Mechanik - Humboldt-Universität zu Berlin

2.3 Hamilton-FormalismusDie generalisierten Koordinaten spannen eien S-dimensionalen Konfigurationsraumauf, in dem die (q 1 . . . q S ) = q als Vektoren betrachtet werden. Wennq(t) eine beliebige Bahnkurve in diesem Raum ist, kann man mit Hilfe derLagrange-Funktion das WirkungsintegralS [q] =∫ t2t 1L (q(t), ˙q(t), t) dt (261)bilden (es hat tasächlich die Dimension einer Wirkung = Energie mal Zeit). Esgilt dann das Hamilton-Prinzip: Die tasächliche Bahn macht das Wirkungsfunktionalextremal! Den Beweis führen wir durch Ausführen einer Variationδq, δ ˙q unter Festhalten der Endpunkte q(t 1 ), q(t 2 ) (ab jetzt lassen wir das Vektorzeichenauf den q, ˙q wieder weg):∫ t2( )∂L ∂LδS = δq +∂q ∂ ˙q δ ˙q dt , (262)t 1wobei δ ˙q = d(δq(t))/dt zu verstehen ist. Der zweite Term wird partiell umgeformt,∫ t2∣∂L d ∂L ∣∣∣t 2∫ t2( )δq dt =t 1∂ ˙q dt ∂ ˙q δq d ∂L−δq dt . (263)t 1 t 1dt ∂ ˙qDer erste Term verschwindet, weil an den Endpunkten keine Variation erfolgt:δq(t 1 ) = δq(t 2 ) = 0. Im Endergebnis∫ t2[ ∂LδS =∂q − d ( )] ∂Lδq dt (264)dt ∂ ˙qt 1muss der Integrand überall identisch verschwinden, weil die δq unabhängiggewählt werden können. Das ist aber gerade die Lagrange-Gleichung, auf dertatsächlichen Bahn gilt alsod ∂Ldt ∂ ˙q − ∂L = 0 ⇒ δS = 0 . (265)∂qDieses (integrale) Euler-Lagrange-Variationsverfahren ist alternativ zur differentiellenForm der Bewegungsgleichungen!Um einen weiteren Erhaltungssatz (meist für die Energie) zu gewinnen, bildenwir das Differential der Lagrange-Funktion L(q, ˙q, t):dL = ∂L ∂L ∂Ldq + d ˙q + dt (266)∂q ∂ ˙q ∂t= ṗ dq + p d ˙q + ∂L dt , (267)∂twobei wir den verallgemeinerten Impulse p = ∂L/∂ ˙q verwendet haben. DieZeitableitung erhalten wir durch Division mit dtdLdt∂L= ṗ ˙q + p ¨q +∂t = d ∂L(p ˙q) +dt ∂t . (268)42