Rayleigh-Bénard-Konvektion

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 3
α ist der thermische Ausdehnungskoeffizient ([α] = 1
K ), �g die Erdbeschleunigung.
Gleichung (3) wird als Boussinesq Näherung“ bezeichnet. Der im Ver-
”
gleich zur Gleichung (1) neu auftretende Term beschreibt die Auftriebskraft.
Der Deutlichkeit halber sei nochmals darauf hingewiesen, daß θ nicht die absolute
Temperatur, sondern die Abweichung der Temperatur von ihrem Mittelwert
bezeichnet: Θ = T − 〈T 〉.
Gleichung (3) ist unterbestimmt, da mit der Temperatur eine neue Größe
im Vergleich zu der Navier-Stockes-Gleichung auftaucht. Eine Gleichung für
die Temperatur T (bzw. die Temperaturschwankung Θ) muß hinzugenommen
werden. Es wird angenommen, daß die Wärmekapazität pro Einheitsvolumen,
ρCp, konstant ist. Dann ist ρCp dT
dt die Erwärumungsrate pro Einheitsvolumen.
Diese Wärme wird einem Volumenelement durch Wärmeleitung
�H = −k � ∇T (4)
zugeführt, wobei k die thermische Leitfähigkeit bezeichent (Wärmeproduktion
innerhalb der Strömung wird hier nicht betrachtet). Da die Erwärmungsrate
gleich dem Wärmestrom in ein Volumenelement ist, ergibt sich
dT
ρCp
dt = − � ∇ · � H (5)
oder ausgeschrieben
∂T
∂t + (�v · � ∇)T = κ� ∇ 2 T, (6)
wobei κ = k/ρCp die thermische Diffusivität (bzw. die thermometrische Leitfähigkeit)
ist. Da 〈T 〉 eine Konstante ist, gilt Gleichung (6) auch für die Temperaturschwankungen
Θ.
Einige Interessante Eigenschaften des Gleichungssystems (2,3,6) ergeben
sich bereits aus der dimensionslosen Form der Gleichungen. Man benutzt dazu
eine für das betrachtete System typische Längenskala l0 und eine typische
Temperaturskala (bzw. Temperaturdifferenz) △T . (Bei Konvektionsexperimenten
liegt es nahe, als Längenskala den vertikalen Abstand zwischen den beiden
Platten und als Temperaturskala die Differenz der Temperaturen der beiden
Platten zu verwenden.) In den dimensionslosen Größen
lauten die Gleichungen
�u = l0
κ �v
�x = 1
�r
θ =
l0
1
△T Θ
τ = κ
l2 t
0
π =
l2 0
p
ρκ2 (7)
∂
∂τ �u(�x, τ) + (�u · � ∇)�u(�x, τ) = Pr � ∇ 2 �u(�x, τ) − � ∇π − Ra Pr θ�eg