Rayleigh-Bénard-Konvektion

Universität Oldenburg
Fachbereich Physik
Fortgeschrittenen-Praktikum
Rayleigh-Bénard-Konvektion
Wärmetransport in
konvektiven Strömungen
Malte Siefert
(siefert@uni-oldenburg.de)
& Christoph Renner
Rayleigh-Bénard-Konvektion entsteht, wenn ein geschlossenes, vollständig mit
Wasser gefülltes Gefäß genügend stark von unten erhitzt und von oben gekühlt
wird. Warmes Wasser steigt auf, kaltes sinkt nach unten und es bilden sich
komplexe Strukturen aus. Diese Strukturen sind immer noch ein aktueller Forschungsgegenstand
und lassen sich trotz vieler Fortschritte nur sehr eingeschränkt
theoretisch behandeln.
Am Anfang des Versuches steht ein grundlegendes Verständnis der zugrunde
liegenden Gleichungen und der entscheidenden Größen und Kontrollparametern
des Experimentes. Die bei hohen Temperaturdifferenzen entstehenden komplexen
Strukturen sollen in dem Versuch experimentell untersucht werden. Dabei
werden typische Meßmethoden für schnell veränderliche Strömungen eingesetzt.
Ausgewertet werden die Daten mit statistischen Größen, die sehr typisch für
solche kontinuierlichen und komplexen Strukturen sind.

1 EINLEITUNG 1
1 Einleitung
Wärmetransportphänomene in fluiden Medien spielen in vielen Bereichen von
Wissenschaft und Technik eine wichtige Rolle, so z.B. in der Geophysik bei der
Beschreibung von Vorgängen im flüssigen Mantel der Erde, in der Astrophysik
bei der Modellierung von Sternen oder in der Technik bei der Wärmeabstrahlung
einer jeden Raumheizung. All diesen Systemen ist gemeinsam, daß der
Wärmetransport in ihnen um ein Vielfaches höher ist als der unter vergleichbaren
Bedingungen in einem Festkörper. An Stelle des konduktiven Wärmetransportes,
der in einem Festkörper vorliegt (und bei dem der Wärmefluß durch
ein bestimmtes Volumen direkt proportional zum anliegenden Temperaturgradienten
ist), tritt also in diesen Fällen ein grundsätzlich anderer (und sehr viel
effektiverer) Transportmechanismus.
Der vorliegende Praktikumsversuch will einen ersten Einblick in diese Transportmechanismen
vermitteln. Das dazu untersuchte experimentelle System ist
ein sog. Konvektionsexperiment: Wir betrachten ein Fluid (in diesem Fall Wasser)
in einer Zelle, deren Unterseite erwärmt und deren Oberseite gekühlt wird.
Die unteren, warmen Schichten des Fluids dehnen sich aus und erfahren aufgrund
ihrer verringerten Dichte Auftriebskräfte, die schließlich eine Strömung,
die Konvektionsströmung, in Gang setzen. Ist die Temperaturdifferenz zwischen
der unteren und der oberen Seite der Zelle gering, bilden sich regelmäßige Strukturen,
die sog. Konvektionsrollen, mit steigendem Temperaturgradienten wird
die Strömung dann zusehends unregelmäßiger und schließlich turbulent. Das
Experiment bietet die Möglichkeit, über diesen gesamten Bereich hinweg den
Wärmefluss durch die Zelle als Funktion des anliegenden Temperaturgradienten
zu messen. Die gewonnen Messergebnisse sollen dann auf dem Hintergrund theoretischer
Vorhersagen interpretiert werden. Die hierfür notwendigen Grundlagen
können im Rahmen dieser Praktikumsanleitung nur grob umrissen werden, eine
gründliche Einarbeitung in das Themengebiet anhand der angegebenen Literaturstellen
und der am Ende eines jeden Kapitels gestellten Verständnisfragen
ist daher unerläßlich und wird dringend empfohlen.

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Die Hydrondynamischen Grundgleichungen
• Rayleigh-Bénard-Konvektion
• Navier-Stokes-Gleichung
• Boussinesq Näherung
• Wärmetransport-Gleichung
• dimensionslose Gleichung
• Rayleighzahl, Prandtlzahl, Nusseltzahl
• konduktive und konvektive Wärmetransport
Betrachten wir zunächst den Fall einer Strömung, in der von einem Temperaturgradienten
erzeugte Auftriebskräfte keine Rolle spielen. Das Geschwindigkeitsfeld
�v(�r, t) einer solchen Strömung wird durch die Navier-Stokes-
Gleichung (1) beschrieben [2, 3],
∂
∂t �v(�r, t) + (�v · � ∇)�v(�r, t) = ν � ∇ 2 �v(�r, t) − 1
ρ � ∇p. (1)
Gleichung (1) ist im Grunde nichts anderes als die Newtonsche Bewegungsgleichung
für ein sich im Geschwindigkeitsfeld �v(�r(t), t) bewegendes Volumen
dV . Die Terme der linken Seite entsprechen der totalen Zeitableitung des Geschwindigkeitsfeldes
�v(�r(t), t), die Terme der rechten Seite geben die auf das
Volumenelement dV wirkenden Kräfte wieder: 1
ρ � ∇p die aufgrund von Druckgradienten
wirkenden Kräfte (ρ bezeichnet die Dichte des Fluids), ν � ∇ 2 �v(�r, t)
die Reibungskräfte (ν ist die sogenannte kinematische Viskosität; sie hängt mit
der besser bekannten dynamischen Viskosität η über ν = η/ρ zusammen, ihre
Einheit ist [ν] = m2
s ).
In (1) tritt neben den drei Komponenten des Vektors �v(�r, t) noch eine vierte
Unbekannte, der Druck p auf, das Gleichungssystem ist also unterbestimmt. Es
wird durch die Kontinuitätsgleichung (2) vervollständigt, die hier für den Fall
= 0) formuliert ist:
inkompressibler Fluide ( dρ
dt
�∇ · �v(�r, t) = 0. (2)
Auftriebskräfte, die aufgrund von Temperaturschwankungen θ entstehen, sind
in (1) noch nicht berücksichtigt. Die auf ein Volumenelement wirkende Auftriebskraft
ist proportional zu der Differenz zwischen seiner eigenen Dichte und
der mittleren Dichte. In erster Näherung ist diese Differenz der Dichten proportional
zur Abweichung der Temperatur des Volumenelements vom Mittelwert
(Boussinesq-Näherung):
∂
∂t �v(�r, t) + (�v · � ∇)�v(�r, t) = ν � ∇ 2 �v(�r, t) − 1
ρ � ∇p − α Θ�g. (3)

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 3
α ist der thermische Ausdehnungskoeffizient ([α] = 1
K ), �g die Erdbeschleunigung.
Gleichung (3) wird als Boussinesq Näherung“ bezeichnet. Der im Ver-
”
gleich zur Gleichung (1) neu auftretende Term beschreibt die Auftriebskraft.
Der Deutlichkeit halber sei nochmals darauf hingewiesen, daß θ nicht die absolute
Temperatur, sondern die Abweichung der Temperatur von ihrem Mittelwert
bezeichnet: Θ = T − 〈T 〉.
Gleichung (3) ist unterbestimmt, da mit der Temperatur eine neue Größe
im Vergleich zu der Navier-Stockes-Gleichung auftaucht. Eine Gleichung für
die Temperatur T (bzw. die Temperaturschwankung Θ) muß hinzugenommen
werden. Es wird angenommen, daß die Wärmekapazität pro Einheitsvolumen,
ρCp, konstant ist. Dann ist ρCp dT
dt die Erwärumungsrate pro Einheitsvolumen.
Diese Wärme wird einem Volumenelement durch Wärmeleitung
�H = −k � ∇T (4)
zugeführt, wobei k die thermische Leitfähigkeit bezeichent (Wärmeproduktion
innerhalb der Strömung wird hier nicht betrachtet). Da die Erwärmungsrate
gleich dem Wärmestrom in ein Volumenelement ist, ergibt sich
dT
ρCp
dt = − � ∇ · � H (5)
oder ausgeschrieben
∂T
∂t + (�v · � ∇)T = κ� ∇ 2 T, (6)
wobei κ = k/ρCp die thermische Diffusivität (bzw. die thermometrische Leitfähigkeit)
ist. Da 〈T 〉 eine Konstante ist, gilt Gleichung (6) auch für die Temperaturschwankungen
Θ.
Einige Interessante Eigenschaften des Gleichungssystems (2,3,6) ergeben
sich bereits aus der dimensionslosen Form der Gleichungen. Man benutzt dazu
eine für das betrachtete System typische Längenskala l0 und eine typische
Temperaturskala (bzw. Temperaturdifferenz) △T . (Bei Konvektionsexperimenten
liegt es nahe, als Längenskala den vertikalen Abstand zwischen den beiden
Platten und als Temperaturskala die Differenz der Temperaturen der beiden
Platten zu verwenden.) In den dimensionslosen Größen
lauten die Gleichungen
�u = l0
κ �v
�x = 1
�r
θ =
l0
1
△T Θ
τ = κ
l2 t
0
π =
l2 0
p
ρκ2 (7)
∂
∂τ �u(�x, τ) + (�u · � ∇)�u(�x, τ) = Pr � ∇ 2 �u(�x, τ) − � ∇π − Ra Pr θ�eg

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 4
∂θ
∂τ + (�u · � ∇)θ = � ∇θ
�∇ · �u(�x, τ) = 0. (8)
In (8) treten zwei für die Beschreibung von Konvektionsströmungen wichtige
Parameter auf, die Rayleighzahl Ra und die Prandtlzahl Pr. Sie ergeben sich
aus der Rechnung zu
Ra = g α l3 0 △T
ν κ
Pr = ν
. (9)
κ
Diese beiden Parameter gewinnen ihre besondere Bedeutung aus der Tatsache,
daß nach (8) zwei Konvektionsströmungen genau dann identisches Verhalten
zeigen, wenn sie in Rayleigh- und Prandtlzahl übereinstimmen (vergleichbare
Randbedingungen und Geometrien vorausgesetzt). Die Rayleighzahl Ra beschreibt
die Stärke des thermischen Auftriebes, die Prandlzahl Pr ist eine reine
Materialgröße und beschreibt die Art des Fluides.
Ein weiterer wichtige Größe zur Beschreibung von Konvektionsströmungen
ist die Nusseltzahl Nu. Sie ist das (dimensionslose) Verhältnis des im System
tatsächlich beobachteten Wärmeflusses H zum rein konduktiven Wärmefluss
Hkond:
Nu := H
. (10)
Hkond
Wichtig: In diesem Kapitel werden die Begriffe Wärmestromdichte“ und
”
” Wärmefluß“ nicht in ihrer üblichen Definition verwendet. Für die Wärmestromdichte
�jkond im Fall konduktiven Transports etwa wird folgende Definition
verwendet:
�jkond = κ � ∇T. (11)
Im Unterschied zur allgemein üblichen Definition wird in (11) anstelle der
Wärmeleitfähigkeit k die Temperaturleitfähigkeit κ verwendet. j trägt nach
(11) nicht die Einheit W
m2 sondern die wenig anschauliche Einheit K m
s . Die
Umrechnung zwischen den beiden Größen erfolgt einfach über den Faktor ρ Cp.
Der Wärmefluss H durch eine Fläche F ergibt sich aus der Wärmestromdichte
durch Integration,
�
H = �j d � f. (12)
Fragen zur Vorbereitung
F
• Was ist das grundlegende Konzept bei der Herleitung der Navier-Stokes-
Gleichung?
• Machen Sie sich das Zustandekommen des nichtlinearen Terms in Gleichung
(1) klar.

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 5
• Welche Bedeutung haben die einzelnen Terme der rechten Seite von Gleichung
(3)?
• Das Gleichungssystem (2,3,6) ist in der Literatur unter der Bezeichnung
” Boussinesq-Näherung“ bekannt. Welche Näherungen wurden bei der Herleitung
dieser Gleichungen gemacht?
• Steht die Inkompressibilität der Strömung ( dρ
dt = 0) im Widerspruch zu
der Temperaturabhängigkeit der Dichte? ??
• Was ist die praktische Bedeutung der dimensionslosen Parameter Ra und
Pr?
• Welcher mikroskopische Mechanismus liegt der konduktiven Wärmeleitung
zugrunde?
Literatur: [3], [2]
2.2 Der Bereich hoher Rayleigh-Zahlen
Für sehr große Rayleighzahlen (ca. 10 8 ) wird experimentell folgende Abhängigkeit
der Nusseltzahl von Ra gefunden [4]:
mit
Nu = N0 Ra β
N0 = 0, 23 ± 0, 03
β = 0, 282 ± 0, 03
(13)
Von Interesse sind in diesem Zusammenhang auch die Fluktuationen der Temperatur
um ihren Mittelwert. Für die Standardabweichungen △c dieser Fluktuationen
findet sich im Zentrum der Zelle folgende Abhängigkeit:
wobei
△c
△T = N1 Ra γ
N1 = 0, 36 ± 0, 04
γ = −0, 147 ± 0, 005.
(14)
△T bezeichnet die Temperaturdifferenz zwischen der unteren und der oberen
Begrenzungsfläche.
Im Folgenden soll ein einfaches Modell vorgestellt werden, das es erlaubt,
den Skalenexponenten β zu erklären. Dem Modell zufolge bilden sich in der
Zelle drei verschiedenartige Zonen aus:
• eine Grenzschicht der Dicke λ in der Nähe der Grenzflächen
• die Zentralregion, die den großteil des Volumens einnimmt

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 6
Abbildung 1: Skizze zur Modellvorstellung.
• eine sog. Mischungszonen der Dicke dm zwischen den beiden anderen Regionen.
Abbildung 1 illustriert dieses Modell.
In der Zentralregion wird eine homogene und isotrope Strömung angenommen.
Ihre typische Geschwindigkeitsskala sei uc, die typiche Längenskala L und
die Größenordnung typischer Temperaturfluktuationen △c. Aus einer einfachen
Dimensionsanlyse kann man folgenden Zusammenhang abschätzen:
uc ∼ � α g L △c. (15)
” ∼“ bedeutet in diesem Zusammenhang in der Größenordnung von“.
”
Auch für den Zusammenhang zwischen uc und Ra wird ein Potenzgesetz
angenommen:
uc ∼ ν
L Raɛ , (16)
wobei ɛ zunächst unbestimmt bleibt.
Eine weitere Annahme besagt, daß in der Zentralregion der Wärmetransort
vorwiegend von turbulenten Prozessen bestimmt wird, konduktiver Wärmetransport
dagegen zu vernachlässigen sein sollte. Hauptursache des Wärmeflusses
in der Zentralregion ist der Transport warmer Volumina in der Strömung.
Für die z-komponente der Wärmestromdichte jz läßt sich, wiederum aus einer
Dimensionsanalyse, folgende Abschätzung treffen:
jz ∼ uc △c (17)
Aufgrund der Randbedingungen für die Temperatur (die Begrenzungsflächen
haben überall dieselbe, konstante Temperatur) wird man erwarten können, daß
jz im zeitlichen Mittel nicht von den Ortskoordinaten x und y abhängt. Da im
Inneren der Zelle Wärme weder erzeugt noch vernichtet wird, die an der Unterseite
der Zelle zugeführte Wärme also vollständig zur Oberseite transportiert

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 7
wird, ist jz auch bezüglich der z-Koordinate konstant. Für die Nusseltzahl gilt
daher (F ist eine Fläche in der x − y−Ebene):
Nu = H
�
�jd
F
=
Hkond
� f
�
�jkondd � f =
F jz jz
=
(18)
F jz,kond jz,kond
Aus den Beziehungen (13, 14, 15-18) folgt:
F
ɛ = 1
( 1 + γ )
2
γ = 2
�
β −
3
1
�
2
(19)
Um β berechnen zu können, müssen noch einige zusätzliche Annahmen über
die beiden anderen Regionen gemacht werden.
In der Grenzschicht (Dicke λ) herrscht ausschließlich konduktiver Wärmetransport,
turbulente Transportprozesse spielen hier keine Rolle. Da konduktive
Wärmeleitung um Größenordnungen ineffektiver ist als turbulenter Transport,
muß angenommen werden, daß der Temperaturabfall an der Grenzschicht den
an der Zentralregion um Größenordnungen übersteigt. Der Temperaturabfall
an der Grenzschicht muß demnach in der Größenordnung von ∆T selbst liegen.
Es gilt also
jz ∼ κ ∆T
(20)
λ
und damit
λ ∼ κ∆T
jz
= L
Nu ∼ Ra−β L (21)
Von dieser Grenzschicht lösen sich nun ” Blätter“ heißer Flüssigkeit, die in etwa
die Dicke λ der Grenzschicht sowie deren Temperatur beibehalten und die sich in
der anschließenden Mischungszone mit der darüberliegenden, kälteren Flüssigkeit
mischen. Eine ungefähre Anschauung gibt Abbildung 2. Diese ” Blätter“
bewegen sich nun aufgrund ihres Auftriebs solange beschleunigt aufwärts, bis
ihre Geschwindigkeit wh (in z-Richtung) so groß ist, daß in Gleichung (3) der
Reibungsterm ν � ∇ 2 �v in die Größenordnung des Auftriebsterms kommt. Der Auftriebsterm
kann durch den Ausdruck gα∆T , der Reibungsterm durch νwhλ −2
abgeschätzt werden. Gleichsetzen liefert:
wh ∼ g α λ2 ∆T
. (22)
ν
Schließlich muß noch angenommen werden, daß die Abschätzung wh ∼ uc gilt.
Damit ergibt sich:
uc ∼ g α λ2 ∆T
. (23)
ν
Damit stehen nun genügend Gleichungen zur Verfügung, um β, γ (und auch ɛ)
zu berechnen. Aus den Beziehungen (16), (19), (21) und (23) folgt:
β = 2
≈ 0, 286
7
γ = − 1
≈ − 0, 143,
7
(24)

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 8
Abbildung 2: Der Übergang von der Grenz- zur Mischungszone.
was mit den experimentellen Werten (13) und (14) bemerkenswert gut übereinstimmt.
Fragen zur Vorbereitung
• Wie hängt (qualitativ) die Temperatur in der Zelle von z ab?
• Warum muß man annehmen, daß an der Grenzschicht der Dicke λ eine
Temperaturdifferenz der Größenordnung ∆T anliegt?
• Was könnte die Rechtfertigung dafür sein, den Reibungsterm in Gleichung
(3) durch den Ausdruck νwhλ −2 abzuschätzen?
• Was berechtigt zu der Annahme wh ∼ uc?

3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 9
Temperatursensor
Temperatursensor
el. Heizung
K ü hlkreislauf
Abbildung 3: Skizze der Konvektionszelle.
3 Versuchsdurchführung
3.1 Versuchsaufbau
Die im Experiment verwendete Konvektionszelle besteht im wesentlichen aus
drei Teilen:
• einer elektrisch beheizbaren Metallplatte an der Unterseite der Zelle
• einer wassergekühlten Metallplatte an der Oberseite
• einem oben und unten offenen Mittelteil aus Plexiglas, der eigentlichen
Konvektionszelle
In Abbildung 3 ist dieser Aufbau skizziert.
Um die Rayleighzahl über eine weiten Bereich variieren zu können, bietet
das Experiment die Möglichkeit, verschiedene Zellen unterschiedlicher Höhe
und/oder unterschiedlicher Geometrie zu verwenden.
Die Höhen der verschiedenen Zellen liegen zwischen 2 und 300 mm. Damit
ist es möglich, die Rayleighzahl im Bereich 500 ≤ Ra ≤ 10 10 zu variieren. Im
Bereich kleiner Rayleighzahlen kommen Zellen mit rechteckiger (5 × 50 mm 2 ),
quadratischer (Kantenlänge 200 mm) und kreisförmiger (Durchmesser 300 mm)
Grundfläche zur Verwendung, deren Höhen 2 bzw. 5 mm betragen. Um höhere
Rayleighzahlen zu erreichen, stehe Zellen mit Höhen von 43, 100 und 290 mm
zur Verfügung. Diese Zellen sind zylindrisch, wobei ihr Durchmesser gleich ihrer
Höhe l0 ist.
3.2 Messung der Nusseltzahl
Ein Ziel dieses Versuchs ist es, die Nusseltzahl Nu in Abhängigkeit der Rayleighzahl
Ra zu bestimmen. Um diese beiden Größen zu ermitteln, mißt man

3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 10
ρ Dichte 1002, 755 exp � −2, 244 10 −4 T � kg
m 3
C spez. Wärmekapazität 4181,8 W s
kgK
α therm. Ausdehnungskoeff. ( 0, 09 T + 0, 3 ) 10−4 1
K
ν kinematische Viskosität 1, 679 10−6 exp � −2, 559 10−2 T �
m2 s
κ Temperaturleitfähigkeit 1, 313 10−7 exp � 4, 25 10−3 T �
m2 s
Tabelle 1: Die wichtigsten Materialparameter von Wasser. Die Temperatur T
ist in Grad Celsius einzusetzen.
die über die elektrische Heizung zugeführte Leistung sowie die Temperaturen
der beiden Metallplatten (letztere mittels temperaturabhängiger Widerstände).
Die Rayleighzahl berechnet sich nach (9) aus der Temperaturdifferenz ∆T
zwischen den beiden Platten und deren Abstabnd l0. Die übrigen Größen, die
in die Berechnung eingehen, sind Materialparameter. In Tabelle 1 finden sich
die wichtigsten Werte für Wasser.
Das Experiment wird gegen seine Umgebung mit Styropor isoliert. Man
kann daher annehmen, daß die der unteren Platte zugeführte Heizleistung vollständig
durch die Zelle zur oberen Platte transportiert wird, also gleich dem
Wärmefluss durch die Zelle ist. Um die Nusseltzahl zu bestimmen, muß dieser
gemessene Wärmefluss noch durch den konduktiven dividiert werden. Der kon-
duktive Wärmefluss errechnet sich aus dem anliegenden Temperaturgradienten
( ∆T ), der Wärmeleitfähigkeit k von Wasser (aus den Werten in Tabelle 1 zu
l0
berechnen) und der Grundfläche F der Zelle.
Nach (8) ist die Rayleighzahl nicht der einzige bestimmende Parameter der
Boussinesq-Gleichungen, die Lösungen dieser Gleichungen hängen außer von
Ra auch noch von der Prandtl-Zahl Pr ab. Die Nusseltzahl wird also im allgemeinen
auch eine Funktion von Pr sein (siehe auch Gleichung (50)). Wie in
Tabelle 1 deutlich wird, sind die Materialparameter ν und κ, die in die Prandtlzahl
eingehen, von der Temperatur abhängig. Da im Verlauf des Experiments
die Temperaturen der Platten geändert werden, um die Rayleighzahl zu variiren,
kann die Prandtlzahl also eigentlich nicht als konstant angesehen werden.
Die Temperaturabhängigkeit von P r ist allerdings schwach; erhöht man die
Temperatur von Wasser von 40 ◦ C um zehn Grad auf 50 ◦ C (das sind für das
Experiment typische Werte), so fällt die Prandtlzahl von 3,88 auf 2,88. Im Vergleich
mit der Rayleighzahl, die im Bereich 10 3 ≤ Ra ≤ 10 10 variiert, kann Pr
in guter Näherung als konstant betrachtet werden.
3.3 Messung der Temperaturfluktuationen
Die Temperatur ist eine wichtige Gröse in diesem Experiment, da sie den Auftriebsterm
in der Boussinesq-Gleichung bestimmt und daher die Bewegung des
Fluides verursacht. Bei hohen Rayleighzahlen Ra fluktuiert die Temperatur
räumlich und zeitlich sehr stark. Daher muß ein Temperatursensor eine hohe
räumliche Auflösung haben und schnell auf zeitliche Schwankungen reagieren

3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 11
können. In diesem Experiment wird ein ” Kalt-Draht“ verwendet. Dies ist ein
kurzer (2 mm) und sehr feiner (20 µm) Wolframdraht. Da Wolfram einen temperaturabhängigen
Widerstand hat, läßt sich z.B. über die abfallende Spannung
auf die Temperatur des umströmenden Wassers zurückschließen. Der Zusammenhang
zwischen dem Widerstand des Drahtes und der Temperatur des
Wassers muß zunächst bestimmt werden. Dazu wird der Widerstand in Wasserbädern
mit bekannter Temperatur bestimmt und es ergibt sich durch eine
lineare Regression mit einigen Stützstellen die gesuchte mathematische Beziehung.
• Temperaturfluktuationen in verschiedenen Höhen messen. Läßt sich daraus
zurückschließen, wie die zeitliche und räumliche Temperaturverteilung
aussieht?
• Spektrum der Temperaturfluktuationen bestimmen.
• Wahrscheinlichkeitsverteilung der Temperaturfluktuationen bestimmen.
3.4 Laborbuch
Für einen besseren Austausch zwischen den einzelnen Gruppen ist ein Laborbuch
vorhanden, in das jede Gruppe hineinschreiben soll. Dieses Laborbuch
beschreibt die durchgeführten Experimnte und ist während des Experimentierens
zu führen. Die Eintragungen können sehr kurz sein, sollten für andere
jedoch leserlich und verständlich sein. Jeder Eintrag beginnt mit dem eigenen
Namen und dem Datum. Zu jedem Experiment wird zunächst die zugrundeliegende
Fragestellung festgehalten. Es folgen die Untersuchungsschritte und die
Antwort auf die Frage (einschließlich der Ergebnisse). Es können auch Mitteilungen
für andere eingetragen werden. Dazu gehören auch Gerätejustierungen.
Die Versuchsbeschreibung endet oft mit Hinweisen auf weitere Experimente.
Checkliste für das Laborbuch
• Für jeden Experimentierschritt ein Eintrag?
• Datum, Name?
• zugrundeliegende Fragestellung bzw. Ziel der Messung?
• Verlauf des Experimentes festgehalten? Abgelesene Meßwerte eintragen
(nicht nur die umgerechneten)? Benutzte Gleichungen aufgeschrieben?
• Ergebnis des Experimentes dargestellt?
• Antwort auf die Fragestellung?
• Mitteilungen für andere? Tipps, Kniffe und Probleme?
• Wichtige Veränderungen im Experiment?

3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 12
• Hinweise auf weitere Experimente?
Das ausformulierte und abzugebene Protokoll ist davon zu unterscheiden.
Hier sei nur eine kurze Checkliste angegeben:
Checkliste für das Protokoll
• Motivation/Einleitung.
• kurzer Umriß der Theorie, (besonders wichtig sind Gleichungen, die für
die Auswertung benutzt werden.).
• Beantworten der Fragen der Versuchsanleitung.
• Beschreiben der Fragestellung bzw. des Ziels des Experimentes.
• Versuchsaufbau beschreiben.
• Ergebnisse darstellen mit Fehlern und Fehlerrechnung.
• Ergebnisse diskutieren, mit Theorie vergleichen.
• aufgetauchte Probleme angeben.
• Fazit, Zusammenfassung.
Dieses Protokoll braucht nicht mehr die Zwischenrechnungen zu enthalten, da
diese auch im Laborbuch zu finden sind.

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS13
4 Anhang: Lineare Stabilitätsanalyse des Rayleigh-
Bénard-Systems
Im Folgenden sollen die Methoden skizziert werden, die es erlauben, das Eintreten
der ersten Instabilitäten in Konvektionssystemen bei kleinen Rayleigh-
Zahlen zu beschreiben. Das Vorgehen dieses Kapitels sei kurz umrissen: Typischerweise
wird von einer Lösung der grundlegenden Bewegungsgleichung ausgegangen.
Hier starten wir mit einer Lösung der Boussinesq-Gleichung, bei der
das Fluid ruht. Diese Lösung wird nun ersetzt durch die Lösung selber mit einer
kleinen Störung. Treten dabei höhere Potenzen der Störung auf, so werden diese
vernachlässigt (lineare Stabilitätsanalyse). Die kleine Störung wird in einer
Fourier-Entwicklung dargestellt. Dadurch ergeben sich Gleichungen, in denen
die Fouriermoden der Form exp[i � k�x+σt] auftreten. Ist der Realteil von σ größer
Null, ℜ(σ) > 0, so wachsen die zugehörigen Fouriermoden exponentiell an, das
System ist intabil.
Betrachtet wird eine in der vertikalen Ebene unendlich ausgedehnte Schicht
eines Fluids der Dicke l0. Diese Ebene, bezeichnet durch die kartesischen Koordinaten
X und Y, liege senkrecht zur Richtung der Erdbeschleunigung, die
Z-Achse antiparallel zu �g. In Z-Richtung wird das Fluid durch zwei Flächen
begrenzt, die untere bei Z = 0 hat die Temperatur T0 + △T , die obere bei
Z = l0 die Temperatur T0 (siehe Abb. 4).
�
�
�
�
� �
� � ����
Abbildung 4: Zur Definition des Koordinatensystems.
Der stationäre Zustand dieses Systems ist denkbar einfach: Das Fluid ist in
Ruhe, d.h.: �vs = 0, und die Temperatur fällt von T0 + ∆T bei Z = 0 linear auf
T0 bei Z = l0 (ist das Fluid in Ruhe, verhält es sich, was die Wärmeleitung
betrifft, wie ein gewöhnlicher Festkörper). Die Temperatur Ts im stationären
Fall läßt sich als Funktion der Koordinate Z also folgendermaßen darstellen:
�
Ts(Z) = T0 + ∆T 1 − Z
�
. (25)
Die mittlere Temperatur < Ts > des stationären Zustands ist einfach T0 + ∆T
2 ,
die Abweichung Θs der Temperatur vom Mittelwert ergibt sich zu
� �
1 Z
Θs(Z) = Ts(Z) − < Ts > = ∆T −
2 l0
l0
(26)

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS14
Für den Druck ps im stationären Fall ergibt sich aus Gleichung (3) mit �vs = 0
der einfache Zusammenhang
0 = − 1
ρ � ∇ps + α g Θs �ez. (27)
Um die Variablen nach (7) dimensionslos zu machen, benutzt man als charakteristische
Länge die Dicke der Schicht l0 und als Temperaturskala die Differenz
∆T der Temperaturen der beiden Begrenzungsflächen. In den dimensionslosen
Variablen gilt nach (26,27) für den stationären Zustand
�us = 0 (28)
θs = 1
− z
2
(29)
0 = −� ∇πs + Pr Ra θs �ez (30)
Um zu untersuchen, ob dieser Zustand überhaupt existieren kann, betrachtet
man die Reaktion des Systems auf kleine Störungen δ�u, δθ und δπ. Ergibt sich
aus den Gleichungen (8), daß solche Störungen nicht gedämpft werden, sondern
mit der Zeit anwachsen, ist (28) kein stabiler Zustand des Systems, er wird
experimentell nie beobachtet werden.
Der Ansatz für das gestörte System lautet also
�u = �us + δ�u = δ�u
θ = θs + δθ
π = πs + δπ (31)
Um nun eine Gleichung für δ�u zu erhalten, geht man mit diesem Ansatz in
die Gleichungen (8) und nutzt zusätzlich die Bedingungen (28, 29, 30) für die
stationäre Lösung. Wichtig ist dabei, daß die Störungen als klein angenommen
werden, was es erlaubt, Terme zu vernachlässigen, in denen diese kleinen Größen
quadratisch vorkommen (also Terme der Form (δ�u· � ∇) δ�u oder auch (δ�u· � ∇) δθ).
Eine einfache Rechnung ergibt
�∇ · δ�u = 0 (32)
∂
∂τ δθ − w = � ∇ 2 δθ (33)
∂
∂τ δ�u = −� ∇ δπ + Pr � ∇ 2 δ�u + Pr Ra δθ �ez
−� ∇ πs + Pr Ra θs �ez , (34)
� �� �
= 0 nach (30)
wobei w die z-Komponente des Vektors δ�u bezeichnet.
Gleichung (34) liefert eine für die weitere Rechnung sehr hilfreiche Beziehung,
wenn man ihre Divergenz berechnet:
�∇ ·
�
∂
∂τ δ�u
�
= ∂
� �
�∇ · δ�u
∂τ
= 0 nach (32)

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS15
= − � ∇ 2 δπ + PrRa � ∇ · (δθ�ez) + � ∇ · (Pr � ∇ 2 δ�u)
= − � ∇ 2 δπ + PrRa � ∇ · (δθ�ez) + Pr � ∇ 2 ( � ∇ · δ�u)
� �� �
= 0
= − � ∇ 2 δπ + PrRa ∂
∂z (δθ)
→ ∇� 2 ∂
(δπ) = PrRa (δθ). (35)
∂z
Da Auftriebskräfte im hier betrachteten System nur in z-Richtung wirken (siehe
Gleichung (34)), ist zu erwarten, daß Instabilitäten aufgrund dieses Terms
zunächst auch in der z-Komponente der Geschwindigkeit auftreten. Die weiteren
Betrachtungen werden sich daher auch auf die Betrachtung dieser Komponente
beschränken. Wendet man auf die z-Komponente der Gleichung (34)
� ∂
∂τ − Pr � ∇ 2
den Laplace-Operator an, so erhält man:
�∇ 2
�
∂
∂τ − Pr � ∇ 2
�
�
w = − ∂
δπ + Pr Ra δθ (36)
∂z
w = − � 2 ∂
∇
∂z δπ + Pr Ra � ∇ 2 δθ
= − ∂
(35)
= − ∂
∂z
∂z � ∇ 2 δπ + Pr Ra � ∇ 2 δθ
�
∂2 = Pr Ra
�
Pr Ra ∂
∂z δθ
∂2
+
∂x2 ∂y2 � �
∂2 + Pr Ra
∂x2 +
∂2
∂y2 ∂2
+
∂z2 �
�
δθ
δθ (37)
Zusammen mit Gleichung (33) stellt sich nun also das Problem, folgendes Gleichungssystem
zu lösen:
�∇ 2
�
∂
∂τ − Pr � ∇ 2
�
�
∂2 ∂2
w = Pr Ra +
∂x2 ∂y2 �
δθ
�
∂
∂τ − � ∇ 2
�
δθ = w. (38)
Zuvor muß man sich allerdings über die Randbedingungen klar werden. Für
die Temperaturfluktuationen δθ ist das sehr einfach; da die Temperaturen der
Begrenzungsflächen auf konstanten Werten gehalten werden lauten sie
δθ(z = 0) = δθ(z = 1) = 0. (39)
Da die Begrenzungen als starr angenommen werden, muß dort auch das Geschwindigkeitsfeld
verschwinden,
w(z = 0) = w(z = 1) = 0. (40)

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS16
Für ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung ist eine weitere Randgedingung
nötig. Die in der folgenden Rechnung verwendete lautet
� � � �
∂2 ∂2 w = w = 0 (41)
∂z2 ∂z2 z=0
Ohne eine Herleitung zu geben sei hier erwähnt, daß diese Randbedingungen eine
Grenzfläche beschreiben, an der Reibungskräfte zu vernachlässigen sind. Das
im vorliegenden Versuch untersuchte System entspricht diesen Randbedingungen
nicht, die Rechnung mit realistischen Randbedingungen ist jedoch erheblich
aufwendiger. Die relevanten Ergebnisse lassen sich, wenigstens qualitativ, aber
auch mit obigen Randbedingungen gewinnen.
Es erweist sich als günstig, die gesuchten Größen in Fourierdarstellung zu
verwenden:
z=1
i (kxx+kyy) + pτ
w = W (z) e
δθ = ˜ θ(z) e i (kxx+kyy) + pτ . (42)
(42) ist keine vollständige Fourierdarstellung der gesuchten Größen. Da jedoch
die Gleichungen (38) linear in w und δθ sind, entkoppeln die einzelnen Moden
und können einzeln betrachtet werden (der obige Ansatz wäre für nichtlineare
Gleichungen wie etwa (8) unzulässig). Ziel der linearen Stabilitätsanalyse ist
es, die Mode zu finden, die ” als erste“, d.h.: bei der kleinsten Rayleigh-Zahl,
instabil wird. Ob eine Mode stabil oder instabil ist, hängt vom Wert der Zeitkonstanten
p ab. Ist p kleiner als Null, klingt die Mode in der Zeit exponentiell
ab, ist p größer als Null, wächst sie exponntiell. Mit anderen Worten: bei kleinen
Rayleighzahlen, wo stabiles Verhalten erwartet werden kann, sollte p negativ
sein, bei großen Werten von Ra dann positiv. Beim Auftreten der ersten Instabilitäten
sollte p also von negativen auf positive Werte umschlagen. Es ist also
ausreichend, im Folgenden Lösungen zu suchen, für die p = 0 gilt.
Die Funktionen W (z) und ˜ θ(z) werden in diskreter Fourierzerlegung dargestellt.
Aus den gewählten Randbedingungen folgt sofort:
W (z) = An sin(nπz)
˜θ(z) = Bn sin(nπz), (43)
wobei n eine ganze Zahl größer Null ist. Wie auch schon in (42) ist dieser Ansatz
nicht vollständig, eigentlich müßte über alle n summiert werden. Analoge
Argumente wie oben erlauben es jedoch, die Betrachtungen auf eine Mode zu
beschränken.
Aus (42, 43) folgt:
� ∂ 2
∂2
+
∂x2 ∂y2 ∂
δθ = p δθ
∂τ
∂
w
∂τ
�
= p w
δθ = a 2 δθ

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS17
�∇ 2 δθ = − (a 2 + n 2 π 2 ) δθ
�∇ 2 w = − (a 2 + n 2 π 2 ) w,
mit: a 2 = k 2 x + k 2 y (44)
Eingesetzt in (38) führt dieser Ansatz zu folgendem algebraischen Gleichungssystem:
� p + Pr a 2 + Pr n 2 π 2 � � a 2 + n 2 π 2 � w − Pr Ra a 2 δθ = 0
w − � p a 2 + n 2 π 2 � δθ = 0 (45)
Damit dieses Gleichungssystem eine Lösung haben kann, muß die Determinante
der Matrix
⎛
⎝
�
p + Pr a2 + Pr n2 π2 � � a2 + n2 �
π2 1
Pr Ra a 2
� p a 2 + n 2 π 2 �
verschwinden. Diese Bedingung stellt einen Zusammenhang zwischen Ra, a und
n her. Er lautet (für p = 0):
Ra(a) =
� n 2 π 2 + a 2 � 3
⎞
⎠
a 2 . (46)
Gleichung (46) bestimmt die Rayleighzahl, bei der die n-te Mode des Wellenvektors
a instabil wird. Um den niedrigsten Wert von Ra zu finden, bei dem
das System instabil werden kann, muß Ra nun noch bezüglich n und a minimiert
werden. Man sieht unmittelbar, daß die Minimierung bezüglich n den
Wert n = 1 ergibt. Das Minimum für Ra bezüglich a bei n = 1 ergibt sich nach
einfacher Rechnung zu:
Rac =
a 2 c
= π2
2
27 π4
4
≈ 657, 5
≈ 4, 935. (47)
Wie bereits erwähnt, sind die oben betrachteten Randbedingungen experimentell
nicht gegeben. Führt man die Rechnung mit realistischen Randbedingungen
durch, ergibt sich jedoch qualitativ nichts neues. Man erhält eine Bedingung für
die Lösbarkeit der Gleichungen, analog zu Gleichung (46). Minimierung nach a
und n liefert in diesem Fall folgende Werte für den Einsatz von Instabilitäten
[6]:
Rac ≈ 1708
a 2 c ≈ 3.12. (48)
Diese Werte werden auch experimentell gefunden.
Die Vorhersagen der linearen Stabilitätsanalyse beschränkt sich auf den Einsatz
der ersten Instabilität und deren Wellenzahl. Um Informationen über das

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS18
Verhalten des Systems bei höheren Rayleighzahlen oder über die Abhängigkeit
der Nusseltzahl Nu von Ra zu erhalten, muß man Störungsrechnung betreiben.
Man definiert dazu den Kontrollparameter ɛ:
�
Ra
ɛ = − 1 (49)
Rac
und entwickelt alle interessierenden Größen in einer Taylorreihe um ɛ = 0, d.h.
um den Punkt, an dem das System instabil wird.
Diese sog. schwach nichtlineare Störungsrechnung liefert für die Nusseltzahl
folgendes Ergebnis:
Nu(ɛ) = 1 +
ɛ2 a − b
Pr + c
Pr2 mit: a = 0, 69942
b = 0, 00472
c = 0, 008321
(50)
Theoretisch Interessierte finden weiterführende Literatur zu diesem Thema in
[5] und [6].

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS19
Fragen zur Vorbereitung
• Warum bedient man sich der linearen Stabilitätsanalyse, anstatt das Gleichungssystem
(8) direkt zu untersuchen?
• Warum ist der Ansatz (42) zulässig?
• Warum bedient man sich für die x- und die y-Koordinate der Geschwindigkeit
der kontinuierlichen Fouriertransformation, für die z-komponente
aber der diskreten?
• Welcher Mechanismus verhindert, daß das System nicht schon bei sehr
viel kleineren Rayleighzahlen instabil wird?
• Wie kann man sich also erklären, daß sich im betrachteten Fall (Grenzflächen
ohne Reibung) ein zu kleiner Wert für die kritische Rayleighzahl
ergibt?
• Durch welche einfache Maßnahme kann das System auch für unendlich
hohe Rayleighzahlen stabilisiert werden?
• Welcher Mechanismus liegt dem Wärmetransport in konvektiven Strömungen
zugrunde [3]?
• Wie hängt die Temperatur bei Rayleigh-Bénard-Konvektion von der z-
Koordinate ab (qualitativ) [3]?
• Welcher physikalische Effekt liegt der Konvektion im offenen Bénard-
System zugrunde [3]?

LITERATUR 20
Literatur
[1] G. Ahlers, S. Großmann und D. Lohse, Physik Journal, vol 2, pp 31-37,
2001
[2] H. Vogel, Gerthsen Physik, Springer 1995, 18 Auflage
[3] D.J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Clarendon Press, 1988
• Kap. 4.4, ” Freie Konvektion zwischen parallelen Platten; Konvektion
in horizontalen Schichten“
• Kap. 14.5, ” Konvektion; freie Konvektion: Grundlagen“
• Kap. 15.4, ” Stratified Flow; interne Wellen“
• Kap. 17.4, ” Instabilitäten; das Prinzip der linearen Theorie von hydrodynamischen
Stabilitäten“
• Kap. 22, ” Konvektion in horizontalen Schichten“
• Kap. 22.2, ” Konvektion in horizontalen Schichten; Einsatz der Konvektion“
• Kap. 24.7, ” dynamisches Chaos; Implikationen für den Übergang in die
Turbulenz“
• Kap. 26.2, 26.5, 26.6, Anwendungen
[4] B. Castaing et al, Scaling of hard thermal turbulence in Rayleigh-
Benard convection, J. Fluid Mech., vol 204, pp1-30,1989
[5] H.L. Swinney, J.P. Gollub (Hrsgb.), Topics in Applied Physics, Springer
1981
[6] J.K. Bhattacharjee, Convection and Chaos in Fluids, World Scientific
Publishing Co., 1987
[7] H. Eckelmann, Einführung in die Strömungsmeßtechnik, Teubner
1997