Rayleigh-Bénard-Konvektion

3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 10
ρ Dichte 1002, 755 exp � −2, 244 10 −4 T � kg
m 3
C spez. Wärmekapazität 4181,8 W s
kgK
α therm. Ausdehnungskoeff. ( 0, 09 T + 0, 3 ) 10−4 1
K
ν kinematische Viskosität 1, 679 10−6 exp � −2, 559 10−2 T �
m2 s
κ Temperaturleitfähigkeit 1, 313 10−7 exp � 4, 25 10−3 T �
m2 s
Tabelle 1: Die wichtigsten Materialparameter von Wasser. Die Temperatur T
ist in Grad Celsius einzusetzen.
die über die elektrische Heizung zugeführte Leistung sowie die Temperaturen
der beiden Metallplatten (letztere mittels temperaturabhängiger Widerstände).
Die Rayleighzahl berechnet sich nach (9) aus der Temperaturdifferenz ∆T
zwischen den beiden Platten und deren Abstabnd l0. Die übrigen Größen, die
in die Berechnung eingehen, sind Materialparameter. In Tabelle 1 finden sich
die wichtigsten Werte für Wasser.
Das Experiment wird gegen seine Umgebung mit Styropor isoliert. Man
kann daher annehmen, daß die der unteren Platte zugeführte Heizleistung vollständig
durch die Zelle zur oberen Platte transportiert wird, also gleich dem
Wärmefluss durch die Zelle ist. Um die Nusseltzahl zu bestimmen, muß dieser
gemessene Wärmefluss noch durch den konduktiven dividiert werden. Der kon-
duktive Wärmefluss errechnet sich aus dem anliegenden Temperaturgradienten
( ∆T ), der Wärmeleitfähigkeit k von Wasser (aus den Werten in Tabelle 1 zu
l0
berechnen) und der Grundfläche F der Zelle.
Nach (8) ist die Rayleighzahl nicht der einzige bestimmende Parameter der
Boussinesq-Gleichungen, die Lösungen dieser Gleichungen hängen außer von
Ra auch noch von der Prandtl-Zahl Pr ab. Die Nusseltzahl wird also im allgemeinen
auch eine Funktion von Pr sein (siehe auch Gleichung (50)). Wie in
Tabelle 1 deutlich wird, sind die Materialparameter ν und κ, die in die Prandtlzahl
eingehen, von der Temperatur abhängig. Da im Verlauf des Experiments
die Temperaturen der Platten geändert werden, um die Rayleighzahl zu variiren,
kann die Prandtlzahl also eigentlich nicht als konstant angesehen werden.
Die Temperaturabhängigkeit von P r ist allerdings schwach; erhöht man die
Temperatur von Wasser von 40 ◦ C um zehn Grad auf 50 ◦ C (das sind für das
Experiment typische Werte), so fällt die Prandtlzahl von 3,88 auf 2,88. Im Vergleich
mit der Rayleighzahl, die im Bereich 10 3 ≤ Ra ≤ 10 10 variiert, kann Pr
in guter Näherung als konstant betrachtet werden.
3.3 Messung der Temperaturfluktuationen
Die Temperatur ist eine wichtige Gröse in diesem Experiment, da sie den Auftriebsterm
in der Boussinesq-Gleichung bestimmt und daher die Bewegung des
Fluides verursacht. Bei hohen Rayleighzahlen Ra fluktuiert die Temperatur
räumlich und zeitlich sehr stark. Daher muß ein Temperatursensor eine hohe
räumliche Auflösung haben und schnell auf zeitliche Schwankungen reagieren