4. Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung eines ...

4. Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung
eines Kondensators; Kapazität eines Kondensators
Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung eines Plattenkondensators
Kapazität eines Kondensators
Überlegung:
Eine positive Probeladung Q wird aufgrund des elektrischen Feldes
zur negativen Platte gezogen.
Für die Zeitspanne t kann der Plattenkondensator als Widerstand
angesehen werden, da die Ladung genau die Zeit t benötigt um vom
+ zum – Pol zu gelangen. Die elektrische Arbeit W = U · I · t = U · Q
wird daher verrichtet. In diesem Fall (homogenes Feld) ist diese
gleich der Arbeit der Feldkraft.
U · Q = Q · E · d
U
E =
d
Bei verschiedenen Spannungen ergaben sich folgende Wertepaare:
Versuch:
Eine Kondensator wird mit
Gleichspannung aufgeladen. Sie
besitzt nun die Ladung Q und wird
nun von der Spannungsquelle
getrennt, um zu verhindern, dass
weitere Elektronen nachfließen.
Die Kondensatorplatte wird nun
über ein Ladungsmessgerät
entladen.
U in V 25 50 75 100
Q in nA s 16 32 48 65
Daraus ergibt sich: Q ist proportional zu U, also Q / U = konst.
Definition der Kapazität eines Kondensators:
Q
C = Einheit: [C] = 1 As V
U
-1 = 1 F
Zu Ehren von Michael Faraday wird diese Einheit auch 1 Farad (1 F) genannt.
Die Einheit 1 F ist sehr groß. Bei technischen Kondensatoren verwendet man daher meist kleinere Einheiten:
1 Mikrofarad = 1ìF = 1 · 10 -6 F
1 Nanofarad = 1nF = 1 · 10 -9 F
1 Pikofarad = 1pF = 1 · 10 -12 F

Kapazität eines Plattenkondensators in Abhängigkeit der geometrischen Größe
(Geom. Größen: Länge; Breite; Höhe)
Zusammenhang zwischen Kapazität und Plattenfläche:
Durch Überlegung kommt man zur anschließend aufgeführten Schlussfolgerung:
Die Kapazität eines Plattenkondensators (C) ist bei konstanter Spannung und konstantem Plattenabstand direkt
proportional zur Plattenfläche (A), da sich bei doppelter Fläche die doppelte Ladung ergibt.
C ∼ A
Diese Tatsache kann experimentell nachgewiesen werden.
Zusammenhang zwischen Kapazität und Plattenabstand (d):
U
d
Überlegung: E = ⇒ U = E ⋅d
;
Versuch:
C =
Q
U
Q
⇒ C =
E ⋅d
An einen Plattenkondensator der Fläche A = 8,1dm² wird bei verschiedenen Abständen (d) der
Kondensatorplatten eine konstante Spannung U = 50V angelegt. Dabei wird jeweils die sich auf dem
Kondensator befindende Ladung Q gemessen:
d ‰ mm -1 2,0 3,0 4,0
Q ‰ 10 -8 As 1,5 1,0 0,7
C=Q/U‰ 10 -10 F 3,0 2,0 1,4
C*d ‰ 10 -10 mmF 6,0 6,0 5,6
⇒ C ∼ 1/d
Kapazität eines Plattenkondensators:
Insgesamt kann nun gefolgert werden:
Aus C∼A bei konstantem d
Und C∼1/d bei konstantem A
Folgt C∼A/d
C 0 ε
A
d
= (Kapazität eines Plattenkondensators im Vakuum oder in der Luft)

ε0 entspricht der beim Coulomb – Gesetz vorkommenden elektrischen
Feldkonstante und hängt nicht vom verwendetem Kondensator ab:
ε0 = 8,8542*10 -12 CV -1 m -1
Die Kapazität eines Kondensators kann durch die Dielektrizitätskonstante εr erweitert werden, wobei εr vom
verwendetem Material abhängt.
A
C r
d
⋅ ⋅ = ε ε0 Beispiele für relative Dielektrizitätszahlen:

Aufgaben
S. 27:
1. geg.: U= 2,5 kV
a) geg.: QP= 6,4 ·10 -8 C; ges.: Wel
Wel= U · QP = 2500V · 6,4 ·10 -8 C = 1,6 ·10 -4 J
b) geg.: d= 3,5mm = 0,0035m ; ges.: E
E= U / d = 2500V / 0,0035m = 7,1·10 5 V / m
2. geg.: Q > 0 ; Bezugsniveau von Ep : negative Platte
ges.: Beweis: Ek an negativer Platte = Q · U
Ek = Ep+ = Q · E · s ; E = U / d ; s d
= Q · (U / d) · d = Q · U
3. geg.: Qe= 1,6 ·10 -19 C; U= 2,0kV=2000V; d=4,0 cm
a) geg.: Q > 0; x= 1,0cm(0 cm; 2,5 cm; 4 cm) ; s= d – x; m= 1,67 ·10 -27 kg;
ges.: Ep
Ep= Q · s · U / d = 1,6 ·10 -19 C · s · 2000V / 4cm
für s = 3,0cm Ep= 2,4 ·10 -16 J
für s = 4cm Ep= 3,2 ·10 -16 J
für s = 1,5cm Ep= 1,2 ·10 -16 J
für s = 0cm Ep= 0 J
zu b) v = (2·Ep x/m) 1/2 =(2· 1,2 ·10 -16 J / 1,67 ·10 -27 kg) 1/2 = 3,8 · 10 5 m/s
b) geg.: x= 1,5cm
ges.: v
Ep x= Ek = ½ · m · v 2
v = (2·Ep x / m) ½
Ep x = Q · E · x = konst; m= konst
v unabhängig vom Ausgangspunkt
c) geg.: Q < 0; s= 1,0cm(0 cm; 2,5 cm; 4 cm) ; x= 1,5cm; 9,1 ·10 -31 kg
ges.: Ep; v
Ep= Q · s · U / d = 1,6 ·10 -19 C · s · 2000V / 4cm
für s = 1,0cm Ep= 0,8 ·10 -16 J
für s = 0cm Ep= 0 J
für s = 2,5cm Ep= 2,0 ·10 -16 J
für s = 4cm Ep= 3,2 ·10 -16 J
zu b) v = (2·Ep x/m) 1/2 = (2· 1,2 ·10 -16 J / 9,1 ·10 -31 kg) 1/2 = 1,6 · 10 7 m / s
5. Ein Elektron(m=9,1*10 -31 kg) hat in der Mitte eines Plattenkondensators (d=6,0cm;
U=60V) die Geschwindigkeit v0 = 2.0*10 6 ms -1 ; es bewegt sich in Richtung der
elektrischen Feldlinien.
a) Welche elektrische Feldkraft wirkt auf das Elektron? Berechnen sie ihren Betrag und
geben sie die Richtung an.

) Weshalb wird das Elektron abgebremst? In welcher Entfernung von der Mitte des
Kondensators kehrt es um?
c) Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Elektron dann die positive Platte?
Lösung:
a) Geg: U = 60V; d = 6,0cm; Q = 1,6021*10 -19 C
Ges: Feldkraft F
Lös: F = Q*E = Q*U/d = 1,6021*10 -19 C*60V/0,06m = 1,6*10 -16 N
Das Elektron bewegt sich in Richtung Minuspol.
b) Geg: F = 1,6*10 -16 N; m = 9,1*10 -31 kg; v0 = 2.0*10 6 ms -1 ;
Ges: x
Lös: x = v 2 /2*a = v 2 /(2*F/m) = (2.0*10 6 ms -1 ) 2 /(2*1,6*10 -16 N/
9,1*10 -31 kg) = 1,1cm
Das Elektron wird abgebremst, weil sich gleichnamige Ladungen abstoßen.
c) Geg: F = 1,6*10 -16 N; m = 9,1*10 -31 kg; xges = 1,1cm + 3cm = 4.1cm
Ges: v
Lös: v = (2*F/m*xges) 1/2 = (2*1,6*10 -16 N/9,1*10 -31 kg*0,041m) 1/2 =
3,8*10 6 ms -1