Mechanik - Humboldt-Universität zu Berlin

1 Klassische Mechanik1.1 Grundbegriffe, KoordinatensystemeIn der Mechanik wird die Bewegung von massiven Objekten unter der Wirkungvon Kräften untersucht. Wenn interne Bewegungen bzw. Deformationenunwichtig sind, kann man ein solches Objekt als Massenpunkt idealisieren, derdie Masse m besitzt. Die Hauptaufgabe der Mechanik von Massenpunkten bestehtin der Bestimmung der Bahnkurve(n) r(t) aus den Anfangsbedingungenund den Kräften. Die Geschwindigkeit v(t) des Massenpunktes ist durch denDifferentialquotientengegeben, also ebenfalls ein Vektor.r(t + ∆) − r(t)v(t) = lim= d r(t) ≡ ṙ(t) (1)∆→0 ∆ dtEin Vektor besitzt Betrag und Richtung, er muss invariant gegenüber einerGalilei-Transformation sein, die eine gleichförmige Verschiebung des Koordinatensystemsohne Drehung beschreibt:S → S ′r → r ′ + VtIn diese Klasse gehören Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung...Ein Skalar ist dagegen eine reelle (oder evtl. komplexe) Größe, die invariantgegen jede Transformation ist, wie z.B. die Masse (m = m ′ ) oder die Temperatur.In der (nichtrelativistischen) Mechanik ist der Raum homogen und isotrop,die Zeit verläuft kontinuierlich und homogen. Daraus lässt sich folgern, dassdie Gesetze der Klassischen Mechanik forminvariant sein müssen sowohl gegenKoordinatentransformationen als auch Zeitverschiebungen.KoordinatensystemeEs sei an das Skalarprodukt von Vektoren erinnert:a · b = |a| |b| cos φ a,b , (2)wobei φ a,b der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Zwei Vektoren stehenaufeinander senkrecht (sind orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt verschwindet:a · b = 0 : a ⊥ b (3)Jedes Koordiatensystem ist durch Angabe eines Satzes orthogonaler Vektorender Länge 1 definiert - das sind die Einheitsvektoren:e j · e k = δ jk . (4)Im dreidimensionalen Raum laufen j und k über drei Werte. Diese Einheitsvektorenkönnen auch vom Ort abhängen - es ist nur wichtig, dass sie lokal einorthogonales Dreibein bilden.3