Rayleigh-Bénard-Konvektion

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4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS15 = − � ∇ 2 δπ + PrRa � ∇ · (δθ�ez) + � ∇ · (Pr � ∇ 2 δ�u) = − � ∇ 2 δπ + PrRa � ∇ · (δθ�ez) + Pr � ∇ 2 ( � ∇ · δ�u) � �� = 0 = − � ∇ 2 δπ + PrRa ∂ ∂z (δθ) → ∇� 2 ∂ (δπ) = PrRa (δθ). (35) ∂z Da Auftriebskräfte im hier betrachteten System nur in z-Richtung wirken (siehe Gleichung (34)), ist zu erwarten, daß Instabilitäten aufgrund dieses Terms zunächst auch in der z-Komponente der Geschwindigkeit auftreten. Die weiteren Betrachtungen werden sich daher auch auf die Betrachtung dieser Komponente beschränken. Wendet man auf die z-Komponente der Gleichung (34) � ∂ ∂τ − Pr � ∇ 2 den Laplace-Operator an, so erhält man: �∇ 2 � ∂ ∂τ − Pr � ∇ 2 � � w = − ∂ δπ + Pr Ra δθ (36) ∂z w = − � 2 ∂ ∇ ∂z δπ + Pr Ra � ∇ 2 δθ = − ∂ (35) = − ∂ ∂z ∂z � ∇ 2 δπ + Pr Ra � ∇ 2 δθ � ∂2 = Pr Ra � Pr Ra ∂ ∂z δθ ∂2 + ∂x2 ∂y2 � � ∂2 + Pr Ra ∂x2 + ∂2 ∂y2 ∂2 + ∂z2 � � δθ δθ (37) Zusammen mit Gleichung (33) stellt sich nun also das Problem, folgendes Gleichungssystem zu lösen: �∇ 2 � ∂ ∂τ − Pr � ∇ 2 � � ∂2 ∂2 w = Pr Ra + ∂x2 ∂y2 � δθ � ∂ ∂τ − � ∇ 2 � δθ = w. (38) Zuvor muß man sich allerdings über die Randbedingungen klar werden. Für die Temperaturfluktuationen δθ ist das sehr einfach; da die Temperaturen der Begrenzungsflächen auf konstanten Werten gehalten werden lauten sie δθ(z = 0) = δθ(z = 1) = 0. (39) Da die Begrenzungen als starr angenommen werden, muß dort auch das Geschwindigkeitsfeld verschwinden, w(z = 0) = w(z = 1) = 0. (40)
4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALYSE DES RAYLEIGH-B ÉNARD-SYSTEMS16 Für ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung ist eine weitere Randgedingung nötig. Die in der folgenden Rechnung verwendete lautet � � � � ∂2 ∂2 w = w = 0 (41) ∂z2 ∂z2 z=0 Ohne eine Herleitung zu geben sei hier erwähnt, daß diese Randbedingungen eine Grenzfläche beschreiben, an der Reibungskräfte zu vernachlässigen sind. Das im vorliegenden Versuch untersuchte System entspricht diesen Randbedingungen nicht, die Rechnung mit realistischen Randbedingungen ist jedoch erheblich aufwendiger. Die relevanten Ergebnisse lassen sich, wenigstens qualitativ, aber auch mit obigen Randbedingungen gewinnen. Es erweist sich als günstig, die gesuchten Größen in Fourierdarstellung zu verwenden: z=1 i (kxx+kyy) + pτ w = W (z) e δθ = ˜ θ(z) e i (kxx+kyy) + pτ . (42) (42) ist keine vollständige Fourierdarstellung der gesuchten Größen. Da jedoch die Gleichungen (38) linear in w und δθ sind, entkoppeln die einzelnen Moden und können einzeln betrachtet werden (der obige Ansatz wäre für nichtlineare Gleichungen wie etwa (8) unzulässig). Ziel der linearen Stabilitätsanalyse ist es, die Mode zu finden, die ” als erste“, d.h.: bei der kleinsten <strong>Rayleigh</strong>-Zahl, instabil wird. Ob eine Mode stabil oder instabil ist, hängt vom Wert der Zeitkonstanten p ab. Ist p kleiner als Null, klingt die Mode in der Zeit exponentiell ab, ist p größer als Null, wächst sie exponntiell. Mit anderen Worten: bei kleinen <strong>Rayleigh</strong>zahlen, wo stabiles Verhalten erwartet werden kann, sollte p negativ sein, bei großen Werten von Ra dann positiv. Beim Auftreten der ersten Instabilitäten sollte p also von negativen auf positive Werte umschlagen. Es ist also ausreichend, im Folgenden Lösungen zu suchen, für die p = 0 gilt. Die Funktionen W (z) und ˜ θ(z) werden in diskreter Fourierzerlegung dargestellt. Aus den gewählten Randbedingungen folgt sofort: W (z) = An sin(nπz) ˜θ(z) = Bn sin(nπz), (43) wobei n eine ganze Zahl größer Null ist. Wie auch schon in (42) ist dieser Ansatz nicht vollständig, eigentlich müßte über alle n summiert werden. Analoge Argumente wie oben erlauben es jedoch, die Betrachtungen auf eine Mode zu beschränken. Aus (42, 43) folgt: � ∂ 2 ∂2 + ∂x2 ∂y2 ∂ δθ = p δθ ∂τ ∂ w ∂τ � = p w δθ = a 2 δθ
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