht, ist die rechnerische Bestimmung mittelsRekursion recht aufwändig. Eine einfache direkte Bestimmungsmöglichkeit ist mithilfeder Bernsteinpolynome möglich, die das Beschreiben eines Kurvenpunktes alsAffinkombination der Kontrollpunkte gestatten.Definition 5 (Bernsteinpolynom). Das Bernsteinpolynom BinGrad n wird definiert durch( ) nBi n (t) = (1 − t) n−i t ii(0 ≤ i ≤ n) vomFür niedrige Grade ergibt sich beispielsweise:B0(t) 0 = 1B0(t) 1 = 1 − tB1(t) 1 = tB0(t) 2 = (1 − t) 2B1(t) 2 = 2(1 − t)tB2(t) 2 = t 2Eine wesentliche Eigenschaft der Bernsteinpolynome beschreibt der folgende Satz.Satz 6 (Zerlegung der Eins). Für die Bernsteinpolynome gilt:n∑Bi n (t) = 1i=010

1.4 Béziergeometrie11B 12B 12B 22(a)10 1(b)Abbildung 1.5: Graphen der Bernsteinpolynome vom Grad 2 beziehungsweise 5Beweis. Der Satz folgt aus dem binomischen Lehrsatz:( )n∑n∑ nBi n (t) = t i (1 − t) n−i = (t + (1 − t)) n = 1i=0i=0iDer Zusammenhang zwischen Bernsteinpolynomen und Bézierkurven wird nun durchden folgenden Satz ausgedrückt.Satz 7. Für die Parameterdarstellung der Bézierkurve b gilt:n∑b(t) = b i Bi n (t)i=0Es ist also jeder Kurvenpunkt mithilfe der Bernsteinpolynome als Affinkombinationder Basispunkte darstellbar.Beweis. Für den Beweis zeigen wir durch vollständige Induktion die Gültigkeit derallgemeineren Formel b r i (t) = ∑ rj=0 b i+j B r j (t). Für r = n und i = 0 ergibt sich darausdie obige Formel.Für r = 0 ist die Formel gültig:0∑b i+j Bj 0 (t) = b i B0(t) 0 = b i = b 0 ij=011

1.4 BéziergeometrieDer Schritt von r − 1 auf r geschieht folgendermaßen:b r i (t) =(1 − t)b r−1ir−1 ∑=(1 − t)j=0(t) + tb r−1b i+j B r−1ji+1 (t)r−1 ∑(t) + tj=0b i+1+j Bjr−1 (t)( )( )r−1 ∑ r − 1r−1=(1 − t) b i+j t j (1 − t) r−1−j ∑ r − 1+ t b i+1+j t j (1 − t) r−1−jj=0jj=0j( )( )r−1 ∑ r − 1r−1= b i+j t j (1 − t) r−j ∑ r − 1+ b i+1+j t j+1 (1 − t) r−1−jj=0jj=0j( )( )r∑ r − 1r∑ r − 1= b i+j t j (1 − t) r−j + b i+j t j (1 − t) r−1−(j−1)j=0jj=1j − 1( )( )r∑ r − 1r∑ r − 1= b i+j t j (1 − t) r−j + b i+j t j (1 − t) r−jj=0jj=0j − 1(( ) ( ))r∑r − 1 r − 1= b i+j t j (1 − t) r−j +j=0j j − 1( )r∑r= b i+j t j (1 − t) r−jj=0jr∑= b i+j Bj r (t)j=0Beispiel 8. Wir bestimmen die Bernsteinform der Bézierkurve aus Beispiel 4 mittelsdes obigen Satzes. Die Kontrollpunkte lauten: b 0 = (0, 0), b 1 = (0, 1), b 2 = (1, 0).Damit ist die Bernsteinformn∑b(t) = b i Bi n (t)i=0= (0, 0) B0(t) 2 + (0, 1) B1(t) 2 + (1, 0) B2(t)2= (1 − t 2 ) (0, 0) + 2(1 − t)t (0, 1) + t 2 (1, 0)1.4.3 Ableitung von BézierkurvenSatz 9. Die Ableitung einer Bézierkurve vom Grad n ist eine Bézierkurve vom Gradn − 1. Es gilt:n−1 ∑ḃ(t) = n (b i+1 − b i )Bjn−1 (t)i=012

1.4 BéziergeometrieBeweis. Der Ableitungsvektor einer Bézierkurve ist eine Linearkombination der Kontrollpunkte:ḃ(t) = d n∑n∑b i B n di (t) = b idti=0i=0dt Bn i (t)Die Ableitungen der Bernsteinpolynome sind dabei:ddt Bn i (t) =dt( d ) n(1 − t) n−i t iin!=i!(n − i)! (1 − t)n−i i t i−1 n!−i!(n − i)! (n − i)(1 − t)n−i−1 t i(n − 1)!= n(i − 1)!(n − i)! (1 − t)n−i t i−1 (n − 1)!− ni!(n − i − 1)! (1 − t)n−i−1 t i( )( )n − 1n − 1= n (1 − t) (n−1)−(i−1) t i−1 − n (1 − t) n−1−i t ii − 1i= n ( Bi−1 n−1 (t) − Bi n−1 (t) )Damit gilt für den Ableitungsvektor:ḃ(t) = nWegen B n−1−1n∑i=0b i(Bn−1i−1 (t) − B n−1i (t) )= 0 und B n−1n(∑ n n−1ḃ(t) = n b i Bi−1 n−1 ∑(t) −i=1i=0(∑ n n−1= n b i+1 Bin−1 ∑(t) −i=0i=0n−1 ∑= n (b i+1 − b i )Bin−1 (t)i=0= 0 lässt sich dies umformen zu:b i Bin−1 (t))b i Bin−1 (t))Die Ableitung einer Bézierkurve ist also eine Bézierkurve mit den Kontrollpunkten¯b i = b i+1 − b i . Diese Kurve wird als Hodograph bezeichnet.1.4.4 Formeigenschaften von BézierkurvenAus den bisherigen Resultaten können wir die folgenden Eigenschaften von Bézierkurvenherleiten:13

1.4 BéziergeometrieEndpunkt-Interpolation: Die Endpunkte einer Bézierkurve fallen mit den Endpunktendes Kontrollpolygons zusammen. Weiters liegen das erste und letzteSegment des Kontrollpolygons jeweils tangential zu der Kurve. Die erste Aussagefolgt unmittelbar aus dem Algorithmus von de Casteljau, die zweite ausSatz 9.Konvexe-Hüllen-Eigenschaft: Diese Eigenschaft besagt, dass jeder Punkt einer Bézierkurvein der konvexen Hülle seines Kontrollpolygons liegt. Sie kann dadurchbegründet werden, dass bei dem Algorithmus von de Casteljau wiederholt Zwischenpunkteaus bereits existierenden Punkten konstruiert werden, die damitwieder in der konvexen Hülle liegen müssen.Affine Invarianz: Die Kurve ist mit ihren Kontrollpunkten auf affin invariante Weiseverbunden. Dies gilt, weil jeder Kurvenpunkt zu gegebenem Parameter gemäßSatz 7 als Affinkombination der Kontrollpunkte darstellbar ist und affineAbbildungen Affinkombinationen unverändert lassen. Die affine Invarianz bedeutetinsbesondere, dass im Zusammenhang mit CAD-Systemen häufig auftretendeAbbildungen, wie Translation, Drehung oder Parallelprojektion dieZusammengehörigkeit von Kurve und Kontrollpolygon aufrechterhalten. Umeine Kurve also einer affinen Transformation zu unterwerfen, genügt es, ihreKontrollpunkte entsprechend zu transformieren. Für andere Transformationen,wie etwa eine Zentralprojektion, gilt dies allerdings nicht.1.4.5 Rationale BézierkurvenRationale Bézierkurven stellen eine Verallgemeinerung der schon betrachteten Bézierkurvendar, mit Hilfe derer sich nicht nur Polynomkurven darstellen lassen, sondernbeispielsweise auch Kegelschnitte. Durch diese Möglichkeit haben sich rationale Bézierkurvenzur Standarddarstellungsform im Bereich des CAD entwickelt.In Satz 7 haben wir Bézierkurven in der Form b(t) = ∑ ni=0 b i B n i (t) dargestellt. Dabeistellten die b i Kontrollpunkte dar, die die Form der Bézierkurve bestimmten. Beirationalen Bézierkurven erhält nun in der angegebenen Formel jeder Kontrollpunktb i einen zusätzlichen Koeffizienten w i , das sogenannte Gewicht des Kontrollpunktes.Dieses Gewicht bestimmt den Einfluss des Kontrollpunktes auf die Kurvenform:Bei einem großen Gewicht ist der Einfluss des Punktes groß und die Kurve nähertsich stark an den Punkt an, bei einem kleinen Gewicht ist es umgekehrt. Damitdie Definition wie bei den Bézierkurven bewegungsinvariant bleibt, wird die mitGewichten versehene Darstellung normiert, um wieder eine Affinkombination zuerhalten.Definition 10 (Rationale Bézierkurve). Seien (b i , w i ) Paare von Punkten und Gewichten.Die dadurch festgelegte rationale Bézierkurve b(t) ist über dem Intervall[0, 1] auf folgende Weise definiert:n∑ w i B n ∑i (t)ni=0b(t) = b i ∑ nj=0w j Bj n (t) = b i w i Bi n (t)∑ ni=0w i Bi n (t)i=014

1.4 BéziergeometrieWir definieren weiters die rationalen Basisfunktionen R n i (t) =folgende Schreibweise ermöglicht:n∑b(t) = b i Ri n (t)i=0∑ w iBi n(t)nj=0 w jBj n (t),was dieFür rationale Bézierkurven gelten neben der affinen Invarianz auch viele der anderenEigenschaften von Bézierkurven, wie etwa die Endpunkt-Interpolation und beidurchwegs nichtnegativen Gewichten die Konvexe-Hüllen-Eigenschaft.1.4.6 Kegelschnitte als rationale BézierkurvenDer Hauptgrund für den Einsatz von rationalen Bézierkurven ist, dass mithilfe vonihnen eine größere Anzahl an Kurven exakt dargestellt werden kann. Mit rationalenBézierkurven vom Grad 2 können beispielsweise Kegelschnitte repräsentiert werden.Satz 11. Jede rationale Bézierkurve vom Grad 2 ist ein Kegelschnitt.Beweis. Eine rationale Bézierkurve vom Grad 2 wird durch drei Kontrollpunkte festgelegt.Nachdem alle Kurvenpunkte in der konvexen Hülle der drei Kontrollpunkteliegen, handelt es sich um eine ebene Kurve. Durch Anpassung des Koordinatensystemskann erreicht werden, dass die Kurve in der Ebene z = 0 liegt, womit inweiterer Folge die z-Koordinate vernachlässigt werden kann.Die Kontrollpunkte b 0 , b 1 , b 2 seien gegeben durch b i = (x bi , y bi ). Die dadurch festgelegterationale Bézierkurve vom Grad 2 hat die Parameterdarstellungb(t) =(∑ 2i=0x bi w i Bi 2 ∑(t) 2i=0∑ 2j=0w j Bj 2 (t) , y bi w i Bi 2 )(t)∑ 2j=0w j Bj 2 (t)In homogenen Koordinaten lautet diese:b(t) =( 2∑w i Bi 2 (t) :i=02∑x bi w i Bi 2 (t) :i=0)2∑y bi w i Bi 2 (t)i=0Die homogenisierte Parameterdarstellung einer Bézierkurve beschreibt somit eineBézierkurve vom Grad 2 im Raum, also eine Parabel. Beim Übergang von homogenenzu kartesischen Koordinaten werden die Koordinaten durch die erste homogeneKoordinate dividiert, was einer Zentralprojektion in die Ebene x 0 = 1 entspricht.Als perspektives Bild einer Parabel ist die erhaltene Kurve ein Kegelschnitt.Ist eine rationale Bézierkurve so gegeben, dass das erste und das letzte Gewichtgleich 1 sind, so bezeichnet man dies als Standardform der Kurve. Ohne Beweissei angegeben, dass sich jede rationale Bézierkurve in einer solchen Form darstellen15

1.4 Béziergeometrielässt. Die Basisfunktionen der rationalen Bézierkurven vom Grad 2 in Standardformlauten:R 2 0(t) =R 2 1(t) =R 2 2(t) =w 0 B 2 0(t)∑ nj=0w j B n j (t) = (1 − t) 2(1 − t) 2 + w 1 · 2(1 − t)t + t 2w 1 · B 2 1(t)∑ nj=0w j B n j (t) =w 1 · 2(1 − t)t(1 − t) 2 + w 1 · 2(1 − t)t + t 2w 2 B 2 2(t)∑ nj=0w j B n j (t) = t 2(1 − t) 2 + w 1 · 2(1 − t)t + t 2Wir haben in der Definition rationaler Bézierkurven den Definitionsbereich auf dasIntervall [0, 1] eingeschränkt und damit nur Teilbögen von Kegelschnitten erhalten.Betrachtet man statt dieses Intervalls ganz R als Definitionsmenge, so können beiden Basisfunktionen im Nenner bis zu zwei Nullstellen auftreten. Jede Nullstelleentspricht dabei einem Fernpunkt √ des Kegelschnitts. Die Nullstellen gehören zu denParameterwerten t 1,2 = w 1−1± w1 2−12w 1. Bei w−21 > 1 gibt es damit zwei Fernpunkte, derKegelschnitt ist eine Hyperbel, bei w 1 = 1 handelt es sich um einen Kegelschnittmit einem Fernpunkt, also eine Parabel und bei w 1 < 1 ist die Kurve eine Ellipse.w 1 =3w 1 =1w 1 =0.3Abbildung 1.6: Hyperbel-, Parabel- und Ellipsenbögen als rationale Bézierkurvenvom Grad 2111R 02R 12R 22R 12R 12R 22R 02R 22R 12(a) w 1 = 31(b) w 1 = 11(c) w 1 = 0.31Abbildung 1.7: Basisfunktionen rationaler Bézierkurven vom Grad 2 mit unterschiedlichenMittelgewichten w 116

1.4 BéziergeometrieAls Sonderfall einer Ellipse ist oft die Darstellung eines Kreises gefragt. Ein Kreistritt auf, wenn das Kontrollpolygon zwei gleich lange Schenkel hat, die miteinanderden Winkel α einschließen und für das Gewicht w 1 = sin α gewählt wird.[Far94, S.2186]Abbildung 1.8: Viertelkreis als rationale Bézierkurve mit GewichtenBeispiel 12. Ein Viertelkreis kann als rationale Bézierkurve mit den Kontrollpunkten(0, 1), (1, 1), (1, 0) und Gewichten w 0 = w 2 = 1 und w 1 = sin( π) = √ 1dargestelltwerden. Aus der allgemeinen Parameterdarstellung b(t) = R0(t)·(0, 2 1)+R1(t)·24 2(1, 1) + R2(t) 2 · (1, 0) erhält man die Darstellungb(t) =( √ √ )2(t − 1)t − t2 2(t − 1)t − (t − 1)2√2(t − 1)t − (t − 1)2 − t , √ 2 2(t − 1)t − (t − 1)2 − t 2für den beschriebenen Kreisbogen.Auch mit rationalen Bézierkurven können nicht alle in CAD-Systemen auftretendenKurven dargestellt werden. Nicht exakt darstellbare Kurven werden in CAD-Systemen üblicherweise durch Splinekurven angenähert. Ein Beispiel für eine solcheKurve ist etwa eine Schraublinie.Satz 13. Eine Schraublinie kann nicht in Form einer rationalen Bézierkurve repräsentiertwerden.Beweis. Jede Parallelprojektion einer rationalen Bézierkurve ist als affines Bild wiedereine rationale Bézierkurve. Sie kann damit als parametrische Kurve dargestelltewerden, deren Koordinatenfunktionen rationale Funktionen sind. Die Normalprojektioneiner Schraublinie in eine achsenparallele Ebene ergibt hingegen mit einerSinuskurve eine Kurve, bei der dies nicht möglich ist. Daher handelt es sich wederbei dem Bild der Schraublinie noch bei der Schraublinie selbst um eine rationaleBézierkurve.17

1.4 Béziergeometrie1.4.7 Zusammengesetzte KurvenWie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, ist mithilfe von rationalen Bézierkurvenbeispielsweise die Darstellung eines Viertelkreises auf einfache Weise möglich. Umnun einen ganzen Kreis zu erhalten, werden in CAD-Systemen üblicherweise mehreresolcher Kurvenstücke aneinandergefügt. Auch bei der Freiformgeometrie spielenzusammengesetzte Kurven eine wesentliche Rolle - hier werden sie als Splinekurvenbezeichnet.Bisher haben wir bei den Bézierkurven und rationalen Bézierkurven immer Kurvenbehandelt, die im Parameterbereich [0, 1] definiert waren. Wenn wir nun Teilkurvenvon zusammengesetzten Kurven betrachten, so werden diese über allgemeinerenParameterbereichen definiert sein. Eine aus k verschiedenen Teilkurven zusammengesetzteKurve wird dabei stückweise auf Parameterintervallen definiert, die durchdie Werte u 0 , . . . u k begrenzt sind. Die Werte u i werden dabei auch als Knoten bezeichnet.In jedem Intervall [u i , u i+1 ] ist es nun möglich, über eine lineare Parametertransformationeinen lokalen Parameter zu definieren, der wieder im Intervall [0, 1]läuft. Diesen lokalen Parameter wollen wir wieder mit t bezeichnen. Er ist definiertals t =u−u iu i+1 −u i.Beispiel 14. Wir werden die in Abbildung 1.9 gezeigte zusammengesetzte Kurvemittels eines einzigen Parameters u darstellen. Dabei soll die zusammengesetzteKurve annähernd nach Bogenlänge parametrisiert werden. Das ist nicht unbedingtnotwendig, bietet aber bei der weiteren praktischen Behandlung einige Vorteile.Basierend auf dem Ergebnis von Beispiel 12 erhalten wir folgende Parameterdarstellung:⎧⎨(−u, 1) für 0 ≤ u < 2c(u) = ( √ √ )⎩ 2(t−1)t−t 2√2(t−1)t−(t−1), 2(t−1)t−(t−1) 2√ 2 −t 2 2(t−1)t−(t−1) 2 −t mit t =u−22 π für 2 ≤ u < 2 + π 22Abbildung 1.9: zusammengesetzte Kurve1.4.8 Rationale BézierflächenDie Definition der rationalen Bézierflächen geschieht ähnlich wie die der rationalenBézierkurven. Analog zum Fall der Kurven wird hier jeder Flächenpunkt als Affinkombinationder Konrollpunkte b i,j angegeben. Alle Kontrollpunkte zusammenbezeichnet man als Kontrollnetz der Fläche.18

1.4 BéziergeometrieDefinition 15. Seien b i,j für 0 ≤ i ≤ m und 0 ≤ j ≤ n vorgegebene Kontrollpunkte.Die dadurch festgelegte rationale Bézierfläche hat die Parameterdarstellungm∑ n∑p(u, v) = b i,j Ri m (u)Rj n (v)i=0 j=0Dabei bezeichnen die Funktionen R k i die von den rationalen Bézierkurven bekanntenBasisfunktionen. Wie bei diesen laufen auch hier die Variablen u und v im Intervall[0, 1]. Das Paar (n, m) wird als Grad der Fläche bezeichnet.Abbildung 1.10: Bézierfläche vom Grad (2, 3) mit KontrollnetzAufgrund der ähnlichen Definition haben rationale Bézierflächen auch einige der fürBézierkurven gezeigten Eigenschaften, wie die affine Invarianz und bei durchwegspositiven Gewichten die Konvexe-Hüllen-Eigenschaft. Weiters interpolieren sie dievier äußersten Kontrollpunkte. Außerdem gilt, dass die Parameterkurven, und damitinsbesondere auch die Randkurven, wiederum rationale Bézierkurven sind.19

2 Geometrische Konstruktionen undAlgorithmenIn diesem Kapitel werden wir aufbauend auf den bereits behandelten Grundlagennun Konstruktionen und Algorithmen behandeln, welche auf der Béziergeometrieund Boundary Representation basieren.2.1 FreiformkurvenDie Benutzung von Freiformgeometrie wird im Bereich des CAD generell in zweiBereichen eingesetzt. Einerseits dienen sie zum Entwerfen von Kurven, die vom Benutzernur durch Angabe von Kontrollpunkten festgelegt werden. Zum anderen werdensie eingesetzt, um gewisse Kurven anzunähern, bei denen die exakte Darstellungnicht beziehungsweise nur mit hohem Aufwand möglich wäre.Bei allen in CAD-Systemen verwendeten Freiformkurven handelt es sich um ausrationalen Bézierkurven zusammengesetzte Kurven. Die Kurven werden allerdingsnicht über die bekannten Bézier-Kontrollpolygone festgelegt, sondern entweder überdie ähnlich gearteten B-Spline-Kontrollpolygone oder über zu interpolierende Punkte.Bei der Interpolation ist eine Folge von Punkten gegeben, durch die eine Freiformkurvegelegt werden soll. Zusätzlich zu den Punkten können auch Parameterwerteund Ableitungsvektoren vorgegeben sein. Wir werden hier zwei häufig genutzte Interpolationsverfahrenvorstellen.2.1.1 Kubische HermiteinterpolationBei der kubischen Hermiteinterpolation wird zu gegebenen Paaren von Punkten undAbleitungsvektoren eine Splinekurve ermittelt. Diese besteht aus kubischen Béziersegmenten,die jeweils zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten definiert sind.Für die Hermiteinterpolation genügt es also, zu zwei Paaren von gegebenen Punktenund Ableitungsvektoren ein interpolierendes Béziersegment zu finden.Satz 16. Seien (p 0 , v 0 ) und (p 1 , v 1 ) Paare von zu interpolierenden Punkten undAbleitungsvektoren. Dann gibt es genau eine zu diesen Interpolationsdaten passendekubische Bézierkurve. Sie hat die Kontrollpunkte b 0 = p 0 , b 1 = p 0 + 1 3 v 0, b 2 = p 1 − 1 3 v 1,b 3 = p 1 .20

2.1 Freiformkurvenp 0p 1v 1v 0Abbildung 2.1: Hermitsche Interpolationskurve mit Kontrollpolygon zu vorgegebenenInterpolationsdatendefi-Beweis. Die Parameterdarstellung der durch die Kontrollpunkte b 0 , b 1 , b 2 , b 3nierten Bézierkurve und ihrer Ableitung lautenb(t) = B 3 0(t)b 0 + B 3 1(t)b 1 + B 3 2(t)b 2 + B 3 3(t)b 3= (1 − t) 3 b 0 + 3(1 − t) 2 t b 1 + 3(1 − t)t 2 b 2 + t 3 b 3ḃ(t) = −3(1 − t) 2 b 0 + 3(t − 1)(3t − 1) b 1 − 3t(3t − 2) b 2 + 3t 2 b 3Damit folgt b(0) = p 0 , b(1) = p 1 sowie ḃ(0) = 3 (b 1 − b 0 ) = v 0 , ḃ(1) = 3 (b 3 − b 2 ) =v 1Die Hermiteinterpolation resultiert in einer Kurve, die aus Béziersegmenten zusammengesetztist, wobei die Ableitung an den Übergangspunkten für beide angrenzendenKurventeile übereinstimmt. Die resultierende Kurve besitzt also zumindest dieGlattheitsklasse C 1 und ist somit tangentenstetig. Kurven dieser Art finden nebendem Einsatz im CAD-Bereich auch in Vektorgrafikprogrammen Verwendung.2.1.2 Kubische C 2 -Spline-InterpolationBei der kubischen C 2 -Spline-Interpolation wird zu einer gegebenen Punktfolge eineinterpolierende Splinekurve der Glattheitsklasse C 2 ermittelt. Sie ist damit aus kubischenBéziersegmenten mit krümmungsstetigem Übergang zusammengesetzt. Diegegebenen Bedingungen führen auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei Freiheitsgraden.Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, werden üblicherweise zusätzlicheBedingungen aufgestellt. Diese können etwa die Angabe von Ableitungsvektoren imAnfangs- und Endpunkt oder das Verschwinden der zweiten Ableitung in diesenPunkten darstellen.21

2.1 Freiformkurven2.1.3 B-Spline-KurvenIn Form der rationalen Bézierkurven haben wir bereits Verallgemeinerungen derBézierkurven betrachtet, die durch die Modifikation der Basisfunktionen entstehen.Eine andere Variation der Bézierkurven stellen die B-Spline-Kurven dar. Diese bestehenaus einzelnen Béziersegmenten, welche üblicherweise tangential aneinanderschließen.Ein wesentlicher Unterschied zu Bézierkurven besteht in der sogenanntenlokalen Kontrolle: Im Gegensatz zu Bézierkurven hat bei B-Spline-Kurven jederKontrollpunkt nur auf einen eingeschränkten Bereich der Kurve Einfluss. Beim Verschiebeneines Kontrollpunktes ändert sich damit die Kurve nur in einer vom Gradabhängigen Umgebung dieses Punktes.2.1.3.1 DefinitionIn Satz 7 haben wir eine Bézierkurve dargestellt als b(t) = ∑ ni=0 b i Bi n (t). Diese Darstellungist bewegungsinvariant, da die Linearkombination wegen ∑ ni=0 Bi n (t) = 1eine Affinkombination ist. Es wäre auch möglich, die Bernsteinpolynome Bin durchandere Polynome zu ersetzen, die ebenfalls diese Eigenschaft besitzen. Dies geschiehtbei den B-Spline-Kurven: Die Bersteinpolynome werden hier durch die B-Spline-Basisfunktionen ersetzt. Diese sind durch eine Folge von Parameterwerten und ihrenGrad eindeutig festgelegt.Definition 17 (B-Spline-Basisfunktionen). Sei (t i ) i∈Z eine monotone Folge reellerZahlen. Diese Folge wird als Knotenvektor bezeichnet, die Zahlen selbst als Knoten.Dann sind die B-Spline-Basisfunktionen Ni n (t) vom Grad n folgendermaßen rekursivdefiniert:⎧⎨Ni 0 1 falls t i ≤ t < t i+1(t) =⎩ 0 sonstNi n (t) =t − t iNi n−1 (t) + t i+n+1 − tNi+1 n−1 (t)t i+n − t i t i+n+1 − t i+1Die Verwendung der B-Spline-Basisfunktionen in Analogie zu den Bernsteinpolynomenist nur sinnvoll, wenn diese ebenfalls eine Zerlegung der Eins bilden, da nurdann die Kurve affin invariant mit den Kontrollpunkten in Zusammenhang steht.Satz 18 (Zerlegung der Eins). Für die B-Spline-Basisfunktionen vom Grad n gilt∑i∈Z N n i (t) = 1.Beweis. Für n = 0 folgt aus der Definition unmittelbar ∑ i∈Z N 0 i (t) = 1. Für n ≥ 122

2.1 Freiformkurvenzeigen wir die Behauptung durch vollständige Induktion:∑Ni n (t) = ∑ ( t − tiNi n−1 (t) + t i+n+1 − tN n−1i∈Z i∈Zt i+n − t i t i+n+1 − t i+1= ∑ ( t − tiNin−1 (t) + t )i+n − tNin−1 (t)i∈Zt i+n − t i t i+n − t i= ∑ ( )ti+n − t iNi+1 n−1 (t)i∈Zt i+n − t i= ∑ i∈ZNin−1 (t)i+1 (t))Da die Zerlegung der Eins gezeigt ist, lassen sich B-Spline-Kurven definieren:Definition 19 (B-Spline-Kurve). Es sei eine Folge von Kontrollpunkten b i undentsprechenden Parameterwerten t i gegeben. Nin bezeichne die zu den Parameterwertengehörende Basisfunktion vom Grad n. Dann ist die zugehörige B-Spline-Kurve vom Grad n durch die folgende Parameterdarstellung definiert:n∑b(t) = b i Ni n (t)i=02.1.3.2 Eigenschaften der Basisfunktionen und B-Spline-KurvenEine wesentliche Eigenschaft der B-Spline-Kurven ist wie schon erwähnt die lokaleKontrolle. Diese wird durch den folgenden Satz beschrieben.Satz 20. Die Funktion Ninnull.ist außerhalb des Intervalls [t i , t i+n+1 ) konstant gleichBeweis. Für n = 0 folgt der Satz unmittelbar aus der Definition. Nun sei bereitsbekannt, dass alle B-Spline-Basisfunktionen Nik−1 für k − 1 ∈ N ∗ außerhalb desgegebenen Intervalls konstant gleich null sind. Nach Definition 17 hat Ni k (t) dieForm Ni k (t) = α(t)Nik−1 (t) + β(t)Ni+1 k−1 (t). Nachdem Nik−1 und Ni+1 k−1 jeweils nur inden Intervallen [t i , t i+k ) und [t i+1 , t i+k+1 ) von 0 verschieden sind, kann Nik nur imIntervall [t i , t i+k+1 ) von 0 verschieden sein.Der Kontrollpunkt b i beeinflusst die Kurve damit nur im angegebenen Intervall.Umgekehrt haben auf einen Kurvenpunkt zum Parameter t mit t i ≤ t < t i+1 nurdie Kontrollpunkte b i−n , . . . , b i Einfluss. Da die Basisfunktionen Nin an jeder Stellenichtnegativ sind, ist jeder Kurvenpunkt zum Parameter t als Konvexkombinationder eben angegebenen Kontrollpunkte darstellbar und liegt damit in deren konvexerHülle.23

2.1 Freiformkurven2.1.3.3 SonderformenEs gibt verschiedene Sonderformen von B-Spline-Kurven, welche durch spezielleKnotenvektoren entstehen und besondere Relevanz für die Praxis haben.Bilden die Knotenvektoren eine arithmetische Folge der Form (0, 1 , . . . , n−1 , 1), son nentsteht eine sogenannte uniforme B-Spline-Kurve. Im Unterschied zu Bézierkurvenund anderen Formen der B-Spline-Kurven besitzen uniforme B-Spline-Kurven nichtdie Eigenschaft der Endpunkt-Interpolation. In Abbildung 2.2 ist eine quadratischeB-Spline-Kurve zu sehen, bei welcher die Endpunkte in den Mittelpunkten des erstenbeziehungsweise letzten Segments des Kontrollpolygons liegen.1(a)0 0.25 0.5 0.75 1(b)Abbildung 2.2: Uniforme quadratische B-Spline-Kurve mit Kontrollpolygon sowieBasisfunktionen zum Knotenvektor (0, 0.25, 0.5, 0.75, 1)1(a)0 0.25 0.5 0.75 1(b)Abbildung 2.3: Quadratische B-Spline-Kurve mit Kontrollpolygon sowie Basisfunktionenzum Knotenvektor (0, 0, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1, 1)Eine Interpolation von Kontrollpunkten kann bei einer B-Spline-Kurve vom Grad nerreicht werden, wenn zumindest n Knoten des Knotenvektors zusammenfallen. Im24

2.2 Besondere Flächenklassen1(a)0 0.2 0.8 1(b)Abbildung 2.4: Kubische B-Spline-Kurve und Basisfunktionen zum Knotenvektor(0, 0, 0, 0, 0.2, 0.8, 1, 1, 1, 1)Bereich des CAD werden häufig B-Spline-Kurven verwendet, die einen Knotenvektorder Form (0, . . . , 0, t} {{ } 0 , . . . , t r , 1, . . . , 1) besitzen und damit durch die Endpunkte ihres} {{ }n+1n+1Kontrollpolygons verlaufen.2.2 Besondere FlächenklassenIn diesem Abschnitt werden wir Möglichkeiten zur Modellierung besonderer Flächenklassenmithilfe rationaler Bézierflächen beschreiben. Insbesondere werden wirRotationsflächen und Regelflächen behandeln, welche zwei grundlegende Typen vonFlächen im Bereich des CAD darstellen. Sie sind im Bezug auf das zu entwickelndeCAD-System von besonderer Relevanz, da sämtliche darin verwendeten Flächenentweder Rotationsflächen sein werden, oder als Extrusionsflächen Sonderfälle vonRegelflächen.Wie in Unterabschnitt 1.4.8 erwähnt, handelt es sich bei den Parameterkurven rationalerBézierflächen immer um rationale Bézierkurven. Diese Parameterkurven spielennun bei der Konstruktion von Dreh- und Regelflächen eine wesentliche Rolle.Derartige Flächen tragen jeweils eine Schar von Kreisen beziehungsweise Geraden,welche mithilfe rationaler Bézierkurven als Parameterkurven der Flächen dargestelltwerden können.2.2.1 RegelflächenEs sei p(u, v) die Parameterdarstellung einer rationalen Bézierfläche vom Grad (1, n).Die Parameterkurven zum ersten Parameter sind rationale Bézierkurven vom Grad1, und damit Strecken. Es handelt sich also um eine Regelfläche. Die Randkurven25

2.2 Besondere Flächenklassenzu den Parameterwerten v = 0 und v = 1 sind rationale Bézierkurven vom Grad nund können als Leitkurven der Regelfläche angesehen werden.Abbildung 2.5: Regelfläche als Bézierfläche vom Grad (1,2)Durch eine spezielle Wahl der Leitkurven können besondere Regelflächen erstelltwerden. Handelt es sich etwa bei den Leitkurven um Strecken, so entsteht ein hyperbolischesParaboloid. Sind die Leitkurven schiebungsgleich, so entsteht eine Zylinderfläche.Abbildung 2.6: Eine Bézierfläche vom Grad (1,1) ist eine HP-Fläche2.2.2 RotationsflächenDrehflächen können als rationale Bézierflächen modelliert werden, indem eine Scharvon Parameterkurven als koaxiale Kreise ausgeführt wird. In Beispiel 12 haben wir26

2.2 Besondere Flächenklassenbereits gezeigt, wie ein Viertelkreis durch eine rationale Bézierkurve mit den Gewichten1, √ 1, 1 dargestellt werden kann. Ein ganzer Kreis kann mithilfe einer2sogenannten NURBS-Kurve erzeugt werden, welche eine Verallgemeinerung sowohlvon rationalen Bézierkurven als auch von B-Spline-Kurven darstellt. Wir werden uns1111Abbildung 2.7: Kreis als NURBS-Kurve mit Kontrollpolygon und Gewichtenhier auf die bekannte Darstellung von Viertelkreisen beschränken, wodurch immernur Teile von Drehflächen entstehen. Es sei angemerkt, dass mittels NURBS-Kurvenund -Flächen immer auch vollständige Rotationsflächen erzeugt werden können.Eine Rotationsfläche mit einer Bézierkurve als Profilkurve kann wie in Abbildung 2.8gezeigt erstellt werden. Die in waagerechten Ebenen liegenden Teile des Polygonnetzeshaben jeweils die gleiche Form wie die Kontrollpolygone des bekannten Modellseines Viertelkreises. Sie bilden also einen rechten Winkel, dessen Scheitel ein Gewichtvon √ 12 besitzt.Abbildung 2.8: Teil einer Drehfläche als rationale Bézierfläche. Die ausgefülltenKontrollpunkte haben ein Gewicht von 1, die verbleibenden eines von √ 12 .Um nun Rotationsflächen mit rationalen Bézierkurven als Profilkurven darstellenzu können, müssen die Gewichte, die bisher nur die Werte 1 und √ 1hatten, mit227

2.3 Schnitteden entsprechenden Gewichten der Profilkurven multipliziert werden. Für den inAbbildung 2.9 dargestellten Kugelteil ergeben sich für den mittleren Teil des Kontrollnetzesdamit die Werte 1 · √ 1, √ 1 · √ 1= 1 und 1 · √ 1. Eine Besonderheit2 2 2 2 2an diesem Beispiel ist, dass drei der Kontrollpunkte zusammenfallen, was an derentsprechenden Stelle zu einer Singularität in der Parametrisierung führt.1 //111Abbildung 2.9: Teil einer Kugel als rationale Bézierfläche mit Gewichten2.3 SchnitteIn diesem Abschnitt werden wir uns mit der Bestimmung von Schnitten zwischenKanten und Flächenstücken befassen. Diese sind insbesondere in Bezug auf die imnächsten Abschnitt behandelten booleschen Operationen von Bedeutung.2.3.1 SchnittpunkteEinzelne Schnittpunkte treten auf, wenn eine Kante mit einer anderen Kante odermit einem anderen Flächenstück geschnitten wird.Seien c 1 (t) und c 2 (u) Parameterdarstellungen von Kanten. Schnittpunkte dieserKanten treten an Nullstellen der Abstandsfunktion |c 1 (t) − c 2 (u)| =: dist(t, u) auf.Durch Auffinden der Nullstellen von dist(u, v) erhält man jene Parameterwerte, welcheauf der jeweiligen Kante zu den Schnittpunkten gehören. Einsetzen in eine derbeiden Parameterdarstellung liefert die Schnittpunkte. Zur Effizienzsteigerung kannanstatt dist(u, v) auch die quadratische Distanzfunktion sqdist(u, v) = dist(u, v) 2herangezogen werden. Eine allgemeinere Möglichkeit, mit welcher auch Schnittpunkteermittelt werden können, ist das Bestimmen von Extrema der quadratischenAbstandsfunktion. Diese Möglichkeit, welche auch in Open CASCADE umgesetztist, liefert allerdings neben den Schnittpunkten auch weitere extremal liegende28

2.4 Boolesche OperationenPunkte, welche aussortiert werden müssen. Weiters müssen in jedem Fall auch jeneSchnittpunkte aussortiert werden, welche zwar auf der eine Kante festlegendenKurve liegen, allerdings nicht innerhalb der beiden Begrenzungspunkte der Kante.Der Schnitt zwischen einer Kante c(t) und einem Flächenstück f(u, v) geschiehtanalog zum Schnitt zweier Kanten durch Bestimmen der Nullstellen der Funktion|c(t) − f(u, v)| =: dist(t, u, v).2.3.2 SchnittkurvenSchnittkurven, welche beim Schnitt zweier Flächen auftreten, werden in CAD-Systemenüblicherweise näherungsweise bestimmt. Nur für einfache Spezialfälle, wieden Ebenen Schnitt einer Quadrik, können exakte Lösungen ermittelt werden. Zumapproximativen Finden von Schnittkurven werden einzelne Punkte ermittelt, welcheauf der Schnittkurve liegen, und diese Punkte anschließend durch Freiformkurveninterpoliert. Die Interpolation von Punkten wurde bereits in Abschnitt 2.1behandelt. Bezüglich des Auffindens von Kurvenpunkten wird hier kurz ein Algorithmusvorgestellt, welcher in [PMKM93] ausführlich beschrieben ist. Dieser gehtvon einem bereits bekannten Punkt auf dem Schnitt der beiden Flächen aus. Vondiesem Punkt aus sollen nacheinander weitere solcher Punkte bestimmt werden, indemkleine Schritte in Tangentialrichtung der Schnittkurve gemacht werden. DieseTangentialrichtung ist dabei orthogonal auf die Flächennormalen beider Flächenim aktuellen Punkt. Sind die Flächennormalen linear unabhängig, so kann sie als⃗t = ⃗n 1 × ⃗n 2 ermittelt werden. Linear abhängige Flächennormalen bedeuten im entsprechendenPunkt eine Berührung der beiden Flächen. In einem solchen Fall kannbeispielsweise der Schnitt nur aus diesem einen Punkt bestehen oder sich an diesemPunkt verzweigen.2.4 Boolesche OperationenDie booleschen Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Differenz wurden imCAD-Bereich erstmals im Rahmen von Constructive Solid Geometry (CSG) eingeführt.Seit den späten Siebzigerjahren sind diese Operationen auch in Programmenzu finden, die auf der Boundary Representation basieren.2.4.1 Regularisierte boolesche OperationenIn der Boundary Representation werden Modelle als topologisch abgeschlossen definiert.Das bedeutet, dass zum Beispiel die Begrenzungsflächen eines Körpers zumKörper zu zählen sind. Es ist nun wünschenswert, dass das Anwenden einer booleschenOperation auf zwei Körper wieder eine abgeschlossene Punktmenge und damitein im Sinne der Boundary Representation gültiges Modell liefert. Dies ist allerdings29

2.4 Boolesche OperationenABA-BA∩BAbbildung 2.10: Anwendung nichtregularisierter Boolescher Operationen auf Flächenbei den gewöhnlichen Mengenoperationen nicht notwendigerweise der Fall. Daherwerden anstatt dieser in CAD-Systemen die sogenannten regularisierten booleschenOperationen verwendet, welche mit den Symbolen ⋃∗ , ⋂∗ und − ∗ bezeichnet werden.Man gelangt von einem booleschen Operator zu seiner regularisierten Variante,indem man nach Anwenden des Operators den Abschluss (closue) der inneren Punkte(interior) des Resultats bildet. Die regularisierte Operation zu einer gegebenenbooleschen Operation ⊗ ist damit definiert als: A ⊗ ∗ B := cl(int(A ⊗ B)). Dabeiwerden mit int die inneren Punkte bezüglich eines geeigneten Umgebungsraumesbestimmt. Im obigen Beispiel ist dieser Umgebungsraum die Ebene R 2 . In anderenFällen treten auch gekrümmte Flächen und Raumkurven als Umgebungsräume auf.2.4.2 AlgorithmusWir werden hier eine Möglichkeit vorstellen, mit der zu zwei Körpern A und B,welche in der Boundary Representation angegeben sind, die Resultate der jeweiligenbooleschen Operationen ermittelt werden können. Gegeben sind also zwei Körperdurch ihre begrenzenden Elemente. Aus diesen soll ein Körper erstellt werden, derebenfalls durch die ihn begrenzenden Flächenstücke, Kanten und Ecken festgelegtist. Die Begrenzung eines Objekts O werden wir im folgenden mit ∂O bezeichnen.Satz 21. Gegeben seien zwei Körper A und B. Der Operator ⊗ ∗ bezeichne eine derregularisierten booleschen Operationen. Dann ist die Begrenzung des resultierendenKörpers aus Teilen der Begrenzungen der ursprünglichen Körper zusammensetzbar:∂(A ⊗ ∗ B) ⊆ ∂A ∪ ∂BZu beachten ist hierbei, dass auf der rechten Seite die kanonische, also nicht dieregularisierte, Vereinigung auftritt.Für einen Beweis sei auf [RT78] verwiesen. Aus obigem Satz ergibt sich, dass dieFlächenstücke, die den resultierenden Körper begrenzen, Teile der begrenzenden Flächenstückeder ursprünglichen Körper sind. Es treten also keine neuen Flächen auf.30

2.4 Boolesche OperationenDie Kanten des neuen Körpers sind zum einen Teile von Kanten der ursprünglichenKörper (genannt self edges), zum anderen Teile des Schnitts der Körperoberflächen∂A ∩ ∂B (cross edges). Letztere können wie im vorigen Kapitel beschrieben ermit-A∂A ∩ ∂BBAbbildung 2.11: Alle neu auftretenden Kanten sind Teil von ∂A ∩ ∂Btelt werden. Zur Ermittlung der self edges des Resultats müssen die Kanten derursprünglichen Körper gegebenenfalls geteilt werden. Diese Unterteilungen erfolgenan den Schnittpunkten der Kanten mit der Oberfläche des jeweils anderen Körpers.Eine Kante a i des Körpers A wird etwa in die zwei Teile a i ∩B und a i −B geteilt. Auchdie begrenzenden Flächenstücke eines Körpers werden in Teile geteilt, die entwederaußerhalb oder innerhalb des anderen Körpers liegen. Dies ist in Abbildung 2.12 zusehen. Den Sonderfall, dass sich zwei begrenzende Flächenstücke der beiden Körperin einem zweidimensionalen Bereich überlagern, wollen wir hier nicht näher betrachten.Er bedarf einer gesonderten Behandlung, welche in [RV84] näher erörtert wird.AαBα-Bα∩Baa-Ba∩BAbbildung 2.12: Unterteilung der Kante a und der Fläche α bezüglich BDie Oberflächen der beiden Körper können damit in folgende fünf Komponentenzerlegt werden: ∂A−B, ∂A∩B, ∂B −A, ∂B ∩A, ∂A∩∂B. Für die Komponenten derFormen ∂X −Y , ∂X ∩Y und ∂X ∩∂Y sind dabei in der englischsprachigen Literaturauch die jeweiligen Bezeichnungen „∂X out Y “, „∂X in Y “ und „∂X on Y “ üblich.Durch passende Kombination kann für jede boolesche Operation A⊗ ∗ B das Ergebnisin folgender Weise zusammengesetzt werden:• ∂(A ∪ ∗ B) = (∂A − B) ∪ (∂B − A)• ∂(A − ∗ B) = (∂A − B) ∪ (∂B ∩ A)31

2.4 Boolesche Operationen• ∂(B ∩ ∗ A) = (∂A ∩ B) ∪ (∂B ∩ A)∂A - B ∂B ∩ A ∂A ∩ B∂B - AAbbildung 2.13: Unterteilungen der einzelnen Körperoberflächen32

3 BenutzeroberflächeDas im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Programm trägt den Namen Kubos (vomgriechischen κύβος für Würfel). Es soll primär dem Einsatz im Unterrichtsfach GeometrischesZeichnen in der siebten und achten Schulstufe dienen. Um diesem Anwendungsgebietgerecht zu werden, ist eine einfache Gestaltung der Benutzeroberflächewünschenswert. Das CAD-Programm soll beim Kennenlernen geometrischerObjekte und Konstruktionen eingesetzt werden, dabei aber selbst nicht im Fokus desUnterrichts stehen. Ausgehend von diesem Ziel werden wir in diesem Kapitel Überlegungenzur möglichen Gestaltung diverser Aspekte der Benutzeroberfläche anstellen.Dabei werden wir uns auch mit momentan im Geometrieunterricht eingesetzten Programmenund deren Oberfläche beschäftigen. Weiters werden auch Konzepte für dieBenutzeroberfläche von Kubos vorgestellt, die im Rahmen dieser Arbeit noch nichtimplementiert wurden.3.1 Übersicht über andere ProgrammeIm Geometrieunterricht an österreichischen allgemeinbildenden höheren Schulen werdenderzeit hauptsächlich die Programme CAD-3D, SketchUp, GAM und MicroStationeingesetzt. Während CAD-3D und SketchUp vorwiegend im Unterrichtsfach„Geometrisches Zeichnen“ genutzt werden, findet MicroStation hauptsächlich imFach „Darstellende Geometrie“ Anwendung. GAM wird in beiden Fächern gleichermaßenverwendet.3.1.1 CAD-3DDas Programm CAD-3D wurde an der Technischen Universität Wien entwickeltund ist explizit für den Einsatz im Schulunterricht konzipiert[PRS02]. Obwohl esnicht mehr weiterentwickelt wird, und die neueste Version im Jahr 2002 erschienenist, findet es im österreichischen Geometrieunterricht noch desöfteren Verwendung.Der Einsatz in diesem Anwendungsgebiet ist dank einer Generallizenz in Österreichkostenlos.Eine wesentliche Besonderheit von CAD-3D ist, dass es ausschließlich Volumsmodelleals Objekte unterstützt. Das Erstellen von einzelnen Flächen, Kurven oderPunkten ist in diesem Programm nicht möglich. Objekte dieser Art können aber als33

3.1 Übersicht über andere ProgrammeAbbildung 3.1: Benutzeroberfläche von KubosEingabeobjekte genutzt werden, wenn sie Teil bestehender Objekte sind. So kann etwaeine Kante eines modellierten Quaders zum Festlegen einer Rotationsachse odereines Schiebevektors verwendet werden. Alle modellierten Objekte werden in CAD-3D als Polyeder erstellt. Gekrümmte Flächen können damit nicht exakt dargestelltwerden, sondern werden durch ebene Flächenstücke angenähert. Die Feinheit der approximierendenPolygone kann dabei beim Modellieren festgelegt werden, wobei eingenaueres Modell einen erhöhten Rechenaufwand und Speicherverbrauch zur Folgehat.Die in CAD-3D verwendete Modelliermethode ist stark an Constructive Solid Geometry(CSG) angelehnt. Im Wesentlichen werden die Modelle aus vorgegebenenGrundkörpern gebildet, die Raumtransformationen und booleschen Operationen unterworfenwerden. Weiters sind zwei Operationen verfügbar, die über die Funktionalitätvon CSG hinausgehen: Die Skalierung eines Objekts in Richtung der Koordinatenachsenund das Zerteilen eines Körpers entlang einer Ebene. Trotz dieserErweiterungen bleiben die Modelliermöglichkeiten in CAD-3D im Vergleich zu anderenProgrammen eher eingeschränkt, was insbesondere auch auf das Fehlen vonSweeps als Modelliermethode zurückzuführen ist.34

3.1 Übersicht über andere Programme3.1.2 SketchUpDas Modellierprogramm SketchUp wurde ursprünglich ab 1999 von der Firma @LastSoftware entwickelt. Nach einer Übernahme durch Google wird die Entwicklung mittlerweilevon Trimble Navigation weitergeführt. Die Basisversion von SketchUp istkostenlos verfügbar, eine erweiterte Version wird vom Hersteller kommerziell vertrieben.Bei der Objektmodellierung verfolgt SketchUp einen zu CAD-3D konträren Ansatz.Anstatt von Körpern werden hier nur fünf grundlegende ein- und zweidimensionaleObjekttypen unterstützt, aus denen durch Sweeping dreidimensionale Modelleentstehen. Bei auf diese Weise entstandenen Modellen handelt es sich nicht umVolums- sondern um Flächenmodelle. Da Volumsmodelle von SketchUp nicht unterstütztwerden, geht hier die Modellierung anders von statten als bei einem typischenCAD-System. So stehen etwa die sonst häufig verwendeten booleschen Operationenin der Standardversion von SketchUp nicht zur Verfügung. Stattdessen bietet Sketch-Up allerdings Funktionen, die zur Mesh-Modellierung zu zählen sind und von kaumeinem anderen CAD-System unterstützt werden. Dabei kann ein existierendes Polygonnetzin SketchUp dadurch bearbeitet werden, dass bestehende Polygone durchdas Eintragen weiterer Kanten aufgespalten werden und ihre Eckpunkte verschobenwerden. Als Beispiel für diese Modelliermethode ist in Abbildung 3.2 das Erstelleneiner Pyramide gezeigt. Diese Art der Erzeugung von Modellen unterscheidet sichgrundlegend von den in anderen CAD-Programmen vorherrschenden Methoden.(a) (b) (c)Abbildung 3.2: Erstellen einer Pyramide in SketchUp durch Mesh-ModellierungNeben den genannten Methoden zur Mesh-Modellierung spielt der Befehl Push/-Pull in SketchUp eine wichtige Rolle. Mittels dieses Befehls können einerseits ebeneFlächen in Richtung ihrer Normalen extrudiert werden, andererseits können auchEinbuchtungen in existierenden Flächen modelliert werden.Wie bei CAD-3D ist auch bei SketchUp das Arbeiten mit gekrümmten Flächenoder Kurven nicht möglich. Sämtliche Objekte sind durch Polygone beziehungsweiseStrecken angenähert. Da also auch hier etwa Kreise nur approximativ repräsentiertwerden, sind genaue Konstruktionen nur eingeschränkt möglich.35

3.1 Übersicht über andere ProgrammeEine Besonderheit von SketchUp stellt das Trimble 3D Warehouse dar. Dies ist eineOnlinedatenbank vorgefertigter 3D-Modelle, die direkt in SketchUp importiert undweiter genutzt werden können. Unter den tausenden Modellen sind insbesondereauch viele reale Gebäude zu finden. Dies resultiert noch daraus, dass SketchUp vomVoreigentümer Google dafür zur Verfügung gestellt wurde, um Gebäudemodelle imvirtuellen Globus Google Earth bereitstellen zu können.3.1.3 GAMGAM ist ein didaktisches Geometrieprogramm, welches ausschließlich in einer kostenpflichtigenVersion verfügbar ist. Von den beiden bisher behandelten Programmenunterscheidet sich GAM im wesentlichen durch genauere Konstruktionsmöglichkeiten,eine größere Anzahl an Werkzeugen und damit einhergehend auch einekompliziertere Bedienung. Wesentlich für die genaueren Konstruktionsmöglichkeitenist die exakte interne Repräsentation von Kurven und Flächen. So werden etwaKreise programmintern auch als Kreise anstatt als Polygone behandelt. In derRissdarstellung erscheinen sie zwar durch regelmäßige Vielecke angenähert, etwaigeSchnittpunkt- oder Tangentenermittlungen basieren aber auf der exakten internenForm. Komplexere Objekte, wie etwa Tori, werden allerdings auch programminternnur approximiert dargestellt.Im Gegensatz zum minimalistischen SketchUp bietet GAM viele spezifische Konstruktionswerkzeugezum Modellieren. Ein Beispiel dafür ist das Werkzeug quadratischePyramide. Nachdem das Programm auch allgemeinere Werkzeuge für dieKonstruktion rechteckiger Pyramiden sowie regelmäßiger Pyramiden bietet, scheintdas Umsetzen eines spezifischen Werkzeugs für quadratische Pyramiden hier nichtunbedingt notwendig. Insbesondere für ein didaktisches CAD-Programm ist das kritischzu sehen, da dadurch das Erlernen des Programms im Unterricht mehr Zeitin Anspruch nimmt und damit das Erlernen der Geometrie teilweise auf der Streckebleibt. Als weiteres Beispiel ist die Funktion Würfel spezial zu nennen, die dieeinfache Konstruktion eines Würfels erlaubt, dessen Raumdiagonale eine der Koordinatenachsenist. Diese Konstruktion kommt in praktischen Beispielen kaum vor,wird aber im Geometrieunterricht desöfteren verwendet, um Raumtransformationeneinzuüben. Durch Vorhandensein dieses speziellen Befehls in GAM ist nun geradedieses Beispiel im Zusammenhang mit dem Einüben von Raumtransformationennicht mehr sinnvoll einsetzbar. Andere Zusatzfunktionen von GAM sind hingegenin didaktischer Hinsicht als sehr sinnvoll zu erachten. Beispielsweise ist es möglich,die Szene in einem Frontal- beziehungsweise Horizontalriss anzuzeigen, was einenLehrplaninhalt des Faches Geometrisches Zeichnen darstellt. Weiters bietet GAMdie Möglichkeit, Kurven und Flächen durch Angabe ihrer Parametrisierung festzulegen,was eine fächerübergreifende Behandlung in dem Fach Mathematik möglichmacht.36

3.2 Eingabemethoden3.1.4 MicroStationBei MicroStation handelt es sich um ein professionelles CAD-System, das in vielentechnischen Anwendungsbereichen eingesetzt wird. Für den Geometrieunterricht hates eine besondere Bedeutung, da der Einsatz in der Schule in Österreich durch einebesondere Lizenzierung relativ billig möglich ist.Von den hier beschriebenen Programmen hat MicroStation den größten Funktionsumfang.Viele seiner Funktionen gehen dabei über das im üblichen Geometrieunterrichtbehandelte Spektrum hinaus. Als einziges der hier behandelten CAD-Programme bietet MicroStation neben dem Arbeiten mit dreidimensionalen Modellenauch einen eigenen Modus für zweidimensionale Zeichnungen. Dabei ist dieBenutzeroberfläche in beiden Modi die gleiche, was insbesondere im 3D-Modus zuschwer nachvollziehbaren Konstruktionstechniken führt. So erfolgt etwa auch beimArbeiten im Raum die Angabe einer Drehung durch einen Punkt, um den gedrehtwird, anstatt einer Achse, und Festlegung einer Spiegelung geschieht nicht über dieAuswahl einer Ebene, sondern eines Punktes und einer Achsenrichtung des Benutzerkoordinatensystems.Dieses Benutzerkoordinatensystem wird in MicroStation alsAccuDraw bezeichnet und spielt bei vielen Konstruktionen eine zentrale Rolle. Auchbei diesem Werkzeug gibt es allerdings wieder das Problem, dass es für das Arbeitenim 3D-Modus nicht optimal geeignet ist, da es sich um ein zweidimensionalesKoordinatensystem handelt. Das Benutzerkoordinatensystem lässt sich durch verschiedeneTastenkürzel auch während eines Konstruktionsvorganges neu platzieren,ohne diesen zu unterbrechen. Es dient unter anderem dazu, die aktive Zeichenebenefestzusetzen, kartesische oder polare Koordinaten eines Eingabepunktes zu bestimmenoder, wie bereits erwähnt, die Richtung einer Spiegelung anzugeben. Aufgrunddieser Funktionsfülle ist es anfänglich recht schwer, sich mit diesem Werkzeug zurechtzufinden.3.2 EingabemethodenDas Konstruieren von Objekten beruht bei den betrachteten CAD-Systemen im wesentlichauf vier Typen von Eingabedaten, die wir hier näher betrachten werden. DreiTypen, die sich in jedem der behandelten Programme wiederfinden, sind die Eingabevon Punkten, das Auswählen von bestehenden geometrischen Objekten sowie dieEingabe numerischer Größen. Weiters bieten die Programme GAM, SketchUp undMicroStation jeweils Benutzerkoordinatensysteme, die neben ihrer Rolle bei der Eingabevon Koordinaten auch durch ihre Ausrichtung die Konstruktion beeinflussenkönnen.37

3.2 Eingabemethoden3.2.1 PunkteingabeDie Eingabe von Punkten bildet die Grundlage zur Konstruktion aller Objekte ineinem CAD-System. Sie kann entweder durch die Eingabe der Koordinaten desPunktes geschehen, oder interaktiv in der 3D-Ansicht des Objekts.Die Eingabe der Koordinaten erfolgt üblicherweise durch einoder mehrere Eingabefelder. Sie ist in den meisten CAD-Programmen in jeder Situation als Alternative zur interaktivenPunkteingabe möglich. SketchUp stellt hier allerdingseine Ausnahme dar. Beispielsweise kann in diesemProgramm der erste Punkt eines Streckenzuges nicht durchEingabe seiner Koordinaten festgelegt werden, die restlichenPunkte jedoch schon. Zusätzlich zur Eingabe globaler Koordinatenerlauben es SketchUp, GAM und MicroStationAbbildung 3.3:Koordinateneingabefeldin Kubosauch, Koordinaten in einem Benutzerkoordinatensystem anzugeben, das beliebig imRaum platziert werden kann.Die koordinatenweise Eingabe von Punkten ist eine der wichtigsten Eingabemethodenin CAD-Programmen und wird damit auch im hier zu implementierenden ProgrammKubos umgesetzt werden, in diesem Fall als einzelne Eingabebox für die dreiKoordinatenwerte. Für ein rasches Ändern der Koordinatenwerte sind Kurzbefehlevorgesehen, mittels derer durch Drücken der Tasten X, Y und Z die entsprechendeKoordinate im Textfeld markiert wird und dadurch überschrieben werden kann.Die interaktive Eingabe von Punkten am Bildschirm mithilfe der Maus gestaltet sichinsofern problematisch, als sich der Mauszeiger nur in zwei Dimensionen verschiebenlässt, für die Festlegung eines Raumpunktes aber drei Koordinaten notwendig sind.Dieses Problem wird in CAD-Programmen unterschiedlich gelöst.Eine Lösungsmöglichkeit ist das sogenannte Fangen oder Snappen von besonderenPunkten. Dies können beispielsweise bestehende Eckpunkte sowie Schnittpunkteoder Unterteilungspunkte von Strecken sein. Insbesondere professionelle Systeme wieMicroStation unterstützen hier eine Vielzahl an Optionen. Aufgrund von Einschränkungender zugrundeliegenden Entwicklungsplattform werden wir in Kubos nur dieSnapfunktion bestehender Punkte oder Ecken implementieren. Wie in Abschnitt 3.5beschrieben, wird es allerdings die Möglichkeit geben, Schnittpunkte explizit zu konstruierenund diese auch zu fangen.Abgesehen von Fangfunktionen werden zwei weitere Verfahren angewendet, um einenPunkt im Raum eindeutig festzulegen. In CAD-3D geschieht dies durch die Eingabeeines Punktes in zwei zugeordneten Normalrissen. So kann etwa ein Punkt zunächstim Grundriss festgelegt werden, was seine x- und y-Koordinate bestimmt,und anschließend im Aufriss, wodurch auch die z-Koordinate fixiert ist. Um bei derinteraktiven Eingabe genaue Maßangaben zu erreichen, kann in CAD-3D bei dieserEingabemethode ein Koordinatenraster aktiviert werden, welches je nach Einstellungeine Feinheit von 1 mm bis 2 cm hat.38

3.2 EingabemethodenAnstatt die Eingabe in zwei Rissen zu erfordern, bieten SketchUp und Microstationdie Möglichkeit, die Punkteingabe auf eine Ebene einzuschränken. Dies ermöglichteine Festlegung eines Punktes in einem Schritt. In MicroStation ist die Zeichenebeneals die x-y-Ebene des Benutzerkoordinatensystems AccuDraw festgelegt. Durchentsprechende Platzierung dieses Systems kann damit in jeder beliebigen Ebenedes Raumes konstruiert werden. In SketchUp hingegen ist die aktive Zeichenebeneüblicherweise eine der drei Koordinatenebenen, wobei diese nicht vom Benutzerangegeben, sondern aus der Blickrichtung und Mausposition bestimmt wird. Dabeiwird allerdings die Intention des Benutzers nicht immer richtig erkannt. Dies kann zuungewünschten falschen Konstruktionen führen. Weiters ist es in SketchUp möglich,in ein bereits vorhandenes ebenes Flächenstück zu zeichnen.Für die Umsetzung in Kubos soll wie in SketchUp die Punkteingabe auf eine derdrei Koordinatenebenen eingeschränkt werden, wobei diese vom Benutzer explizitvorgegeben wird. In der aktiven Ebene soll dabei ähnlich zu CAD-3D ein Koordinatenrasterzur Verfügung stehen, das die exakte Eingabe von Koordinatenwertenermöglicht. Die Feinheit dieses Rasters soll sich dabei an die aktuelle Vergrößerungsstufeder Ansicht anpassen.3.2.2 Eingabe numerischer GrößenIm Bereich des CAD ist es bei einigen Werkzeugen möglich, anstatt von Punktennumerische Werte einzugeben, die das resultierende Objekt beschreiben. Ein Zylinderkann so etwa durch Radius und Höhe festgelegt werden. Diese Werte werdenin SketchUp über ein Eingabefeld festgelegt, über das auch die Koordinateneingabeerfolgt, in den anderen Programmen werden sie über Dialogboxen abgefragt. Wie imfolgenden Abschnitt beschrieben, soll in Kubos analog zu SketchUp die Objektmodellierungauf Basis einer möglichst minimalen Auswahl an Körpern und Transformationenerfolgen. Für die in Kubos verfügbaren Werkzeuge ergibt sich, dass nur dieEingabe der Radien für Kreis und Kugel sowie der Extrusionshöhe als numerischeGrößen sinnvoll erscheinen. Die Eingabe solcher Größen wäre analog zu SketchUpüber das schon für Punkte verwendete Eingabefeld durchzuführen, wurde allerdingsim Rahmen dieser Arbeit nicht implementiert.3.2.3 BenutzerkoordinatensystemeWie zuvor erwähnt, werden Benutzerkoordinatensysteme in CAD-Systemen verwendet,um Punktkoordinaten bezüglich anderer Bezugssysteme eingeben zu können.Neben dieser Funktion bei der Punkteingabe können sie aber auch in anderer Formin einer Konstruktion eingesetzt werden, und zwar zum Festlegen einer gewissenAusrichtung von Objekten.So werden etwa in allen betrachteten Systemen Rechtecke standardmäßig so ausgrichtet,dass ihre Kanten achsenparallel bezüglich des aktiven Benutzerkoordina-39

3.3 GrundobjekteAbbildung 3.4: Benutzerkoordinatensystem in GAMtensystems verlaufen. Weiters dient ein Benutzerkoordinatensystem beispielsweisein MicroStation der Ausrichtung der Drehachse oder Festlegung der Spiegelungsrichtung.Insbesondere in MicroStation spielt das Benutzerkoordinatensystem, das als Accu-Draw bezeichnet wird, eine zentrale Rolle. Es handelt sich dabei um ein zweidimensionalesKoordinatensystem, welches meistens parallel zu einer der Koordinatenebenendes globalen Koordinatensystems ausgerichtet ist. Entsprechende Ausrichtungensind über die Tasten T, F und S zu erreichen, welche das Benutzerkoordinatensystemjeweils parallel zum Grundriss (Top), Aufriss (Front) oder Kreuzriss (Side)ausrichten. Weiters kann AccuDraw über das Tastenkürzel R-Q für rotate quick umseine z-Achse gedreht werden oder durch das Definieren eines Benutzerkoordinatensystems(ACS) überhaupt beliebig ausgerichtet werden.In der ersten Implementierung von Kubos scheint es sinnvoll, analog zu AccuDraweine Ausrichtung bezüglich Grundriss, Aufriss oder Kreuzriss festlegen zu können,um etwa die Zeichenebene oder die Richtung einer Drehachse oder einer Spiegelungfestzusetzen. Eine Änderung der Ausrichtung ist in Kubos über den MenüpunktAktive Ebene umschalten oder das Betätigen der Leertaste möglich.3.3 GrundobjekteAls Grundobjekte oder Primitive werden jene Objekttypen bezeichnet, die in einemCAD-System durch einen direkten Befehl erstellt werden können. Alle anderenObjekte werden aus den Grundobjekten abgeleitet, was meist durch Sweeps sowieboolesche Operationen geschieht. Die hier betrachteten CAD-Systeme unterscheidensich stark bezüglich der von ihnen unterstützten Grundobjekte. So bietet etwa GAMdrei verschiedene Befehle zur Konstruktion von Pyramiden, während in SketchUpund MicroStation diese Funktion zur Gänze fehlt.40

3.3 GrundobjekteProgramm verfügbare GrundobjekteCAD-3D Quader, regelmäßiges Prisma, regelmäßige Pyramide, Kugel,Zylinder, Kegel, Torus, Pentagondodekaeder, Ikosaeder, ein- undzweischaliges Drehhyperpoloid, DrehparaboloidSketchUp Streckenzug, Rechteck, regelmäßiges Vieleck, Kreisscheibe,KreisbogenGAM Punkt, Strecke, Streckenzug, Quadrat, Rechteck, regelmäßigesVieleck, Kreis, Kreisbogen, Kreissektor, Ellipse, Parabel,Hyperbel, Würfel, Quader, quadratische und rechteckigePyramide, regelmäßige Pyramide, regelmäßiges Prisma, Zylinder,Kegel, Kugel, platonische Körper, Dach, Paraboloid, TorusMicroStation Punkt, Strecke, Streckenzug, Polygon, Kreis, Kreisbogen, Ellipse,Rechteck, regelmäßiges Vieleck, Quader, Kugel, Zylinder,Kegelstumpf, Torus, ZylindersektorKubos Punkt, Strecke, Gerade, Kreis, Kreisscheibe, Rechteck, KugelTabelle 3.1: In den betrachteten CAD-Systemen verfügbare GrundobjekteDa das hier entwickelte didaktische Programm eine möglichst einfache Benutzeroberflächehaben soll, ist auch eine reduzierte Auswahl an Grundobjekten wünschenswert.Daher scheint eine ungefähre Orientierung am Funktionsumfang von SketchUpangebracht. Dieses stellt nur die fünf Grundobjekte Streckenzug, Rechteck, regelmäßigesVieleck, Kreisscheibe und Kreisbogen zur Verfügung. Mit den Grundobjektenlassen sich also ausschließlich ein- und zweidimensionale Objekte erzeugen. Körperwerden in SketchUp durch Sweeps erstellt. So können beispielsweise Zylinderoder Quader auf einfache Weise durch Extrusion von Kreisscheiben beziehungsweiseRechtecken erzeugt werden. Beim Erstellen von Drehkörpern, wie Kugel und Kegel,wird die Konstruktion bereits wesentlich komplizierter. Diese Körper werden inSketchUp durch Sweeping entlang eines Kreises erstellt. Um beispielsweise eine imUrsprung zentrierte Kugel zu erstellen, würde man zunächst eine Kreisscheibe inder y-z-Ebene erstellen, welche das Rotationsprofil darstellt, und diese anschließendentlang eines weiteren Kreises extrudieren, dessen Achse die z-Achse ist. Um einederart umständliche Konstruktion eines solchen grundlegenden Körpers nicht notwendigzu machen, soll Kubos zumindest ein Werkzeug zum Erstellen einer Kugelenthalten. Außerdem sollen wie in SketchUp Werkzeuge zum Erstellen von Rechteckenund Kreisscheiben zur Verfügung stehen, um die Konstruktion von Quadernund Zylindern zu ermöglichen.Im Hinblick auf den Geometrieunterricht soll in Kubos verglichen mit SketchUp größererWert auf Möglichkeiten zum genauen Konstruieren gelegt werden. Aus dieserÜberlegung heraus scheint es sinnvoll, auch Werkzeuge zum Erstellen von Punkten,Geraden und Kreisen bereitzustellen. Da weiters natürlich auch ein Werkzeugzum Erstellen von Strecken benötigt wird, erhalten wir die folgenden Werkzeuge, dieumzusetzen sind: Punkt, Strecke, Gerade, Kreis, Kreisscheibe, Rechteck und Kugel.41

3.4 RaumtransformationenEs ist nun zu überlegen, wie die interaktive Konstruktion dieser Objekte in Kuboserfolgen wird. Wie in Abschnitt 3.2 beschrieben, kann zur Konstruktion die Eingabevon Punkten und Objekten sowie die Ausrichtung der aktiven Ebene verwendetwerden.Für die Konstruktion von Punkt, Strecke und Gerade erscheint die Umsetzung offensichtlich:Die Konstruktion eines Punktes erfolgt über die Angabe seiner Lage,die einer Strecke über Angabe von Anfangs- und Endpunkt und die einer Geradedurch zwei beliebige auf ihr liegende Punkte.Die Konstruktion von Kreisen beziehungsweise Kreisscheiben sowie von Rechteckenwird von SketchUp, GAM und MicroStation unterstützt. Bei allen drei Programmenspielt in diesen Konstruktionen die Ausrichtung des Benutzerkoordinatensystemseine wesentliche Rolle. Sofern die Angabeelemente es zulassen, liegen die erstelltenObjekte in einer Koordinatenebene des Benutzerkoordinatensystems, wobei bei einemRechteck die Seiten achsenparallel liegen. Durch diese Vorgabe ist die Lage derObjekte soweit eingeschränkt, dass für ein Rechteck die Angabe zweier gegenüberliegenderEcken und für einen Kreis die Angabe des Mittelpunkts und eines auf demKreis liegenden Punktes ausreicht. Auch in Kubos soll die Konstruktion auf dieseWeise umgesetzt werden.3.4 RaumtransformationenDie Positionierung von Objekten im CAD-System kann mittels verschiedener Raumtransformationengeändert werden. Insbesondere in CAD-3D und GAM spielen dieseeine wichtige Rolle, da in diesen Programmen neu erstellte Objekte immer im Koordinatenursprungentstehen und erst an die gewünschte Position bewegt werdenmüssen.Die grundlegenden Transformationen Translation, Drehung und Spiegelung werdenvon allen vier betrachteten Programmen unterstützt. Obwohl SketchUp keinen eigenenBefehl für eine Spiegelung hat, kann eine solche ausgeführt werden, indem beieiner Skalierung in eine der Koordinatenrichtungen mit dem Faktor -1 skaliert wird.Dies zeigt wieder den Ansatz dieses Programms, nur einen minimalistischen Satz anWerkzeugen bereitzustellen. Neben den drei bereits erwähnten Bewegungen bietendie beiden didaktischen Programme CAD-3D und GAM auch einen separaten Befehlzum Ausführen einer Schraubung. Da eine Schraubung allerdings ohnehin ausTranslation und Drehung zusammensetzbar ist, werden wir auf die Umsetzung einessolchen Befehls verzichten.Das Festlegen einer Translation ist bei allen vier betrachteten Programmen durchdie Angabe eines Start- und Endpunktes möglich. Die angegebenen Punkte legenden Schiebvektor fest. Des Weiteren bieten GAM und SketchUp die Möglichkeit,einen Schiebvektor direkt durch Koordinatenwerte anzugeben. In Kubos soll nur dieerstere Möglichkeit umgesetzt werden.42

3.5 Boolesche OperationenFür die Spiegelung von Objekten sind in den Programmen grundsätzlich zwei verschiedeneAnsätze zu finden. GAM und CAD-3D bieten die Möglichkeit, an einerdurch drei Punkte festgelegten Ebene zu spiegeln. In MicroStation und SketchUpist nur eine Spiegelung in Richtung einer Achse des Benutzerkoordinatensystemsmöglich. Bei der Spiegelung in MicroStation kann dabei in den Werkzeugoptionenzwischen vertikal und horizontal gewählt werden. Ersteres bedeutet dabei eine Spiegelungin Richtung der x-Achse, zweiteres eine in Richtung der y-Achse. Zusätzlichzur Angabe der Spiegelungsrichtung ist in MicroStation ein in der Spiegelungsebeneliegender Punkt anzugeben. Die Spiegelungsebene ist damit durch einen Punktund ihre Normalrichtung festgelegt. Am Ansatz in MicroStation ist insbesondere zubemängeln, dass die Bedeutungen der Optionen horizontal und vertikal kaum ersichtlichsind und daher vom Benutzer oft nur durch Versuch und Irrtum die korrekteEinstellung ermittelt wird. Für Kubos wird zur Spiegelung eine besonders vereinfachteMöglichkeit zur Wahl der Spiegelungsebene umgesetzt werden: Diese wirdimmer die aktive Ebene, also eine der drei Koordinatenebenen sein. Dies bewirktnatürlich, dass nach einer Spiegelung oft noch eine Translation durchgeführt werdenmuss, um ein gespiegeltes Objekt an die gewünschte Position zu bringen.3.5 Boolesche OperationenDie booleschen Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Differenz stellen in denmeisten CAD-Systemen eine grundlegende und wichtige Möglichkeit zum Modellierenvon Objekte dar. Eine besondere Ausnahme ist hier SketchUp, welches inder Standardausführung keine booleschen Operationen bietet. Im Gegensatz dazuspielen boolesche Operationen beim auf Constructive Solid Geometry basierendenCAD-3D eine besonders zentrale Rolle. Üblicherweise werden boolesche Operationeninsbesondere mit Volumselementen verwendet. Im Folgenden wollen wir Überlegungendazu anstellen, wie boolesche Operationen auch auf andere Objekttypenangewendet werden können. Es wird sich herausstellen, dass die entsprechendenWerkzeuge in einer Weise verallgemeinert werden können, die die Funktionalitätvieler anderer Werkzeuge einschließt. Eine solche Verallgemeinerung kann damit zueiner reduzierten und einfacheren Benutzeroberfläche führen. Beispielsweise könnteim Rahmen einer derartigen Verallgemeinerung auch das Vereinigen zweier Flächenmöglich sein, was beispielsweise in MicroStation in einem eigenen Befehl umgesetztist. Im Folgenden werden wir uns vor allem mit Werkzeugen in MicroStation beschäftigenund überlegen, wie diese in Werkzeuge für verallgemeinerte boolescheOperationen integriert werden können.3.5.1 VereinigungEine Vereinigung kann nur zwischen Objekten der gleichen Dimension sinnvoll definiertwerden. Neben dem Standardfall der Vereinigung von Körpern ist nun auch43

3.5 Boolesche Operationeneine Vereinigung von Flächen beziehungsweise von Kanten denkbar.Eine Vereinigung von Flächen kann in zwei konkreten Fällen umgesetzt werden.Zum einen könnte sie angewendet werden, wenn zwei Flächen entlang einer Kantezusammentreffen. In diesem Fall wäre der aus den Flächen zusammengesetzte Flächenverbandals Vereinigung der Flächen anzusehen. Zum anderen ist es auch möglich,dass zwei Flächen einen ganzen zweidimensionalen Bereich gemeinsam haben,insbesondere wenn die Flächen in einer gemeinsamen Ebene liegen. Auch hier ist innaheliegender Weise eine Vereinigung der Flächen definierbar. Die beiden genanntenOperationen werden von MicroStation jeweils in Form der Befehle Flächen Vereinigenund Bereich erstellen - Vereinigung umgesetzt. In Kubos sollen sie zwecks einereinfachen Benutzeroberfläche mit dem Befehl Vereinigung durchführbar sein.Im Zusammenhang mit Kanten scheint vor allem eine Vereinigung von aneinanderanschließenden Kanten zu einer Kantenfolge ein in CAD-Systemen sinnvoll einsetzbaresund wichtiges Werkzeug zu sein. In MicroStation ist diese Funktionalität imWerkzeug Komplexe Kette erstellen umgesetzt. In Kubos soll sie wiederum durchden verallgemeinerten Vereinigungsbefehl durchführbar sein.3.5.2 DurchschnittDer Durchschnitt zweier Objekte kann in Analogie zur Vereinigung unmittelbar fürzwei Körper sowie für zwei komplanare Flächen definiert werden. In MicroStationsind entsprechende Funktionalitäten in den Befehlen Durchschnitt und BereichErstellen - Durchschnitt zu finden.Eine weitere Konstruktion, die im Rahmen dieses Befehls umgesetzt werden kann,ist das Bestimmen von Schnittpunkten. Dies schließt sowohl Schnittpunkte zwischenzwei Kurven als auch zwischen einer Kurve und einer Fläche ein. In vielen gängigenCAD-Programmen, wie MicroStation oder SketchUp, ist die explizite Konstruktionvon Schnittpunkten meist nicht notwendig, da die entsprechenden Punkte direktmittels Snapfunktion ausgewählt werden können. In Kubos wird diese Funktion allerdingsbenötigt, da der Geometriekern eine solche Snapfunktion für Schnittpunktenicht unterstützt.Weitere wünschenswerte Schnittoperationen sind das Bestimmen der Schnittkurvezweier Flächen sowie der Schnittfläche eines Körpers mit einer Fläche. Währenderstere in MicroStation unter der Funktion Trimmung erstellen - Schnittpunktkurveumgesetzt ist, fehlt die zweite in diesem Programm. Die beiden genannten Operationenkönnen im Geometrieunterricht insbesondere bei der Behandlung von ZylinderundKegelschnitten sinnvoll eingesetzt werden.3.5.3 DifferenzWie schon bei Vereinigung und Durchschnitt kann neben der Differenz von Körpernauch eine Differenz von komplanaren Flächen in naheliegender Weise definiert44

3.5 Boolesche OperationenAbbildung 3.5: Ebener Schnitt eines Drehzylinders, der in Kubos durch den BefehlDurchschnitt erstellt wurdewerden.Des Weiteren ist eine Verallgemeinerung des Befehls denkbar, der das Zerteilenvon Objekten ermöglicht. Als Beispiel betrachten wir hierzu eine Strecke s sowieeinen darauf liegenden Punkt P. In diesem Fall soll die Differenzbildung s\P darinresultieren, dass die Strecke am gegebenen Punkt aufgeteilt wird. Das Ergebnisdieser Operation sind also zwei Teilstrecken von s, die im Punkt P zusammentreffen.Das gleiche Resultat erhalten wir, wenn wir als zu subtrahierendes Objekt nichteinen Punkt, sondern etwa eine Kurve oder eine Fläche wählen, die die ursprünglicheStrecke in einem Punkt schneiden. Weitere mögliche Operationen sind das Aufteileneiner Fläche entlang einer Kurve oder einer anderen Fläche sowie das Aufspalteneines Körpers entlang einer Fläche.Wir wollen nun alle bisher genannten Operationen durch eine allgemeinere Beschreibungerfassen. Es seien also zwei geometrische Objekte A und B gegeben. Wir fassendiese im folgenden als Punktmenge auf, wobei wir die Punktmengen als abgeschlossenund zusammenhängend voraussetzen. Die neu definierte Differenzbildung geschiehtnun in folgenden Schritten:1. Man bildet die Differenz D der beiden Punktmengen, welche im allgemeinennicht mehr abgeschlossen und zusammenhängend sein wird.2. Man bildet die maximalen zusammenhängenden Teilmengen U i von D. Maximalsoll dabei heißen, dass keine dieser Teilmengen in einer noch größerenzusammenhängenden Teilmenge von D enthalten ist.3. Man bildet den Abschluss Ūi jeder Menge U i .Die resultierenden Mengen Ūi bilden das Ergebnis der neu definierten Differenzbildung.45

3.5 Boolesche OperationenBefehl in MicroStationBefehl in KubosVereinigungVereinigungDurchschnittDurchschnittDifferenzDifferenzBereich Erstellen - VereinigungVereinigungBereich Erstellen - DurchschnittDurchschnittBereich Erstellen - DifferenzDifferenzFlächen vereinigenVereinigungKomplexe Kette erstellenVereinigungElemente timmenDifferenzTrimmung erstellen - 1. FlächeDifferenzVolumenelement/Fläche mit linearem Element verschneiden DurchschnittTrimmung erstellen - SchnittpunktkurveDurchschnittTabelle 3.2: Diverse Befehle in MicroStation und die entsprechenden Befehle inKubos46

4 ImplementierungDas im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Programm wird auf der SoftwareplattformOpen CASCADE Technology (meist abgekürzt als Open CASCADE oder OCC)basieren, welche zum Entwickeln von CAD-Programmen dient. Open CASCADEbietet sowohl die benötigten geometrischen Algorithmen als auch Funktionalitätenzur Erstellung interaktiver Benutzeroberflächen. Es wurde ursprünglich Mitte derNeunzigerjahre unter dem Namen CAS.CADE entwickelt. Seit 1999 ist es unterdem derzeitigen Namen als Open-Source-Software verfügbar. Die Software wird vonder Firma OPEN CASCADE S.A.S. weiterentwickelt, die sich über den Verkaufvon Softwareerweiterungen sowie Kundenberatung und -unterstützung finanziert.Seit 2011 existiert auch eine von Freiwilligen überarbeitete Variante, die als OpenCASCADE Community Edition oder OCE bezeichnet wird. Diese basiert jeweilsauf der aktuellen Version von Open CASCADE und bietet diverse Verbesserungenund Fehlerbehebungen.Open CASCADE wird üblicherweise zusammen mit der Programmiersprache C++eingesetzt. Durch das pythonOCC Projekt ist es allerdings auch möglich, die Funktionalitätmit der Sprache Python zu nutzen. Python ermöglicht als dynamischeProgrammiersprache eine schnellere und einfachere Entwicklung. Abgesehen von derStandardschnittstelle zu Open CASCADE bietet pythonOCC einige weitere Pakete,die vereinfachte oder zusätzliche Funktionalitäten bereitstellen. Beispiele hierfürsind etwa eine vereinfachte Möglichkeit zur Objektdarstellung durch das Paket Displayoder erweiterte geometrische Konstruktionen durch das Paket Util. Das imRahmen dieser Arbeit erstellte Programm wurde auf Basis von pythonOCC Version0.5 entwickelt und ist für den Einsatz mit Python 2.6 und Python 2.7 unter Linuxund Windows konzipiert. Als grafisches Toolkit kommt Qt zum Einsatz. Für eineEinführung in das Arbeiten mit Python und Qt sei auf [Str06] verwiesen.4.1 DokumentationFür Open CASCADE sind drei Arten offizieller Dokumentation verfügbar. Die sogenannteOverview Documentation bietet generelle Erklärungen und Übungsbeispiele.Für bestimmte Themen werden diese Erklärungen in den User Guides vertieft. DieAPI-Dokumentation stellt indessen Hilfe zu den einzelnen Funktionen und Klassen inOpen CASCADE bereit. Die User Guides sind als PDF-Dokumente verfügbar, währenddie anderen beiden Teile der Dokumentation im HTML-Format bereitstehen.47

4.2 Grundobjekte und ObjekttypenAlle Teile der Dokumentation sind in den offiziellen Installationspaketen enthalten.Leider ist die verfügbare Dokumentation von eher schlechter Qualität. Während dieUser Guides einige Aspekte sehr detailliert beschreiben, lassen sie andere ganz aus.Es ist daher nicht möglich, mithilfe der Dokumentation ein vollständiges Bild überdie Bibliothek zu gewinnen. Auch die API-Dokumentation ist teilweise unvollständigund erklärt in vielen Fällen den Zweck verschiedener Funktionen und Optionen nurunzureichend.4.2 Grundobjekte und ObjekttypenDie in Abschnitt 1.2 beschriebenen geometrischen und topologischen Objekte werdenin Open CASCADE von Klassen in den Modulen gp und Geom sowie TopoDSrepräsentiert. Die ersten beiden Module dienen der Beschreibung der Geometrie,wobei geometrische Primitive in gp und parametrische Objekte in Geom zu findensind. Topologische Objekte wiederum finden sich in TopoDS. Diese und weitere Objekttypensind in Tabelle 4.1 aufgelistet.(a) geometrische ObjekteName Beschreibunggp_Pnt PunktGeom_Curve KurveGeom_Surface Fläche(b) topologische ObjekteNameBeschreibungTopoDS_Vertex EckeTopoDS_Edge KanteTopoDS_Wire KantenfolgeTopoDS_Face FlächenstückTopoDS_Shell FlächenverbandTopoDS_Solid KörperNamegp_Ax1gp_Vecgp_Dirgp_Ax2gp_Ax3gp_Trsf(c) sonstige ObjekteBeschreibungPfeilVektorRichtungAchsenkreuz (Rechtssystem)Achsenkreuz (beliebig)Affine TransformationTabelle 4.1: Ausgewählte Klassen in den Modulen gp, Geom und TopoDSEin Zugreifen von den topologischen auf die darunterliegenden geometrischen Objekteist mittels der Klassen BRep_Tool und TopExp_Explorer möglich. Die FunktionenBRep_Tool.Pnt, BRep_Tool.Curve und BRep_Tool.Face ermöglichen das direkteKonvertieren von Ecken, Kanten und Flächenstücken in die zugrundeliegenden48

4.3 Objektmodellierunggeometrischen Repräsentationsformen. Dies ist beispielsweise nötig, um auf die Koordinateneiner Ecke zuzugreifen, da die Klasse TopoDS_Vertex im Gegensatz zugp_Pnt diesen Zugriff nicht erlaubt. Um auf Unterobjekte, wie die Flächen einesKörpers oder die Teilkanten einer Kantenfolge zuzugreifen, kann die Klasse Top-Exp_Explorer verwendet werden.4.3 ObjektmodellierungUm nicht direkt mit der Geometrie oder Topologie einzelner Objekte arbeiten zumüssen, werden zum Erstellen geometrischer und topologischer Elemente meist Hilfsfunktionenverwendet, die beispielsweise direkt einen Kreisbogen oder einen Quadererstellen. In Tabelle 4.2 ist eine Auswahl an wichtigen Konstruktionsmöglichkeitenaufgelistet, die beschreibt, mit welchen Befehlen gewisse Objekte erstellt werden.Die Funktionsweise und Syntax einiger der aufgelisteten Funktionen wollen wir anzwei Beispielen erläutern. Sofern Python und die benötigten Bibliotheken OCC undQt installiert sind, kann der Leser diese Beispiele auch in einer interaktiven Pythonkonsoleselbst nachvollziehen. Das erste Beispiel zeigt das Erstellen eines Quaders.Es beinhaltet bloß zwei Befehle:from OCC import BRepPrimAPIquader = BRepPrimAPI . BRepPrimAPI_MakeBox ( 3 , 4 , 5 ) . S o l i d ( )In der ersten Zeile wird das Modul BRepPrimAPI geladen. Dieses stellt verschiedeneFunktionen zum Erstellen von Körpern zur Verfügung. In der zweiten Zeile wirdder Befehl BRepPrimAPI_MakeBox aus dem eben importierten Modul aufgerufen.Mithilfe dieses Befehls wird ein Quader mit den Abmessungen 3 × 4 × 5 erstellt. ZurPositionierung des Quaders hätten wir als weiteres Argument noch ein Achsenkreuzvom Typ gp_Ax2 übergeben können. Da wir dies nicht getan haben, wird der Quaderim Ursprung erstellt werden. Um nun den konstruierten Quader als Volumsmodellzu erhalten, rufen wir die Methode .Solid() auf. Eine Alternative wäre der Befehl.Shell(), welcher ein Flächenmodell in Form eines Flächenverbandes zurückgibt.In einem weiteren Beispiel wollen wir nun eine Kreisscheibe erstellen und positionieren:from OCC import gp , Geom, BRepBuilderAPImittelpunkt = gp . gp_Pnt ( 1 , 1 , 0)achsenrichtung = gp . gp_Dir ( 1 , 1 , 2)a x i s = gp . gp_Ax2( mittelpunkt , achsenrichtung )r a d i u s = 0 . 5kreis_curve = Geom . Geom_Circle ( axis , r a d i u s ) . GetHandle ( )kreis_edge = BRepBuilderAPI . BRepBuilderAPI_MakeEdge ( kreis_curve ) . Edge ( )kreis_wire = BRepBuilderAPI . BRepBuilderAPI_MakeWire ( kreis_edge ) . Wire ( )k r e i s s c h e i b e = BRepBuilderAPI . BRepBuilderAPI_MakeFace ( kreis_wire ) . Face ( )Die erste Zeile dient hier wieder dem Laden der benötigten Module. In diesem Beispielwerden die drei Module gp, Geom, und BRepBuilderAPI geladen. In der zweiten49

4.3 ObjektmodellierungBefehlBeschreibungBRepBuilderAPI_MakeVertex Ecke aus PunktBRepBuilderAPI_MakeEdge Kante aus allgemeiner KurveGC_MakeSegmentStrecke aus Anfangs- und EndpunktGeom_CircleKreis aus Achsenkreuz und RadiusGC_MakeArcOfCircle KreisbogenBRepBuilderAPI_MakeWire Kantenfolge aus einzelnen KantenBRepBuilderAPI_MakeFace Ebenes Flächenstück aus begrenzenderKantenfolgeBRepBuilderAPI_MakeFace Flächenstück aus Fläche und BegrenzungBRepBuilderAPI_MakeShell Flächenverband aus einzelnen FlächenBRepBuilderAPI_MakeSolid Körper aus begrenzendem FlächenverbandBRepPrimAPI_MakeSphere Kugel aus Mittelpunkt und RadiusBRepPrimAPI_MakeBox Quader aus Achsenkreuz undKantenlängenBRepPrimAPI_MakeCylinder Zylinder aus Achsenkreuz, Höhe undRadiusBRepPrimAPI_MakeCone Kegelstumpf aus Achsenkreuz, Höhe undRadienBRepPrimAPI_MakeTorus Torus aus Achsenkreuz und RadienBRepPrimAPI_MakePrism Extrusionskörper aus Profilfläche undVektorBRepPrimAPI_MakeRevol Drehkörper aus Profilfläche und Pfeil(Drehachse)BRepAlgoAPI_Common Durchschnitt zweier ObjekteBRepAlgoAPI_FuseVereinigung zweier ObjekteBRepAlgoAPI_CutDifferenz zweier ObjekteTabelle 4.2: Wichtige Funktionen zum Erstellen von Objektenund dritten Zeile werden der Mittelpunkt und die Achsenrichtung durch ihre dreiKoordinaten festgelegt. Aus diesen beiden Angaben wird ein Achsenkreuz erstellt,das zur Positionierung des Kreises dient. Bei diesem Achsenkreuz wird nur die Richtungder z-Achse angegeben. Sie wird die Kreisachse darstellen. Die Richtung deranderen Achsen ist für diese Anwendung nicht von Bedeutung und kann bei derErstellung des Achsenkreuzes weggelassen werden. In der sechsten Zeile wird mitdem Befehl Geom_Circle ein Kreis als Kurve durch die Angabe seiner Positionierungund seines Radius konstruiert. Anschließend wird auf dessen Basis zunächsteine Kante, dann eine aus dieser Kante bestehende Kantenfolge und anschließendein Flächenstück erstellt.50

4.4 Objektdarstellung4.4 ObjektdarstellungDie Darstellung von modellierten Objekten geschieht in OpenCASCADE mithilfeder Klassen V3d_Viewer, V3d_View und AIS_InteractiveContext. Diese Klassenstellen verschiedene Funktionalitäten bereit, die die Objektdarstellung und Ansichtssteuerungbetreffen. Beispielsweise können mit dem Befehl AIS_InteractiveContext.-Display() neue Objekte zur Ansicht hinzugefügt werden, mit V3d_View.SetZoom()kann die Vergrößerungsstufe um einen bestimmten Faktor geändert werden und derBefehl V3d_Viewer.setLightOn() dient dazu, eine Lichtquelle hinzuzufügen.Um eine einheitlichere Funktionsweise zu erreichen, werden wir in der Implementierungeine Klasse bereitstellen, die die wichtigsten Befehle zur Objektdarstellungund Ansichtssteuerung in einer vereinfachten Form bietet. Diese wird im Programmunter gui.viewer_3d zu finden sein. Die genannten Basisobjekte sind dabei als viewer_3d.context,viewer_3d.viewer und viewer_3d.view zugänglich und können fürerweiterte Funktionen direkt verwendet werden. Die wichtigsten Befehle im Zusammenhangmit der Ansichtssteuerung sind in Tabelle 4.3 aufgelistet.Befehlviewer_3d.eye =BeschreibungSetzen der Kameraposition (Drehen der Kameraum den Ursprung)Verschieben der KameraSetzen des VergrößerungsfaktorsSetzen der aktiven Ebene (Rasterebene)Aktivieren / Deaktivieren des Rastersalle angezeigten Objekte neu darstellenAnzeigen eines geometrischen ObjektsEntfernen eines angezeigten ObjektsHinzufügen einer LichtquelleAnsichtstyp festlegen (mögliche Werte sind’wireframe’ und ’shaded’)Tabelle 4.3: Wichtige Befehle zur Ansichtssteuerungviewer_3d.pan(...)viewer_3d.zoom =viewer_3d.active_plane =viewer_3d.grid =viewer_3d.repaint0()viewer_3d.display_shape(...)viewer_3d.erase_shape(...)viewer_3d.add_light(...)viewer_3d.view_mode =Ein Beispiel soll den Einsatz dieser Befehle zeigen.from math import pi , sin , cosfrom gui import viewer_3dfrom OCC import BRepPrimAPIquader = BRepPrimAPI . BRepPrimAPI_MakeBox ( 3 , 4 , 5 ) . S o l i d ( )viewer_3d . display_shape ( quader )viewer_3d . view_mode = ’ shaded ’viewer_3d . zoom = 1viewer_3d . g r i d = FalseN = 4051

4.5 Dokumentefor i in range (N) :phi = i /N ∗ pi + pi /6viewer_3d . eye = [ s i n ( phi ) , cos ( phi ) , phi / 5 ]viewer_3d . zoom ∗= 1 .05Die ersten drei Zeilen dienen hier wieder dem Importieren aus vorhandenen Modulen.In der fünften Zeile wird wie im ersten Beispiel ein Quader erstellt. Dieser wirddurch den nächsten Befehl im 3D-Ansichtsbereich dargestellt. Anschließend wirdder Ansichtsmodus auf schattiert (shaded) und die Vergrößerungsstufe auf 1 gestellt.Weiters wird das Koordinatenraster deaktiviert.Der Rest des gezeigten Codes demonstriert, wie auf einfache Weise eine Kamerafahrterstellt werden kann. Die Kamera soll sich dabei auf einer Schraublinie um die z-Achse bewegen und dabei auf das dargestellte Objekt heranzoomen. Umgesetzt wurdedie Kamerafahrt mittels einer Schleife. Die Variable i durchläuft dabei die Werte0 bis N-1. Bei jedem Schritt wird dabei der Wert phi als aktueller Kurvenparameterbestimmt und die Kameraposition entsprechend gesetzt. Der Vergrößerungsfaktorwird in jedem Schritt um 5% erhöht.(a) (b) (c)Abbildung 4.1: Drei Szenen aus der resultierenden Animation4.5 DokumenteBeim Modellieren mit einem CAD-Programm treten neben dem eigentlichen Modelloft auch andere geometrische Objekte auf, die in der 3D-Szene dargestellt werden.Beispiele hierfür sind etwa Achsenkreuze, Gitternetze oder die Konstruktionsvorschau.Diese müssen oft separat behandelt werden und sollten etwa von Aktionenwie rückgängig Machen von Modellierschritten oder Speichern von Modellen ausgenommensein. Zu diesem Zweck werden in Open CASCADE alle zu einem Modellgehörenden Objekte in einem sogenannten Dokument zusammengefasst. Aktionenwie die oben genannten wirken sich dann nur auf die zum Dokument gezähltenObjekte aus.Ein Dokument ist in Open CASCADE baumförmig strukturiert. Jedes Objekt ineinem Dokument wird eindeutig durch eine Folge natürlicher Zahlen identifiziert.52

4.5 DokumenteDiese sogenannten Labels beginnen immer mit einer 0. Jedes Label kann mehreresogenannte Attribute besitzen, in denen die eigentlichen Daten, wie Geometrie,Positionierung und Farbe eines Objekts gespeichert werden können. Beispielsweisekönnte ein einfaches Modell eines Tisches innerhalb eines Dokuments das Label0:1 besitzen und auf die Tischplatte und die Tischbeine als Unterobjekte verweisen.Diese würden dann mit den Labels 0:1:1 bis 0:1:5 bezeichnet.Innerhalb von Kubos ist das aktuell geöffnete Dokument unter doc.doc_ctrl zu finden.Die wichtigsten Befehle für das Arbeiten mit diesem sind in Tabelle 4.4 aufgelistet.BefehlBeschreibungdoc_ctrl.open_command() Beginnt einen neuen Befehl, welcher als ganzesrückgängig gemacht werden kanndoc_ctrl.undo()Macht den letzten Befehl rückgängigdoc_ctrl.redo()Stellt den zuletzt rückgängig gemachten Befehlwieder herdoc_ctrl.add()Fügt ein Objekt zu dem Dokument hinzudoc_ctrl.remove() Entfernt ein Objekt aus dem Dokumentdoc_ctrl.set_color() Setzt die Farbe eines Objekts des Dokumentsdoc_ctrl.open()Öffnet eine vorhandene Datei im STEP-Formatdoc_ctrl.save()Speichert das Dokument im STEP-FormatTabelle 4.4: Befehle zum Arbeiten mit dem geöffneten DokumentWieder soll ein Beispiel die Nutzung verdeutlichen.from doc import doc_ctrlfrom OCC import BRepPrimAPIquader = BRepPrimAPI . BRepPrimAPI_MakeBox ( 3 , 4 , 5 ) . S o l i d ( )kugel = BRepPrimAPI . BRepPrimAPI_MakeSphere ( 2 ) . S o l i d ( )with doc_ctrl . open_command ( ) :doc_ctrl . add ( quader )doc_ctrl . s e t _ c o l o r ( quader , [ 0 , 1 , 0 ] )with doc_ctrl . open_command ( ) :doc_ctrl . add ( kugel )doc_ctrl . s e t _ c o l o r ( kugel , [ 1 , 0 , 0 ] )doc_ctrl . save ( ’demo . stp ’ )Nach dem Importieren der benötigten Module werden in dem Code ein Quader undeine Kugel erstellt. Anschließend werden nacheinander zwei Befehle begonnen, durchdie der Quader und die Kugel zum Dokument hinzugefügt und mit einer Farbe versehenwerden. Diese Aktionen könnten durch Aufrufen von doc_ctrl.undo() wiederrückgängig gemacht werden. Die Gruppierung unter dem Befehl open_command()bewirkt dabei, dass jeweils zwei Aktionen gleichzeitig rückgängig gemacht würden.Das einmalige Aufrufen des Befehls würde also nicht nur die Farbe der Kugel zurücksetzen,sondern auch die Kugel wieder aus dem Dokument entfernen. Der letzte53

4.6 WerkzeugeBefehl bewirkt das Speichern des Modells unter dem Namen demo.stp. Bei diesemBefehl ist Vorsicht geboten, da eventuell existierende Dateien überschrieben werden.4.6 WerkzeugeKubos ist so konzipiert, dass eine einfache Erweiterung möglich ist. Neue Werkzeugeund Aktionen können durch das Schreiben einfacher Skripts erstellt werden. ImFolgenden wollen wir dies am Beispiel des Werkzeugs zum Erstellen von Streckenerläutern.Neue Werkzeuge lassen sich im Programmordner tools hinzufügen. Dies geschiehtentweder durch Ergänzungen an bestehenden Skriptdateien oder durch das Erstellenneuer Dateien. Die Werkzeuge müssen dabei als Unterklassen der Klasse Toolerstellt werden und in der Liste am Ende des Skripts beinhaltet sein. Die Methoden__init__ und preview müssen in der Unterklasse neu implementiert werden. EinWerkzeug für das Zeichnen von Strecken hat damit die folgende Struktur:class Segment ( Tool ) :def __init__ ( s e l f ) :. . .def preview ( s e l f , input , d i r e c t i o n ) :. . .l i s t = [ Segment ( ) ]Dabei dient die Methode __init__ dem Initialisieren des Werkzeugs, während mitpreview die Vorschau für die aktuelle Eingabe erstellt wird. Wird eine Eingabe akzeptiert,so wird die aktuelle Vorschau dem Dokument hinzugefügt. Die Variable list,die am Ende des Skripts zu finden ist, listet alle im Skript definierten Werkzeuge auf.Damit das Modul in das Programm geladen werden kann, ist außerdem ein Eintragin der Datei actions/modules.py notwendig. Um beim Programmstart automatischgeladen zu werden, muss am Ende der Programmhauptdatei (__main__.py) einentsprechender Befehl stehen.Wir werden nun den Inhalt der Methoden __init__ und preview näher betrachten.def __init__ ( s e l f ) :Tool . __init__ ( s e l f )s e l f . menu = [ ’&P r i m i t i v e s ’ , ’ Se&gment ’ ]s e l f . s t e p s = 2s e l f . input_types = [ ’ point ’ , ’ point ’ ]s e l f . help = [ ’ Enter the s t a r t point ’ , ’ Enter the end point ’ ]s e l f . icon = ’ cad−segment ’s e l f . s h o r t c u t = ’ Ctrl+G’s e l f . r e s e t ( )Die Methode __init__ dient zum Initialisieren des Werkzeugs. Sie muss zumindestdie Attribute menu, steps und input_types setzen. Dabei gibt menu den Eintrag54

4.7 Programmstruktur und Überblickin der Menüzeile von Kubos an und step bestimmt die Anzahl der Schritte fürdie Konstruktion. Die Art der benötigten Eingabe für jeden Schritt wird durch dieEinträge in input_types bestimmt, welche entweder den Wert ’point’ oder ’object’haben können. Die optionalen Attribute help, icon und shortcut bestimmen jeweilsden in der Statuszeile erscheinenden Hilfetext, den Namen des Werkzeugicons unddas Tastenkürzel zum Aktivieren des Werkzeugs. Am Ende der Methode muss dasWerkzeug mit dem Befehl reset in den Anfangszustand versetzt werden.Im Beispiel des Streckenwerkzeugs soll der Menüeintrag unter Primitives/Segmentzu finden sein. Die unterstrichenen Buchstaben stellen dabei Tastenkürzel dar, dieüber die Platzierung des &-Zeichens festgelegt werden. Die Konstruktion geht inzwei Schritten vor sich, wobei in beiden Schritten ein Punkt eingegeben werden soll.def preview ( s e l f , input , d i r e c t i o n ) :i f s e l f . step == 0 :s e l f . previous_data = [ input ]return [ BRepBuilderAPI . BRepBuilderAPI_MakeVertex ( input ) . Shape ( ) ]e l i f s e l f . step == 1 :point0 = s e l f . previous_data [ 0 ]i f point0 == input :raise I n v a l i d I nputExceptiona = GC. GC_MakeSegment( input , point0 ) . Value ( )s e l f . f i n a l = [ BRepBuilderAPI . BRepBuilderAPI_MakeEdge ( a ) . Shape ( ) ]return s e l f . f i n a lDie Funktion preview unterscheidet anhand der Variablen step, in welchem der beidenSchritte zur Eingabe sich das Programm befindet. Beim ersten Schritt wirdeine aus dem ersten Eingabepunkt erstellte Ecke als Vorschauobjekt zurückgegeben.Weiters wird der Eingabepunkt in previous_data zur späteren Verwendung abgespeichert.Beim zweiten Schritt wird der zuvor eingegebene Punkt wieder abgerufen.Ist dieser mit dem neuen Eingabepunkt identisch, so kann aus der Eingabe keineStrecke erstellt werden. Der Befehl raise InvalidInputException bewirkt, dass dieEingabe vom Programm als unzulässig erkannt und nicht akzeptiert wird. Wurdenzwei verschiedene Punkte eingegeben, so wird eine Strecke erstellt und als Vorschauzurückgegeben. Zuvor wird sie allerdings noch unter der Bezeichnung final abgespeichert.Das hier abgespeicherte Objekt wird abgerufen, wenn die letzte Eingabeakzeptiert wurde. Es ist meistens identisch mit der letzten Vorschau, dies ist abernicht immer der Fall, da die Vorschau oft auch weitere Konstruktionsobjekte beinhaltenkann.4.7 Programmstruktur und ÜberblickAbschließend soll hier ein Überblick über die Struktur des entstandenen Programmsgeboten werden. Einige der hier beschriebenen Komponenten wurden dabei bereitszuvor in diesem Kapitel behandelt.55

4.7 Programmstruktur und ÜberblickDatei / Ordner__main__.pydoc.pydata.pygui.pyactive_tool.pytools/actions/lib/BeschreibungHauptskriptaktives Dokumentprogrammweite DatenElemente der grafischen Oberflächeaktives Werkzeugverfügbare Werkzeugeallgemeine vom Benutzer setzbare AktionenAnpassungen und Ergänzungen der verwendeten BibliothekenTabelle 4.5: ProgrammstrukturDie Datei __main__.py stellt das Hauptsktipt dar, welches zum Starten von Kubosausgeführt wird und die grafische Oberfläche sowie die benötigten Module lädt. Mithilfevon doc.py kann auf das aktuell geöffnete Dokument zugegriffen werden, wasin Abschnitt 4.5 beschrieben wurde. Das Modul data.py enthält programmweite Daten,wie den Dateinamen oder die aktuelle Eingabe. Weiters stellt gui.py die gesamtegrafische Benutzeroberfläche bereit, wozu insbesondere auch der in Abschnitt 4.4 behandelte3D-Ansichtsbereich (viewer_3d) gehört. Sämtliche Werkzeuge zum Erstellenund Ändern geometrischer Objekte finden sich im Ordner tools. Neue Werkzeugekönnen dabei wie in Abschnitt 4.6 beschrieben erstellt werden, wobei diese auf dieModellierfunktionen aus Abschnitt 4.3 zugreifen. Analog zu Werkzeugen kann dasProgramm auch um andere Aktionen erweitert werden, welche im Ordner actionszu finden sind. Diese können beispielsweise die Ansichtssteuereung oder das Öffnenund Speichern von Dateien betreffen. Schließlich enthält der Ordner lib hauptsächlichangepasste und ergänzte Komponenten der beiden verwendeten Bibliotheken Qtund OCC.56

5 SchlussbemerkungenIm Rahmen dieser Arbeit wurde mit Kubos ein neues CAD-Programm entwickelt,wobei das Ziel verfolgt wurde, einen sinnvollen Einsatz im Geometrieunterricht zuermöglichen. Abschließend stellt sich damit natürlich die Frage, inwieweit dieses Zielerreicht wurde und inwiefern sich Kubos diesbezüglich von anderen im Geometrieunterrichtgebräuchlichen Programmen unterscheidet.Zum einen ist hier die exakte Repräsentation von Modellen in Kubos zu nennen. Diesestellt einen wesentlichen Unterschied zu Programmen wie CAD-3D und Sketch-Up dar, in welchen gekrümmte Kurven und Flächen nur approximativ beschriebenwerden, und ermöglicht damit ein genaues Konstruieren. Eine weitere Besonderheitvon Kubos ist dessen einfache Benutzeroberfläche. Es orientiert sich damit anSketchUp und steht im Kontrast zu GAM und MicroStation, welche eine große Füllevon Werkzeugen bereitstellen. Einerseits aufgrund dieser Ausrichtung, andererseitsaufgrund des frühen Entwicklungsstadiums, verfügt Kubos verglichen mit anderenProgrammen über einen reduzierten Funktionsumfang. Wesentliche Teile, wie einWerkzeug zum Erstellen von Streckenzügen oder Benutzerkoordinatensysteme, fehlennoch. Jedoch können derartige Werkzeuge durch die Erweiterbarkeit von Kubosdem Programm mit relativ geringem Aufwand hinzugefügt werden. Ein wesentlicherMotivationsgrund für die Entwicklung von Kubos war auch, ein Softwarepaket zurVerfügung zu stellen, welches kostenloses ist. Dadurch soll den Schülern auch nachnach Abschluss des Geometrieunterrichts ein weiteres Verwenden des CAD-Systemsmöglich sein. Es wird damit der oft zitierten Forderung nachgekommen, dass Schülernicht für die Schule, sondern für das Leben lernen sollen: „Non scholae, sed vitaediscimus“.57

Schlussbemerkungen58

Literaturverzeichnis[BX92][Far94][Hav05][Hof92][PAHK10]Chandrajit L. Bajaj and Gualiang Xu. Nurbs approximation of surface/-surface intersection curves. Technical report, Department of ComputerScience, Purdue University, 1992.Gerald Farin. Kurven und Flächen im Computer Aided Geometric Design.vieweg, 1994, http://www.worldcat.org/oclc/315749265.Sven Havemann. Generative Mesh Modeling. PhD thesis, Carl-Friedrich-Gauß-Fakultät für Mathematik und Informatik, Technische UniversitätBraunschweig, 2005.Christoph M. Hoffmann. Geometric and Solid Modeling. 1992, http://www.cs.purdue.edu/homes/cmh/distribution/books/geo.html.Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, and Axel Kilian.Architekturgeometrie. SpringerWienNewYork, 2010.[PMKM93] N. M. Patrikalakis, T. Maekawa, K. H. Ko, and H. Mukundan. Surfaceto surface intersections. Computer Graphics and Applications, IEEE,13: 89 – 95, 1993, http://www.cadanda.com/v1nos1to4_51.pdf.[PRS02][PT96][RT78]Markus Pfeifer, Wolfgang Rath, and Hellmuth Stachel. Handbuch zuCAD-3D für Windows, 2002.Les Piegl and Wayne Tiller. The NURBS Book. Springer, 2nd edition,1996.Aristides A. Requicha and R. B. Tilove. Mathematical foundations ofconstructive solid geometry: General topology of closed regular sets.1978.[RV84] Aristides A. Requicha and Herbert B. Voelcker. Booleanoperations in solid modelling: Boundary evaluation and mergingalgorithms. 1984, https://urresearch.rochester.edu/fileDownloadForInstitutionalItem.action?itemId=990&itemFileId=1173.[Sei93][Str06]Hans-Peter Seidel. An introduction to polar forms. Computer Graphicsand Applications, IEEE, 13: 38 – 46, 1993, http://www.cs.uiuc.edu/class/sp06/cs419/polarforms.pdf.Ian Stroud. Boundary Representation Modelling Techniques. Springer-Verlag London Limited, 8th edition, 2006, http://www.worldcat.org/oclc/315749265.59

Literaturverzeichnis[Sum10]Mark Summerfield. Rapid GUI Programming with Python and Qt. PrenticeHall, 2010, http://www.qtrac.eu/pyqtbook.html.60