Rayleigh-Bénard-Konvektion

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 6
Abbildung 1: Skizze zur Modellvorstellung.
• eine sog. Mischungszonen der Dicke dm zwischen den beiden anderen Regionen.
Abbildung 1 illustriert dieses Modell.
In der Zentralregion wird eine homogene und isotrope Strömung angenommen.
Ihre typische Geschwindigkeitsskala sei uc, die typiche Längenskala L und
die Größenordnung typischer Temperaturfluktuationen △c. Aus einer einfachen
Dimensionsanlyse kann man folgenden Zusammenhang abschätzen:
uc ∼ � α g L △c. (15)
” ∼“ bedeutet in diesem Zusammenhang in der Größenordnung von“.
”
Auch für den Zusammenhang zwischen uc und Ra wird ein Potenzgesetz
angenommen:
uc ∼ ν
L Raɛ , (16)
wobei ɛ zunächst unbestimmt bleibt.
Eine weitere Annahme besagt, daß in der Zentralregion der Wärmetransort
vorwiegend von turbulenten Prozessen bestimmt wird, konduktiver Wärmetransport
dagegen zu vernachlässigen sein sollte. Hauptursache des Wärmeflusses
in der Zentralregion ist der Transport warmer Volumina in der Strömung.
Für die z-komponente der Wärmestromdichte jz läßt sich, wiederum aus einer
Dimensionsanalyse, folgende Abschätzung treffen:
jz ∼ uc △c (17)
Aufgrund der Randbedingungen für die Temperatur (die Begrenzungsflächen
haben überall dieselbe, konstante Temperatur) wird man erwarten können, daß
jz im zeitlichen Mittel nicht von den Ortskoordinaten x und y abhängt. Da im
Inneren der Zelle Wärme weder erzeugt noch vernichtet wird, die an der Unterseite
der Zelle zugeführte Wärme also vollständig zur Oberseite transportiert