Mechanik - Humboldt-Universität zu Berlin

Auf der rechten Seite bleibt also nur der dissipative Anteil übrig. Falls es keinedissipativen Kräfte gibt (F dissn = 0), gilt der EnergieerhaltungssatzT + V = E = const t . (160)Wenn man die (konservativen) Kräfte in äußere Kräfte und innere Paarkräftezerlegen kann, alsoF n = F exn + ∑ F nm (161)nmitF exn= −∇ rn V exn (r n ) , F nm = −∇ rn V nm (|r n − r m |) , (162)dann ergibt sich für das gesamte PotenzialV (r 1 , . . . r N ) = ∑ nV exn (r n ) + 1 2∑V nm (|r n − r m |) . (163)Der Faktor (1/2) berücksichtigt, dass bei der Gradienten-Bildung jeder AnteilV nm nur einmal vorkommen darf. Außerdem muss man V nn ≡ 0 vereinbaren,weil der Massenpunkt bei r n keine Kraft auf sich selbst ausüben darf.nm1.8.1 ZweikörperproblemWir wenden die allgemeinen Betrachtungen auf ein System aus zwei Massenpunktenan (Zweikörperproblem). Hier ist es sinnvoll, neben dem SchwerpunktR = (m 1 r 1 + m 2 r 2 )/M die Relativkoordinate r = r 1 − r 2 einzuführen, wasaufgelöstr 1 = R + m 2M r , r 2 = R − m 1M r (164)ergibt. Die beiden gekoppelten Bewegungsgleichungenergeben addiert wie schon zuvorDurch Subtraktion erhalten wir¨r =m 1 ¨r 1 = F ex1 + F 12 (165)m 2 ¨r 2 = F ex2 − F 12M ¨R = F ex1 + F ex2 . (166)1m 1F ex1 − 1 m 2F ex2 +( 1m 1+ 1 m 2)F 12 . (167)Mit der reduzierten Massekönnen wir auch1µ = 1 + 1 , µ = m 1m 2m 1 m 2 M(168)µ ¨r = m 2M Fex 1 (r 1 ) − m 1M Fex 2 (r 2 ) + F 12 (r) (169)26