Rayleigh-Bénard-Konvektion

Empfehlungen

Info

1 EINLEITUNG 1 1 Einleitung Wärmetransportphänomene in fluiden Medien spielen in vielen Bereichen von Wissenschaft und Technik eine wichtige Rolle, so z.B. in der Geophysik bei der Beschreibung von Vorgängen im flüssigen Mantel der Erde, in der Astrophysik bei der Modellierung von Sternen oder in der Technik bei der Wärmeabstrahlung einer jeden Raumheizung. All diesen Systemen ist gemeinsam, daß der Wärmetransport in ihnen um ein Vielfaches höher ist als der unter vergleichbaren Bedingungen in einem Festkörper. An Stelle des konduktiven Wärmetransportes, der in einem Festkörper vorliegt (und bei dem der Wärmefluß durch ein bestimmtes Volumen direkt proportional zum anliegenden Temperaturgradienten ist), tritt also in diesen Fällen ein grundsätzlich anderer (und sehr viel effektiverer) Transportmechanismus. Der vorliegende Praktikumsversuch will einen ersten Einblick in diese Transportmechanismen vermitteln. Das dazu untersuchte experimentelle System ist ein sog. Konvektionsexperiment: Wir betrachten ein Fluid (in diesem Fall Wasser) in einer Zelle, deren Unterseite erwärmt und deren Oberseite gekühlt wird. Die unteren, warmen Schichten des Fluids dehnen sich aus und erfahren aufgrund ihrer verringerten Dichte Auftriebskräfte, die schließlich eine Strömung, die Konvektionsströmung, in Gang setzen. Ist die Temperaturdifferenz zwischen der unteren und der oberen Seite der Zelle gering, bilden sich regelmäßige Strukturen, die sog. Konvektionsrollen, mit steigendem Temperaturgradienten wird die Strömung dann zusehends unregelmäßiger und schließlich turbulent. Das Experiment bietet die Möglichkeit, über diesen gesamten Bereich hinweg den Wärmefluss durch die Zelle als Funktion des anliegenden Temperaturgradienten zu messen. Die gewonnen Messergebnisse sollen dann auf dem Hintergrund theoretischer Vorhersagen interpretiert werden. Die hierfür notwendigen Grundlagen können im Rahmen dieser Praktikumsanleitung nur grob umrissen werden, eine gründliche Einarbeitung in das Themengebiet anhand der angegebenen Literaturstellen und der am Ende eines jeden Kapitels gestellten Verständnisfragen ist daher unerläßlich und wird dringend empfohlen.
2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Die Hydrondynamischen Grundgleichungen • Rayleigh-Bénard-Konvektion • Navier-Stokes-Gleichung • Boussinesq Näherung • Wärmetransport-Gleichung • dimensionslose Gleichung • Rayleighzahl, Prandtlzahl, Nusseltzahl • konduktive und konvektive Wärmetransport Betrachten wir zunächst den Fall einer Strömung, in der von einem Temperaturgradienten erzeugte Auftriebskräfte keine Rolle spielen. Das Geschwindigkeitsfeld �v(�r, t) einer solchen Strömung wird durch die Navier-Stokes- Gleichung (1) beschrieben [2, 3], ∂ ∂t �v(�r, t) + (�v · � ∇)�v(�r, t) = ν � ∇ 2 �v(�r, t) − 1 ρ � ∇p. (1) Gleichung (1) ist im Grunde nichts anderes als die Newtonsche Bewegungsgleichung für ein sich im Geschwindigkeitsfeld �v(�r(t), t) bewegendes Volumen dV . Die Terme der linken Seite entsprechen der totalen Zeitableitung des Geschwindigkeitsfeldes �v(�r(t), t), die Terme der rechten Seite geben die auf das Volumenelement dV wirkenden Kräfte wieder: 1 ρ � ∇p die aufgrund von Druckgradienten wirkenden Kräfte (ρ bezeichnet die Dichte des Fluids), ν � ∇ 2 �v(�r, t) die Reibungskräfte (ν ist die sogenannte kinematische Viskosität; sie hängt mit der besser bekannten dynamischen Viskosität η über ν = η/ρ zusammen, ihre Einheit ist [ν] = m2 s ). In (1) tritt neben den drei Komponenten des Vektors �v(�r, t) noch eine vierte Unbekannte, der Druck p auf, das Gleichungssystem ist also unterbestimmt. Es wird durch die Kontinuitätsgleichung (2) vervollständigt, die hier für den Fall = 0) formuliert ist: inkompressibler Fluide ( dρ dt �∇ · �v(�r, t) = 0. (2) Auftriebskräfte, die aufgrund von Temperaturschwankungen θ entstehen, sind in (1) noch nicht berücksichtigt. Die auf ein Volumenelement wirkende Auftriebskraft ist proportional zu der Differenz zwischen seiner eigenen Dichte und der mittleren Dichte. In erster Näherung ist diese Differenz der Dichten proportional zur Abweichung der Temperatur des Volumenelements vom Mittelwert (Boussinesq-Näherung): ∂ ∂t �v(�r, t) + (�v · � ∇)�v(�r, t) = ν � ∇ 2 �v(�r, t) − 1 ρ � ∇p − α Θ�g. (3)
Seite 1: Universität Oldenburg Fachbereich
Seite 5 und 6: 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 4 ∂θ
Seite 7 und 8: 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 6 Abbildu
Seite 9 und 10: 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 8 Abbildu
Seite 11 und 12: 3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 10 ρ Dicht
Seite 13 und 14: 3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 12 • Hinw
Seite 15 und 16: 4 ANHANG: LINEARE STABILITÄTSANALY
Seite 21: LITERATUR 20 Literatur [1] G. Ahler

Rayleigh-Bénard-Konvektion

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?