Fallstudie 16: Cholesky-Matrix und korrelierte ... - ccfb consulting

Risikotriade Risikotriade - Zins Zins-, Zins
, Kredit Kredit- Kredit
und und operationelle Risiken
Arnd Wiedemann
Kapitel Kapitel 3 3 – Kreditr Kreditrisiko
Kreditr isiko
Fallstudie Fallstudie 116:
1 : Cholesky Cholesky-Matrix Cholesky
Matrix und korrelierte Zufallszahlen
Aufgabenteil a)
Die Korrelation der beiden Kredite beträgt 0,5 (k = 0,5). Daraus ergibt sich die folgende
Korrelationsmatrix:
⎡ 1 0,
5⎤
K = ⎢ ⎥
(1)
⎣0,
5 1 ⎦
Mithilfe der für die 2٠2-Matrix entwickelten Formeln können die Elemente der Cholesky-
Matrix bestimmt werden:
c11 11
c
c
21
22
= k = 1 = 1
(2)
k 21 0,
5
= = = 0,
5
(3)
c 1
11
2
21
2
= k − c = 1−
0,
5 = 1−
0,
25 = 0,
75 = 0,
866
(4)
22
Überträgt man diese Werte übertragen in die Cholesky-Matrix ergibt sich:
⎡ 1 0 ⎤
C = ⎢ ⎥
(5)
⎣0,
5 0,
866⎦
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, Kredit Kredit- Kredit
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Kapitel Kapitel 3 3 – Kreditr Kreditrisiko
Kreditr isiko
Fallstudie Fallstudie 116:
1 : Cholesky Cholesky-Matrix Cholesky
Matrix und korrelierte Zufallszahlen
Aufgabenteil b)
Die gezogenen unkorrelierten Zufallszahlen werden nach folgender allgemeiner Regel mit
der Cholesky-Matrix verknüpft, um die korrelierten Zufallszahlen zu erhalten:
j
korr
z j ∑
m=
1
= a ⋅z
(6)
jm
m
mit: zj korr = korrelierte Zufallszahl für den j-ten Kredit
zm = unkorrelierte Zufallszahl für den m-ten Kredit (m = 1,...,j)
ajm = Wert der Cholesky-Matrix in Zeile j und Spalte m
Für die einzelnen Zufallszahlen ergeben sich hieraus folgende Ergebnisse:
z = a ⋅ z
(7)
korr
1
korr
2
11
21
1
z = a ⋅ z + a ⋅ z
(8)
1
22
2
Durch Einsetzen der gezogenen unkorrelierten Zufallszahlen und der Werte der Cholesky-
Matrix resultieren folgende korrelierte Zufallszahlen für den ersten Simulationsdurchlauf:
= a ⋅ z = 1⋅
0,
7 = 0,
7
(9)
korr
z1 11 1
korr
z2 21 1 22 2
= a ⋅ z + a ⋅ z = 0,
5 ⋅ 0,
7 + 0,
866 ⋅ 0,
1=
0,
35 + 0,
0866 = 0,
4366 (10)
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