Formale Sprachen und Automaten - IMS - Universität Stuttgart

Eine � q¤ w¤ α� Konfiguration ergibt in einem Schritt � q¤ w� ¤ α� � Konfiguration , � q¤ w¤ α��� i.e., � q¤ w� ¤ α� �
M
gdw � uw� w für ein ¢ Σ¡ u , � α βγ α��� β� und γ β¤ β��¤ für ¢ Γ¡ γ �¦� q¤ u¤ β��¤�� q��¤ β���¦��¢ und Δ. Die er-
��¡ gibt-Relation M ist wiederum die reflexiv-transitive Hülle � von M.
Die von einem Kellerautomaten M akzeptierte Sprache L� M� ist die Menge der Eingaben, die den
Automaten in einen Endzustand mit leerem Kellerinhalt und leerer Eingabe führen, i.e., w ¢ L� M�
gdw es gibt ein q ¢ F sodaß � s¤ w¤ ε��� ¡ M � q¤ ε¤ ε� .
Beispiel: M ��� K¤ Σ¤ Γ¤ Δ¤ s¤ F� , wo
K ��£ s¤ f ¨ ,
Σ � Γ ��£ a¤ b ¨ ,
F ��£ f ¨ ,
Δ ��£��¦� s¤ a¤ ε��¤�� s¤ a�¦��¤
s¤ b¤ ε��¤�� s¤ b�¦� , �¦�
s¤ ε¤ ε��¤�� f ¤ ε�¦� , �¦�
f ¤ a¤ a��¤�� f ¤ ε�¦� ,
�¦�
¨ .
f ¤ b¤ b��¤�� f ¤ ε�¦� �¦�
M����£ ww L� R ¢�£ a¤ w b ¨
¡
3.3 Äquivalenz von kontextfreien Grammatiken und Kellerautomaten
¨ .
Theorem 7. Eine Sprache L ist kontextfrei gdw es einen Kellerautomaten M gibt sodaß L � L� M� .
Beweis. Wir teilen das Theorem in zwei Lemmata:
Lemma 8. Zu jeder kontextfreien Sprache gibt es einen Kellerautomaten, der die Sprache akzeptiert.
Beweis. Sei ��� V¤ Σ¤ R¤ S� G eine kontextfreie Grammatik. Wir konstruieren einen Kellerautomaten
M, der eine Linksableitung simuliert, wobei ����£ s¤ M f ¨
Σ¤ V¤ Δ¤ s¤�£ f ¤ ¨
und Δ spezifiziert folgende
�
Übergänge:
i) �¦� s¤ ε¤ ε��¤�� f ¤ S�¦�
ii) �¦� f ¤ ε¤ A��¤�� f ¤ x�¦� für alle Regeln � A �
iii) �¦� f ¤ a¤ a��¤�� f ¤ ε�¦� für alle a ¢ Σ
x��¢ R
Um zu zeigen, daß L(M)=L(G), beweisen wir folgende Behauptungen:
1. Wenn � S ¡ L
G α1α2, wo ¢ Σ¡ α1 , ¢�� α2 � Σ� V¡���£ V ε ¨ , � dann ¤ α1¤ S����¡ f � M ¤ ε¤ α2� f .
2. � Wenn ¤ α1¤ A��� ¡ f � M ¤ ε¤ α2� f , wo ¢ Σ¡ α1 , ¢ V¡ α2 , dann � S ¡ L
G α1α2.
1. und 2. reichen aus, um das Theorem zu beweisen, da für � α2 ε gilt, daß � S ¡ L
G α wo ¢ Σ¡ α gdw
f ¤ α¤ S����¡ M � f ¤ ε¤ ε� .
�
Beweis für 1. Über Induktion über Ableitungslänge.
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