Vortrag Jaekel, Mikut, Malberg, Bretthauer

Datenbasierte Regelsuche fur Fuzzy-Systeme
mittels baumorientierter Verfahren
Jens Jakel, Ralf Mikut, Hagen Malberg, Georg Bretthauer
Forschungszentrum Karlsruhe GmbH,
Institut fur Angewandte Informatik
Postfach 3640, D-76021 Karlsruhe
Tel.: 07247/82-5736, Fax: 07247/82-5785,
E-Mail: jaekel@iai.fzk.de
Kurzfassung: Der Beitrag gibt zunachst einen Uberblick uber Verfahren zur datengestutzten
Regelsuche. Dabei liegt der Schwerpunkt auf baumorientierten Methoden,
die sich zur Generierung von Fuzzy-Regeln nutzen lassen. Im zweiten Teil wird ein Algorithmus
naher vorgestellt. Dieser beinhaltet die Induktion eines Entscheidungsbaums
und seine Transformation in Fuzzy-Regeln. Er bildet den Ausgangspunkt fur die Generierung
und Bewertung neuer, generalisierender Regelhypothesen, aus denen abschlie end
kooperierende Regeln zu einer Regelbasis zusammengestellt werden. Die Darstellung des
Algorithmus bezieht als Beispiel die Regelgenerierung fur eine medizinische Diagnoseaufgabe
ein.
1 Einfuhrung
Fuzzy-Systeme werden { z. B. als Fuzzy-Modell oder Fuzzy-Regler { insbesondere bei komplexen,
nichtlinearen Prozessen eingesetzt. Dabei besteht eine wesentliche Motivation darin,
dem Anwender Einblick in die Problemlosung zu geben. Dazu mu die Regelbasis des
Fuzzy-Systems aus verstandlichen und signi kanten Regeln bestehen und eine bestimmte
Approximations- bzw. Klassi kationsgute aufweisen. Verfahren zum automatischen, datengestutzten
Generieren einer solchen Regelbasis stellen seit einigen Jahren einen intensiv
bearbeiteten Forschungsschwerpunkt dar [1].
Eine Regelbasis kann zum einen unmittelbar in der Menge moglicher Regelbasen gesucht
werden. Ein alternatives Vorgehen besteht in der Suche von guten Regeln und
dem Kombinieren geeigneter Regeln zu einer Regelbasis. Dabei besteht das Problem in
dem zweckma igen Generieren von Hypothesen und ihrer Bewertung. Bei praktischen
Aufgabenstellungen ist das vollstandige Durchsuchen des Hypothesenraums unmoglich,
weswegen verschiedene Suchstrategien zum Einsatz kommen. Diese konnen ihrem Wesen
nach heuristisch, probabilistisch (Evolutionare Algorithmen) oder systematisch (induktives
Lernen) sein. Daruber hinaus bilden Clustertechniken die Grundlage von Regelgenerierungsverfahren
[2, 3], auf die hier nicht weiter eingegangen wird.
Insbesondere die Methoden des Maschinellen Lernens [4] bilden eine Grundlage fur e ziente
Suchstrategien. Sie haben deshalb, vor allem in Form der baumorientierten Verfahren,
zunehmend Verbreitung bei der Fuzzy-Regelgenerierung gefunden. Innerhalb des Maschinellen
Lernens wiederum hat die Theorie der Fuzzy-Mengen zur Behandlung der Unscharfe
linguistischer Ausdrucke und der Unsicherheit von Daten Akzeptanz erlangt (s. z. B. [5, 6]).
Schwerpunkt dieses Beitrags bildet die Vorstellung eines Regelsuchverfahrens fur Fuzzy-
Systeme, das die E zienz der Induktion von Entscheidungsbaumen zum Generieren von
Regelhypothesen nutzt. Diese dienen als Ausgangspunkt fur das Aufstellen generalisierter
Regelhypothesen. Die Verallgemeinerungen betre en die Struktur der Pramissen (auftretende
Eingangsgro en) und die linguistischen Terme (Bilden von modi zierten Termen).
Die Bewertung der Hypothesen berucksichtigt die verschiedenen Anforderungen

(Modellgute, Transparenz, Signi kanz). Ein Vorteil dieses Vorgehens gegenuber dem Generalisieren
des Entscheidungsbaums besteht darin, nichtoptimale Entscheidungen uber
die Aufteilung in einem Knoten aufheben zu konnen. Aus der Menge der generierter Regeln
werden schlie lich diejenigen gewahlt, deren kooperatives Zusammenwirken in einer
Regelbasis die beste Gesamtgute ergibt.
Ziel der Arbeit ist es,
zunachst einen Uberblick uber Verfahren zur Regelsuche zu geben, wobei eine Konzentration
auf Verfahren des Maschinellen Lernens erfolgt, und
ein baumorientiertes Verfahren vorzustellen, wozu eine Anwendung aus der medizinischen
Diagnose herangezogen wird.
2 Uberblick uber Verfahren zur datenbasierten Regelsuche
Datenbasierte Regelsuchverfahren gehen von einer Menge von Beispielen B =
fx[k];y[k] j k = 1;::: ;Ng aus, wobei vorausgesetzt wird, da die Beispiele u. U. mit
Storungen uberlagerte Realisierungen einer unbekannten Funktion y = f(x) sind. Die
Eingangsgro en x und die Ausgangsgro e y konnen nominale (kategorische), ordinale oder
numerische Variable sein. Die Aufgabe besteht darin, eine regelbasierte Beschreibung bzw.
Approximation dieser Funktion f zu nden.
Ist y eine nominale oder ordinale Variable, wird i. allg. von einem Klassi kationsproblem
gesprochen. Anwendungen nden sich z. B. bei Diagnose, der Entscheidungs ndung
oder der Mustererkennung. Aufgabenstellungen mit numerischen y werden zumeist
als Regressions- bzw. Approximationsprobleme bezeichnet. Entsprechende Anwendungen
sind z. B. Pradiktionsmodelle oder Reglerfunktionale.
Bei der o. g. Aufgabenstellung bestehen zusatzlich bestimmte Anforderungen, zu denen
die Verstandlichkeit der Einzelregeln,
die Transparenz ihres Zusammenwirkens,
die Genauigkeit der Approximation von f,
ein niedriger Aufwand zur Speicherung und Auswertung der Regeln,
ein niedriger Me aufwand fur die in den Regelpramissen auftretenden Variablen
gehoren. Diese Anforderungen schlagen sich zum einen in einem Vorzugskriterium bez. des
Suchraums nieder, z. B. durch Beschrankung auf bestimmte Formen von Regeln oder auf
Regeln mit einer festgelegten maximalen Anzahl von Partialpramissen und zum anderen in
der Bewertung der Hypothesen. Dabei kann z. B. die Bevorzugung allgemeinerer Regeln,
die Bevorzugung klarerer Regeln oder eine Kombination beider zugrunde liegen.
Stellen die Hypothesen komplette Regelbasen dar, wird im Kontext sog. Classi er Systems
hau g vom Pittsburgh-Ansatz [7] gesprochen. Hier soll dieser Fall als direkter Zugang
bezeichnet werden. Im Unterschied dazu bilden beim Michigan-Ansatz einzelne Regeln
die Hypothesen [8]. Dieser Ansatz wird im folgenden indirekter Zugang genannt.
Beim direkten Zugang, bei dem i. allg. globale Gutema e angewendet werden, besteht das
Problem, die Qualitat einzelner Regeln nicht bewerten zu konnen. Das kann dazu fuhren,
da sich fehlerhafte Einzelregeln in ihren Auswirkungen kompensieren und so trotzdem ein
gutes Approximationsverhalten ergeben, was die Interpretierbarkeit der Regeln reduziert.
Au erdem ist der Suchraum wegen der gro en Anzahl moglicher Hypothesen sehr gro .

Der Suchraum beim indirekten Zugang ist deutlich kleiner. Da sich die Bewertung bei
der Regelsuche zunachst auf die einzelnen Regeln bezieht, besteht die Notwendigkeit, ihr
Zusammenwirken in der Regelbasis ahnlich wie beim direkten Zugang zu bewerten. Zudem
ist meist nur ein Teil des Eingangsraums durch die Regeln abgedeckt.
Im Suchraum von Regelhypothesen besteht eine Halbordnung:
Eine Regelhypothese ist spezi scher als eine andere, wenn aus der Erfulltheit der zweiten
Pramisse die der ersten folgt. Bei Regelbasen als Hypothesen la t sich eine vergleichbare
Halbordnung angeben.
Damit konnen zwei prinzipielle Suchrichtungen unterschieden werden:
Neue Hypothesen konnen Spezialisierungen oder Verallgemeinerungen zuvor akzeptierter
Hypothesen sein. Spezialisierung bedeutet, da die Suche vom Allgemeinen zum Speziellen
erfolgt, bei Verallgemeinerungen wird die umgekehrte Suchrichtung verfolgt.
Ausgehend von einer Menge von Anfangshypothesen, diese kann z. B. aus einer initialen
Regelbasis (direkter Zugang), der allgemeinsten Regel mit " leerer\ Pramisse oder aus den
speziellsten mittels der Beispiele aufstellbarer Regeln (indirekter Zugang) bestehen, werden
sukzessive neue Hypothesen generiert, bewertet und entsprechend akzeptiert oder verworfen.
Fur das Aufstellen neuer Hypothesen kommen verschiedene heuristische, probabilistische
und induktive Strategien in Frage. Tabelle 1 zeigt eine Einteilung ausgewahlter
Verfahren zur Regelgenerierung fur Fuzzy-Systeme entsprechend der beiden Zugange sowie
der Suchstrategien.
heuristisch
probabilistisch
Induktion
ASMOD [9, 10]
GA-basierter Entwurf
direkter Zugang indirekter Zugang
von Fuzzy-Reglern [12]
hierarchischer Fuzzy-Systeme [13]
strukturierter Fuzzy-Systeme [14]
von Neuro-Fuzzy-Systemen mit
SMOG [15, 16]
Fuzzy-CART [20]
LOLIMOT [21]
Fuzzy-Entscheidungsbaume [22{27]
Fuzzy-ROSA (explorative Standardstrategie)
[11]
evolutionare Regelgenerierung [17]
Fuzzy-ROSA (evolutionare Suchstrategie)
[18]
GA-basierte Regelgenerierung [19]
baumbasierte Regelgenerierung [11,
28{32]
Fuzzy Version Space Learning [33, 34]
induktives Lernen modularer
Fuzzy-Regeln [35]
Induktion hierarchischer Fuzzy-
Systeme [36]
Tabelle 1: Einteilung von Verfahren zur Regelgenerierung fur Fuzzy-Systeme
Nachfolgend werden die Verfahren der Induktion von Fuzzy-Entscheidungsbaumen und
Regeln naher betrachtet. Ein Entscheidungsbaum kann prinzipiell in einen Regelsatz
uberfuhrt werden. Darauf beruhen die baumorientierten Regelinduktionsverfahren. Die
Induktion von Entscheidungsbaumen, zuruckgehend auf [37], erfolgt in Richtung der Spezialisierung.
Daher wird der Begri der Top-Down-Induktion gebraucht. Die Verfahren zur
Fuzzy-Regelgenerierung beruhen zumeist auf dem von Quinlan entwickelten Algorithmen
ID3 [38], der nachfolgend vorgestellt wird.

Induktion eines Entscheidungsbaums mit ID3 Ein Entscheidungsbaum besteht aus
Knoten und Zweigen und kann als gerichteter Graph interpretiert werden (vgl. Bild 4).
Jeder Knoten weist der Ausgangsgro e einen linguistischen Term zu, der fur die zugehorige
Beispielmenge die beste Entscheidung darstellt. Wenn die Beispielmenge korrekt klassiziert
wird, ist ihre weitere Auftrennung nicht notwendig und der Knoten wird somit zu
einem Endknoten. Weist die Beispielmenge noch Klassi kationsfehler auf, so wird sie in
Abhangigkeit vom Wert einer Variablen xl in die entsprechende Zahl von Zweigen aufgespalten.
Von den moglichen Entscheidungsvariablen xl wird diejenige gewahlt, die die
Transinformation H(xl;y) maximiert [38]. Die Transinformation H(xl; y) stellt ein Ma
fur die wechselseitige Abhangigkeit zwischen xl und y dar. Sie la t sich mit
H(xl; y) =H(xl)+H(y) , H(xl;y) (1)
berechnen. Dabei ist H(xl) die Eingangsentropie, H(y) die Ausgangsentropie und H(xl;y)
die Gesamtentropie. Die Entropie einer Gro e z mit einer disjunkten Einteilung in i =
1;::: ;c Klassen Ai ergibt sich zu
cX
H(z) =, ^p(z 2 Ai) ld^p(z 2 Ai) (2)
i=1
mit den geschatzten Klassenwahrscheinlichkeiten ^p(z 2 Ai) =h(z 2 Ai) =n(z 2 Ai)=N.
Die Verbundentropie H(z;w) zweier Gro en z und w berechnet sich entsprechend als
Doppelsumme mit den geschatzten Wahrscheinlichkeiten ^p(z 2 Ai ^ w 2 Bj) = h(z 2
Ai ^ w 2 Bj) =n(z 2 Ai ^ w 2 Bj)=N. h ist die Hau gkeit, die sich als Quotient aus der
Anzahl n und der Gesamtanzahl der Datensatze N ergibt.
Die Berechnung der relativen Hau gkeiten, also auch die Transinformation (1), bezieht
sich dabei immer auf die verbliebene Beispieldatenmenge in einem Entscheidungsknoten
und nicht auf den gesamten Lerndatensatz. Wenn keine weitere Entscheidungsvariable
existiert oder der Zuwachs der Transinformation zu gering ist, wird der Knoten zu einem
Endknoten.
Eine Weiterentwicklung des Entscheidungskriteriums erfolgt im C4.5-Algorithmus [39],
der die Transinformation (1) noch durch die Eingangsentropie teilt. Damit werden im
Gegensatz zum ID3-Verfahren Aufteilungen nachVariablen unterdruckt, die eine sehr hohe
Eingangsentropie (z. B. durch viele linguistische Terme) aufweisen. Bei gleicher Anzahl
linguistischer Terme in den Eingangsvariablen und ahnlichen Verteilungen sind hingegen
die Ergebnisse beider Verfahren nahezu gleich.
Die Berechnung von Klassenwahrscheinlichkeiten setzt die Disjunktheit der Werte einer
Variablen voraus. Deshalb werden bei einem Teil der Verfahren [22, 24{26, 30] spezi sche
Ma e wie eine Fuzzy-Entropie oder Unsicherheits- und Unscharfema e genutzt, wobei z. B.
anstelle der Anzahl n die Summe der Zugehorigkeitswerte zur Fuzzy-Mengen der Klasse
verwendet wird und N sich als Summe der Zugehorigkeitswerte der Beispiele zum betrachteten
Knoten ergibt. Die anderen Verfahren verwenden zunachst gewohnliche Mengen
anstelle der Fuzzy-Mengen.
Der E zienz des Baum-Induktionsverfahrens stehen verschiedene Nachteile gegenuber:
Die Reihenfolge der Spezialisierungen, die von den Lerndaten abhangt, entscheidet
daruber, welcher Entscheidungsbaum entsteht. Mit anderen Worten, zwei unterschiedliche
Datensatze desselben Prozesses konnen zu sehr unterschiedlichen Entscheidungsbaumen
fuhren.

Bei gestorten und nicht eindeutigen Daten lernt der Entscheidungsbaum auch die
Storung auswendig und ist nicht in der Lage, befriedigend zu generalisieren.
Abgeleitete Regeln sind i. allg. zu speziell, u. a. wegen der vergleichsweise geringeren
Reprasentationsfahigkeit eines Entscheidungsbaums.
Um die Generalisierungsfahigkeit zu gewahrleisten, wird die Entwicklung des Baumes
vorzeitig gestoppt oder Spezialisierungen am vollstandig entwickelten Baum werden
zuruckgenommen (geprunt). Allerdings kann dieser Vorgang eine nichtoptimale Entwicklung
des Baums (Auswahl einer bestimmten Variablen in einem Knoten) i. allg. nicht beheben.
Zudem konnen bestimmte Regelsatze nicht durch einen Baum reprasentiert werden.
Aus diesem Grund bringt es Vorteile, nicht den Baum, sondern die aus ihm abgeleiteten
Regeln zu generalisieren (s. Abschnitt 3).
Die induktiven Verfahren, die unmittelbar Regeln generieren, beruhen auf dem Version
Space Learning [40] oder anderen Verfahren, z. B. PRSIM [41]. Beim Version Space
Learning werden parallel beide Suchrichtungen, in Richtung Spezialisierung und Generalisierung,
verfolgt. Zu spezielle und zu allgemeine Hypothesen werden sukzessive ausgeschlossen.
Der PRSIM-Algorithmus sucht in Richtung der Spezialisierungen ahnlich wie
bei der Induktion eines Entscheidungsbaums, wobei getrennt nach Regeln fur jeden Wert
(Term) der Ausgangsvariablen gesucht wird.
3 Ein baumorientiertes Verfahren zur Generierung von
Fuzzy-Regeln
3.1 Prinzip
Die Grundidee des nachfolgend beschrieben Verfahrens (s. Bild 1) besteht darin, zunachst
den Hypothesenraum in Richtung Spezialisierung systematisch zu durchsuchen. Dazu
dient ein Induktionsverfahren fur Entscheidungsbaume. Anschlie end wird ausgehend von
den i. allg. zu speziellen Regelhypothesen nach Verallgemeinerungen gesucht. Sowohl die
Induktion des Entscheidungsbaums als auch das anschlie ende Generalisieren (Prunen)
der Regeln nutzen spezielle Ma e zur Bewertung der Gute von Hypothesen.
Zur Darstellung des Verfahrens dient als Beispiel die Analyse der spontanen Barorezeptorsensitivitat,
eine Aufgabenstellung, die im folgenden Abschnitt eingefuhrt wird.
Bild 1: Prinzip der Regelgenerierung

3.2 Analyse der spontanen Barorezeptorsensitivitat bei Patienten mit
dilatativer Kardiomyopathie mit der Dualen Sequenzmethode
Die Analyse der spontanen Barorezeptorsensitivitat (BRS) hat sich als eine aussagekraftige
Methode zur Klassi kation und Verlaufsprognose insbesondere bei Patienten mit
eingeschrankter linksventrikularer Funktion [42] erwiesen. Die BRS beschreibt die parasympathische
(vagale) Gegenregulation der Herzfrequenz (ausgedruckt als BBI beatto-beat
interval of heart rate, kurz: Herzrate) auf spontane Blutdruckanderungen (BP
blood pressure), indem der durch die Druckrezeptoren (z. B. Sinus carotikus) registrierte
Blutdruck, neuronal von der Medulla oblongata (verlangertes Mark) gesteuert, auf
die Herzfrequenz zuruckwirkt. Eine verbesserte diagnostische Aussagekraft gegenuber
klassischen Sequenzmethoden kann bei Anwendung der Dualen Sequenzmethode (DSM)
erzielt werden [43, 44]. Diese unterscheidet in bradykarde (Herzrate steigt re ektierend
bei Blutdruckerhohung) und tachykarde (Herzrate sinkt re ektierend auf Blutdruckverringerung)
Barore ex-Regulationen. Zusatzlich werden unter Berucksichtigung der unterschiedlichen
Regulationseigenschaften der parasympathischen und sympathischen Reizleitung
die Blutdruck- und Herzfrequenzzeitreihen untereinander verschoben, so da auch
zeitlich verzogerte Herzfrequenzreaktionen auf die verursachende Blutdruckanderung analysiert
werden konnen. Schematisch sind die verschiedenen Analysebereiche der DSM im
Bild 2 dargestellt.
BP_1 BP_2 BP_3
BP_4 BP_5 BP_6
BP_7
BBI_1 BBI_2 BBI_3 BBI_4 BBI_5 BBI_6 BBI_7
sync Shift 3
BP_8
kontinuierlicher Blutdruck
Bild 2: Zuordnung der synchronen (sync) und der um drei Werte verschobenen (Shift 3)
Herzfrequenz-Gegenregulation auf die verursachende Blutdruckanderung
Der Anstieg von jeweils drei konsekutiv ansteigenden bzw. abfallenden Blutdruck- und
Herzfrequenzwerten wird durch die lineare Regression ermittelt und beschreibt die Sensitivitat
des Re exes:
BRS = BBI
BP
ms
mmHg
EKG
Zeit
Zeit
: (3)
Als Ergebnis der BRS-Berechnung mittels DSM werden 152 Parameter ermittelt, die folgende
Informationen beinhalten:
Anzahl der Anstiege (absolut und prozentual) in de nierten Anstiegssektoren,
Unterscheidung in bradykarde und tachykarde Herzfrequenzreaktionen,
Verschiebeoperation (synchrone oder verzogerte Herzfrequenzreaktion),
mittlerer Anstieg aller Herzfrequenzreaktionen.

In einer klinischen Studie [44] wurde untersucht, ob mittels DSM bei Patienten mit dilatativer
Kardiomyopathie (DCM) Parameter zur Hochrisikostrati zierung und Verlaufsprognose
ermittelt werden konnen. Die dilatative Kardiomyopathie ist eine sehr schwerwiegende
Myokarderkrankung, bei welcher der Herzmuskel bei einer Ejektionsfraktion unter 30%
bereits so insu zient ist, da eine Herztransplantation notwendig wird.
In dieser Studie wurden 26 Patienten (20 mannlich und sechs weiblich) und ein Probandenkollektiv
mit 23 Personen untersucht, das hinsichtlich des Alters und des Geschlechts
vergleichbar ist. Unter vergleichbaren Zeit- und Umgebungsbedingungen wurden mit dem
photoplethysmographischen Blutdruckme gerat PORTAPRES Mod. 2 (Fa. BMI-TNO)
halbstundige kontinuierliche Blutdruckverlaufe aufgezeichnet. Die entsprechende Klassi
kation im Datensatz entstammt hier den routinema igen klinischen Untersuchungen
(Ultraschall, Dopplersonographie).
Mit dem Einsatz eines Fuzzy-Klassi kators sollen diejenigen Parameter der DSM ermittelt
werden, mit denen einerseits die DCM-Patienten von den Gesunden getrennt (diagnostiziert)
werden konnen und andererseits auch eine physiologische Aussage uber das
charakteristische BRS-Regulationsverhalten bei DCM-Patienten moglich ist.
Die mittels der DSM bestimmten Parameter beruhen auf medizinischen Erfahrungen und
Erwartungen uber ein typisches Regulationsverhalten. Dabei stehen systematische Untersuchungen,
inwieweit durch Modi kation oder Kombination dieser Parameter weitere
aussagekraftige Merkmale fur die Klassi kation gewonnen werden konnen, noch aus.
Das vorgestellte Problem ist insofern typischfur medizinische Klassi kationsaufgaben, weil
aufgrund der geringen Anzahl von Datensatzen eine statistische Absicherung schwierig ist.
Daruber hinaus ist eine eindeutige Trennung zwischen Kranken und Gesunden hau g nicht
moglich.
3.3 Wahl der Zugehorigkeitsfunktionen
Um den Entscheidungsbaum in linguistische Regeln uberfuhren zu konnen, werden fur
die Ein- und Ausgangsvariablen entsprechende linguistische Variablen, Terme und Zugehorigkeitsfunktionen
de niert.
Die Induktion eines Entscheidungsbaums setzt eine disjunkte Partitionierung der Eingangsvariablen
voraus. Daher werden den linguistischen Termen sowohl gewohnliche als
auch Fuzzy-Mengen zugeordnet. Die Zugehorigkeitsfunktionen der gewohnlichen Mengen
sind rechteckformig und nicht uberlappend, die der Fuzzy-Mengen dreieckformig und einfach
uberlappend. Dabei soll hier gelten, da die Summe der Zugehorigkeitswerte stets
Eins ist.
Zur Festlegung der Zugehorigkeitsfunktionen konnen sowohl Expertenwissen als auch Daten
herangezogen werden. Bei der datenbasierten Bestimmung der Zugehorigkeitsfunktionen
wird neben Clustertechniken auch das nachfolgend skizzierte heuristische Verfahren
angewendet.
Ausgehend von zwei Zugehorigkeitsfunktionen mit Maxima an den Grundbereichsgrenzen
wird schrittweise je eine weitere Zugehorigkeitsfunktion eingefuhrt, bis die zulassige Anzahl
erreicht wird. Deren Maximum liegt an der Stelle xl[k], ein im Datensatz enthaltener
Wert, fur den ein Kriterium maximal wird. Das Kriterium ist hier die gewichtete Summe
der Eingangsentropie H(xl) und der Transinformation H(xl;y) (Abschnitt 2). Im Unterschied
zu Clustertechniken wird damit auch Information bez. der Ausgangsgro en zur
Festlegung der Zugehorigkeitsfunktionen der Eingangsgro en genutzt. Dieses Verfahren

ist insbesondere bei der Regelgenerierung mittels ID3 bzw. C4.5 vorteilhaft, da die Zugehorigkeitsfunktionen
so festgelegt werden, da mit ihnen eine gute Trennung nach den
Ausgangsklassen durch den Entscheidungsbaum erfolgen kann.
Fur das Anwendungsbeispiel wird die Anzahl der Zugehorigkeitsfunktionen zu funf festgelegt,
die mit sehr klein (SK), klein (K), mittel (M), gro (G) und sehr gro (SG) bezeichnet
werden. Bild 3 zeigt beispielhaft die fur ein Merkmal ermittelten Zugehorigkeitsfunktionen
und Histogramme uber die beiden Ausgangsklassen.
Bild 3: Automatisch generierte Zugehorigkeitsfunktionen fur das Merkmal x141 und Histogramme
fur die beiden Ausgangsklassen (schwarz: Proband, wei : Patient)
3.4 Induktion eines Entscheidungsbaums und Ableiten der Regeln
Mit dem ID3- bzw. C4.5-Algorithmus wird wie in Abschnitt 2 ein Entscheidungsbaum
generiert. Fur jeden Endknoten des Entscheidungsbaums wird eine Regel gebildet. Deren
Pramisse besteht aus einer konjunktiven Verknupfung aller Variablen und ihrer linguistischen
Terme in den Entscheidungsknoten, die auf dem Pfad zwischen der Wurzel des
Baumes und dem jeweiligen Endknoten durchlaufen werden. Wegen der vollstandigen Partitionierung
des Eingangsraums durch den ID3-Algorithmus ergibt sich eine Regelbasis,
die den Eingangsraum redundanzfrei abdeckt. Die Zuweisung von Fuzzy-Mengen anstelle
der gewohnlichen Menge erfolgt rein formal.
Bild 4 zeigt den besten mit dem ID3-Algorithmus erzeugten Entscheidungsbaum, wobei
alle 152 Merkmale zur Verfugung standen. Aus diesem Baum lassen sich 17 Regeln bilden,
wobei lediglich vier Merkmale verwendet werden. Allerdings entstehen so auch einige
Regeln, fur die nur ein oder gar kein Beispiel im Lerndatensatz existiert (vgl. Bild 4, z. B.
x141=1, x18=1).
Zur Gewinnung weiterer Regelhypothesen erweist sich die Induktion verschiedener Entscheidungsbaume,
z. B. durch Herausstreichen dominanter Eingangsvariablen aus dem Datensatz,
als sinnvoll. Damit wird der abgesuchte Hypothesenraum beim Generalisieren
gro er (112 Regeln bei funf verschiedenen Entscheidungsbaumen).
Als zusatzliches Ergebnis bei der Generierung von Entscheidungsbaumen entstehen heuristische
Merkmalsrelevanzen, die aus einer gewichteten Addition der Transinformation

Bild 4: Mit ID3 generierter Entscheidungsbaum zur BRS-Analyse (oben im Knoten Entscheidungsvariable
x l,unten im Knoten Entscheidung y, y =1Patient, y = 2 Proband, in Klammern
Beispielanzahl, Terme: 1=SK, :::, 5=SG)
zwischen dem jeweiligen Merkmal und der Ausgangsgro e entstehen. Der Wichtungsfaktor
ergibt sich als Quotient der Beispielanzahl je Knoten und der Beispielanzahl aller
untersuchten Knoten.
Fur die BRS-Analyse ergeben sich die folgenden heuristischen Merkmalsrelevanzen:
1. Merkmal : x141 ( 10-15_brady_3_a) - Guete 0.370
2. Merkmal : x113 ( alle_tachy_3_a) - Guete 0.292
3. Merkmal : x151 ( alle_brady_3_a) - Guete 0.193
4. Merkmal : x95 ( 7.5-10_tachy_3_a) - Guete 0.181
5. Merkmal : x85 ( 4-5_tachy_3_a) - Guete 0.176
...
31. Merkmal : x12 ( 0-2.5_tachy_1_p) - Guete 0.106
...
49. Merkmal : x18 ( 5-7.5_tachy_1_p) - Guete 0.082
50. Merkmal : x100 ( 10-12.5_tachy_3_p) - Guete 0.082
...
80. Merkmal : x33 ( 50-75_tachy_1_a) - Guete 0.058
...
151. Merkmal : x69 ( 25-50_brady_1_a) - Guete 0.008
152. Merkmal : x71 ( 50-75_brady_1_a) - Guete 0.002
3.5 Generalisieren und logische Reduktion von Regeln
Modulare Bewertung von Fuzzy-Regeln Die Bewertung der Regeln mu die Anforderungen
Relevanz, Verstandlichkeit und statistische Absicherung in geeigneter Weise
berucksichtigen. Dazu dient hier das Kriterium [32, 45]
Q =(1, FP
F 0 ) (1 , FK) ; ; > 0 (4)
P
dessen erster Term die relative Verbesserung der Prognosegute im Vergleich zur Trivialschatzung
(Regel mit stets wahrer Pramisse und hau gstem Term in der Konklusion)
angibt. Indirekt wird hierbei die statistische Absicherung bewertet, da nur Regeln, die
hinreichend durch Beispiele abgedeckt sind, eine wesentliche Verbesserung der Prognosegute
bewirken konnen. Der zweite Term, die Bewertung der Klarheit der Pramissen-
Konklusionszuordnung, ist um so gro er, je geringer der Anteil von Gegenbeispielen in der
Menge der abgedeckten Beispiele ist. Die Exponenten und erlauben eine Gewichtung

eider Bewertungen. Die in (4) verwendeten Gro en berechnen sich wie folgt:
FP = kY ^ , Y kF = kRP , Y kF ! Min;
mit 1
R T n R = 1Tq und R 0n q (5)
0
Y = @ B1 (y[1]) ::: B1 (y[N])
:::::::::::::::::::::::::: A ; P =
Bn(y[1]) ::: Bn(y[N])
1
FK =1,kR 1k1 =1, max
i=1;::: ;n ri1
Pr(x[1]) ::: Pr(x[N])
1 , Pr(x[1]) ::: 1 , Pr(x[N])
Hierbei ist P die Matrix der korrigierten Regelaktivierungen, Y die Matrix der fuzzi zierten
Ausgangsgro e, ^ Y ihre Schatzung und F 0 P der Prognosefehler der Trivialschatzung.
Generalisieren Als Generalisierungsmoglichkeiten in den Regelpramissen werden zugelassen:
1. Streichen einer beliebigen Variable und ihrer linguistischen Terme und
2. Hinzufugen eines benachbarten ODER-verknupften linguistischen Terms fur eine
linguistische Variable.
Das Generalisieren geht damit uber identische Umformungen der Regeln, z. B. mit dem
Quine-McCluskey-Algorithmus wie in [46] beschrieben, hinaus.
Mit der zweiten Generalisierungsmoglichkeit entstehen abgeleitete Terme, die durch die
Beschrankung auf benachbarte Terme interpretierbar bleiben.
Fur jede Regel werden nun alle bildbaren Hypothesen mittels (4) bewertet und die beste
als neue Regel ubernommen. Diese Prozedur wird solange durchgefuhrt, bis alle Generalisierungen
einer Regel auf schlechter bewertete Hypothesen fuhren.
Beim Generalisieren der Regel
Q=0.136 ( 0 Feh./ 9 Bsp.): WENN x100=SG UND x141=K DANN Patient
fur die BRS-Analyse ergeben sich die folgenden Hypothesen und Bewertungen (Anzahl
der Beispiele bzw. Fehler durch Rundung der Zugehorigkeitswerte):
Q=0.157 ( 0 Feh./10 Bsp.): WENN x100=(G [ SG) UND x141=K DANN Patient
Q=0.051 ( 2 Feh./11 Bsp.): WENN x100=SG UND x141=(K [ M) DANN Patient
Q=0.213 ( 0 Feh./15 Bsp.): WENN x100=SG UND x141=(SK [ K) DANN Patient
Q=0.084 ( 4 Feh./14 Bsp.): WENN x141=K DANN Patient
Q=0.050 (10 Feh./27 Bsp.): WENN x100=SG DANN Patient
Die dritte Hypothese wird akzeptiert und weiter generalisiert. Dabei entsteht die Regel:
Q=0.287 ( 0 Feh./18 Bsp.): WENN x100=(G [ SG) UND x141=(SK [ K) DANN Patient
Bild 5 stellt die angegebene Regel dar (umrahmt). Die Gitterlinien fur die Merkmale x100
und x141 kennzeichnen die Maxima der Zugehorigkeitsfunktionen. Hierbei zeigt sich, das
ein Gro teil der Beispiele der Klasse " Patient\ ( " *\) durch diese Regel erklart wird.
Im Ergebnis des Prunings entstehen aus den 112 Regeln des Baums 34 generalisierte
Regeln, z. B.:
(6)
(7)

Bild 5: Gra sche Darstellung der generalisierten Regel
1. Q=0.318: WENN x12=(M [ G [ SG) UND x141=(M [ G [ SG) DANN Proband
2. Q=0.292: WENN x67=(K [ M [ G) UND x103=(M [ G [ SG) UND x151=SG DANN Proband
3. Q=0.287: WENN x100=(G [ SG) UND x141=(SK [ K) DANN Patient
4. Q=0.227: WENN x33=SK UND x113=SG DANN Proband
5. Q=0.221: WENN x83=(SK [ K) UND x151=(SK [ K [ M) DANN Patient
...
20. Q=0.114: WENN x100=(NICHT SG) UND x141=(NICHT SK) DANN Proband
...
Logische Reduktion In Folge der Generalisierung konnen identische Regeln entstehen.
Von diesen werden alle bis auf eine gestrichen. Weiterhin konnen Pramissen speziellerer
Regeln durch die allgemeinerer (mit derselben Konklusion) vollstandig abgedeckt werden.
In diesem Fall werden die speziellen Regeln geloscht, wenn ihre Bewertung nicht besser
als die der allgemeineren ist.
3.6 Aufstellen der Regelbasis
Die Problematik der Auswahl von Regeln hangt wiederum eng mit den hier verwendeten
Methoden zur Generalisierung zusammen. Allgemeine Regeln, die aus unterschiedlichen
speziellen Regeln hervorgehen, unterscheiden sich hau g nur in den linguistischen Termen
der gleichen linguistischen Variablen oder in jeweils einer anderen linguistischen Variablen.
Mit anderen Worten, es besteht ein hohes Ma an Redundanz in der Regelmenge.
Die wichtigste Aufgabe der Regelauswahl besteht darin, das Zusammenwirken der Regeln
in einer Regelbasis zu betrachten und partiell redundante Regeln zu reduzieren. Deswegen
werden in der Menge zuvor generierter Regeln gute Einzelregeln gesucht, die miteinander
kooperieren und sich erganzen. Hierbei mu das anzuwendende Inferenzverfahren beachtet
werden, da verschiedene Inferenzverfahren bei logisch aquivalenten Regelbasen auf unterschiedliche
Ergebnisse fuhren konnen [47].
Durch die Auswahl von Regeln wird der Eingangsraum i. allg. nicht mehr vollstandig abgedeckt.
Deswegen wird der Regelbasis eine Regel zugefugt, deren Pramisse das Komplement
zur Vereinigung der Pramissen aller ubrigen Regeln der Regelbasis ist.

Als Ma zur Bewertung wird der relative Prognosefehler herangezogen. Da nunmehr die
Konklusionen festgesetzt sind, ist in (5) anstelle von R die Matrix C1 zu setzen, die die
Zuordnung einer Konklusion " y = Bi\ zur Pramisse Pj mit cij =1kodiert [45].
Im Beispiel werden die Regeln Nr. 1, 3, 4 und 20 fur die Regelbasis ausgewahlt und mit
einer Defaultregel " SONST Patient\ erganzt (ursprungliche Regelnummer in Klammern):
1. (1.) Q=0.318: WENN x12=(M [ G [ SG) UND x141=(M [ G [ SG) DANN Proband
2. (3.) Q=0.287: WENN x100=(G [ SG) UND x141=(SK [ K) DANN Patient
3. (4.) Q=0.227: WENN x33=SK UND x113=SG DANN Proband
4. (20.) Q=0.114: WENN x100=(NICHT SG) UND x141=(NICHT SK) DANN Proband
5. SONST Patient
Die Verwendung der Defaultregel bewirkt eine erhebliche Reduktion der Regelbasis, da
i. allg. nur Ausnahmen von der hau gsten Klasse (hier: Klasse " Patient\) erklart werden
mussen.
Aus medizinischer Sicht sind diese Regeln nun zu diskutieren:
Regel 1:
Der Parameter x141 (10-15 brady 3 a) beschreibt gro e (10-15 ms/mmHg) und lang
anhaltende (Shift 3) Reaktionen der Herzfrequenz auf Blutdruckanderungen. Die verursachenden
Blutdruckschwankungen scheint das Herz der Patienten nicht mehr ausgleichen
zu konnen, so da der Klassi kator bei gro en Werten dieses Parameters auf Probanden
schlie t. Der Parameter x12 (0-2.5 tachy 1 p) beschreibt die niedrigsten Variabilitaten
der Herzrate, d. h. das Herz reagiert nur minimal auf Blutdruckschwankungen. Sicherlich
wird dieser Parameter auch von Me fehlern uberlagert, da die Interpretation des
Parameters schwerfallt.
Regel 2:
Der Parameter x100 (10-12.5 tachy 3 p) kennzeichnet die prozentuale Anzahl der tachykarden
Anstiege im Bereich 10-12.5 ms/mmHg. O ensichtlich liegt in diesem Bereich
die maximale Gegenregulation bei Patienten, was sich in dem hoheren Prozentsatz in dem
Anstiegsbereich manifestiert. Bei Probanden hingegen konnen noch weitaus intensivere
Gegenregulationen (>12 ms/mmHg) vorkommen, so da deren anstiegsbezogene prozentuale
Verteilung ausgeglichener ist. Der verminderte Parameter x141 (10-15 brady 3 a)
beschreibt die bei Patienten eingeschrankte und o enbar ine ektive Gegenregulation auf
hohe Blutdruckanderungen.
Diese Regel, die einzige au er der Defaultregel mit einer Konklusion Patient, dient einer
besseren Approximation einer nichtachsenparalellen Klassengrenze (vgl. Bild 5) durch eine
geringfugige Uberdeckung mit Regel Nr. 20, die zu einem lokalen Widerspruch fuhrt.
Regel 3:
Der erste Parameter (x33 { 50-75 tachy 1 a) der Regel ist schwierig zu interpretieren,
da in diesem Regulationsbereich vermutlich aphysiologische Extremwerte, gegebenenfalls
Extrasystolen liegen konnten. Die Gesamtanzahl von Herzfrequenzreaktionen auf verursachende
Blutdruck uktuationen (x113 { alle tachy 3 a) ist dagegen ein wichtiger
Parameter zur Klassi kation, deren Gro e Hinweise auf Regulationsabweichungen gestattet.
Eine gro e Anzahl von bradykarden Fluktuationen la t auf eine gesunde Regulation
schlie en.
Das Verfahren verwendet die Variable x33, da damit die Fehleranzahl der Regel auf Null
reduziert wird. Bei einer relativ gleichma igen Verteilung der Werte der Variablen wird
sich die Anzahl der Beispiele, fur die die Regel aktiviert wird, soweit verringern, da die

speziellere Regel nicht besser bewertet wird. Im gegebenen Fall, bei dem diese Variable
fast immer sehr kleine Werte annimmt, verringert sich die abgedeckte Beispielanzahl
kaum. Eine Moglichkeit, solche Probleme zu losen, besteht darin, die Verteilung oder die
heuristische Bewertung der Variablen beim Generalisieren zu berucksichtigen.
Regel 4:
Diese Regel ist au er einer Uberschneidung reziprok zur Regel 2.
Die Regelbasis erreicht auf dem Lerndatensatz eine Klassi kationsgute von 98%, wenn
die Fuzzy-Entscheidung wieder in eine scharfe Entscheidung umgewandelt wird. Bei einer
mehrfach durchgefuhrten 10-fachen Crossvalidierung mit einer zufalligen Auswahl der
Lerndaten fallt diese Quote fur den Testdatensatz allerdings auf 74.1%. Sie liegt damit
im Bereich einer schwerer interpretierbaren linearen Diskriminanzanalyse (74.3%) [43], bei
der sechs Merkmale mit speziellen Verfahren ausgewahlt wurden. Interessanterweise sind
die geeignetsten Merkmale fur eine lineare Diskriminanzanalyse und fur eine nichtlineare
Fuzzy-Klassi kation nahezu vollstandig disjunkt. Nur ein fur die Diskriminanzanalyse ausgewahltes
Merkmal ist unter den besten sechs heuristischen Merkmalen vertreten, wahrend
die ausgewahlte Regelbasis generell mit anderen Merkmalen arbeitet.
4 Zusammenfassung und Ausblick
Die vorliegende Arbeit gibt zunachst einen Uberblick uber Verfahren zur datenbasierten
Generierung von Fuzzy-Regeln, wobei der Schwerpunkt auf baumorientierten Verfahren
liegt. Das hier vorgestellte Verfahren zeichnet sich durch das Generalisieren der mittels
Entscheidungsbaum gewonnen Regeln aus. Dabei werden spezielle Ma e verwendet, die
die Erfullung bestimmter Anforderungen an die Regeln bewerten. Eine weitere Besonderheit
des Verfahrens besteht in der Auswahl von Regeln zur Bildung einer Regelbasis,
die ihr Zusammenwirken berucksichtigt. Daruber hinaus ist das Verfahren in der Lage,
die Auswahl von relevanten Merkmalen sowie die Festlegung der Zugehorigkeitsfunktionen
automatisch vorzunehmen bzw. zu unterstutzen.
Als Beispiel zur Beschreibung der Regelgenerierung dient die Analyse der Barorezeptorsensitivitat
bei dilativer Kardiomyopathie. Dieses medizinische Diagnoseproblem stellt
aufgrund geringer Datensatz- und gro er Merkmalsanzahl eine gro e Herausforderung fur
automatische Verfahren dar. Die erzielten Ergebnisse sind mit den Resultaten einer linearen
Diskriminanzanalyse hinsichtlich der Klassi kationsgute vergleichbar, aber besser
interpretierbar.
In zukunftigen Arbeiten soll der Nutzen von mehrfachen aufeinanderfolgenden Spezialisierungen
und Generalisierungen untersucht werden. Weiterhin wird eine starkere Verbindung
zwischen dem Entwurf der Zugehorigkeitsfunktionen und der Regelgenerierung
angestrebt. Au erdem soll das Verfahren dahingehend erweitert werden, da bei der Regelgenerierung
gleichzeitig Regelplausibilitaten bestimmt und geeignet verarbeitet werden.
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