Rayleigh-Bénard-Konvektion

4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS15
= − � ∇ 2 δπ + PrRa � ∇ · (δθ�ez) + � ∇ · (Pr � ∇ 2 δ�u)
= − � ∇ 2 δπ + PrRa � ∇ · (δθ�ez) + Pr � ∇ 2 ( � ∇ · δ�u)
� �� �
= 0
= − � ∇ 2 δπ + PrRa ∂
∂z (δθ)
→ ∇� 2 ∂
(δπ) = PrRa (δθ). (35)
∂z
Da Auftriebskräfte im hier betrachteten System nur in z-Richtung wirken (siehe
Gleichung (34)), ist zu erwarten, daß Instabilitäten aufgrund dieses Terms
zunächst auch in der z-Komponente der Geschwindigkeit auftreten. Die weiteren
Betrachtungen werden sich daher auch auf die Betrachtung dieser Komponente
beschränken. Wendet man auf die z-Komponente der Gleichung (34)
� ∂
∂τ − Pr � ∇ 2
den Laplace-Operator an, so erhält man:
�∇ 2
�
∂
∂τ − Pr � ∇ 2
�
�
w = − ∂
δπ + Pr Ra δθ (36)
∂z
w = − � 2 ∂
∇
∂z δπ + Pr Ra � ∇ 2 δθ
= − ∂
(35)
= − ∂
∂z
∂z � ∇ 2 δπ + Pr Ra � ∇ 2 δθ
�
∂2 = Pr Ra
�
Pr Ra ∂
∂z δθ
∂2
+
∂x2 ∂y2 � �
∂2 + Pr Ra
∂x2 +
∂2
∂y2 ∂2
+
∂z2 �
�
δθ
δθ (37)
Zusammen mit Gleichung (33) stellt sich nun also das Problem, folgendes Gleichungssystem
zu lösen:
�∇ 2
�
∂
∂τ − Pr � ∇ 2
�
�
∂2 ∂2
w = Pr Ra +
∂x2 ∂y2 �
δθ
�
∂
∂τ − � ∇ 2
�
δθ = w. (38)
Zuvor muß man sich allerdings über die Randbedingungen klar werden. Für
die Temperaturfluktuationen δθ ist das sehr einfach; da die Temperaturen der
Begrenzungsflächen auf konstanten Werten gehalten werden lauten sie
δθ(z = 0) = δθ(z = 1) = 0. (39)
Da die Begrenzungen als starr angenommen werden, muß dort auch das Geschwindigkeitsfeld
verschwinden,
w(z = 0) = w(z = 1) = 0. (40)