Formale Sprachen und Automaten - IMS - Universität Stuttgart

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3.4 Formale Eigenschaften kontextfreier Sprachen 3.4.1 Periodizitätseigenschaften Theorem 10 (Pumping-Theorem für kontextfreie Sprachen). Sei G eine kontextfreie Grammatik. Dann gibt es eine Zahl K sodaß für jedes Wort w ¢ L� G� wo w �� K gilt: Es gibt Worte u¤ v¤ x¤ y¤ z ¢ Σ¡ sodaß 1. w � uvxyz, 2. mindestens eines von v oder y ist nicht ε, 3. für alle n � 0: uv n xy n z ¢ L� G� . Beweis. Sei �� V¤ Σ¤ R¤ S� G . Es genügt, zu zeigen, daß es ein K gibt sodaß jedes Wort ¢ L� G� w mit �� w K eine Ableitung � S ¡G � ¡ uAz G � ¡ uvAyz G uvxyz hat, u¤ v¤ x¤ y¤ wo ¢ Σ¡ z , ¢ A � V Σ, und � � v ε ε. Weil dann kann die Ableitung A ��¡ G vAy beliebig oft wiederholt werden und das Wort � oder � y uvnxynz wird generiert. α wo � A � α��¢ R ¨ . Dann hat ein Ableitungsbaum der Höhe m höchstens p m Blätter. Sei � max£ p Umgekehrt, ein Ableitungsbaum mit einem Ertrag mit Länge � p m hat einen Pfad mit Länge � m. Sei m V Σ , � K pm �� , w ein Wort mit w K. Sei T ein Ableitungsbaum mit Wurzel S und Ertrag w. � � Dann hat T mindestens einen Pfad mit � mehr als V Σ �� 1 Knoten und daher mindestens einen Pfad, der zwei Knoten mit ¢�� demselben � Σ� Nichtterminalsymbol A V hat. Zu jedem solchen Pfad gibt es einen Teilbaum mit Wurzel A und Ertrag v¤ vAy ¢ Σ¡ für y . Nun können v und y zwar leer sein, und T� der Teilbaum kann entfernt werden. Dies ist jedoch nicht für jeden Pfad mit Länge T� � m möglich, weil es sonst einen Baum mit Höhe � m mit w als Ertrag gäbe. Dies steht jedoch im �� Widerspruch � zu w K pm , wonach es einen Pfad mit Länge m � geben muß. Beispiel: L ��£ a n b n c n n � 0 ¨ ist nicht kontextfrei. Beweis. Angenommen, L wird von einer kontextfreien Grammatik G generiert. Sei K wie in Theorem 3.4.1 und n � 3. Dann ist a K� nbncn �� K. Für � w uvxyz wobei � � v ε oder � � y ε, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder enthält v oder y oder beide zwei Symbole £ a¤ b¤ aus c ¨ . Dann kommt aber in uv2xy2z mindestens ein b vor einem a vor, oder ein c vor einem b, also � ¢ L� G� w . Oder v oder y oder beide bestehen nur aus as, bs oder cs. Dann hat uv2xy2z eine ungleiche Anzahl von as, bs und cs, also � ¢ L� G� w . 3.4.2 Abschlußeigenschaften Theorem 11. Die kontextfreien Sprachen sind abgeschlossen unter 1. Vereinigung, 16
2. Konkatenation, 3. Kleenescher Hüllenbildung. Beweis. Seien G1 �� V1¤ Σ1¤ R1¤ S1� und G2 �� V2¤ Σ2¤ R2¤ S2� kontextfreie Grammatiken wobei O.E. � V1 � Σ1�§�� V2 � Σ2�� /0. 1. Sei S ein neues Symbol und �� G � V1 ��£ V2 S ¨ Σ1 � Σ2¤ R1 � R2 ��£ S ¤ � G�� L� G1�§� L� G2� . L� L� G1� L� G2� 2. wird generiert durch �� G � V1 ��£ V2 S ¨ � G1��¡ 3. wird generiert durch �� V1¤ Σ1¤ G ��£ R1 L� S1 S1¤ S � ¨ S1S2 ¨ S2 ¤ S� . Dann ist Σ1 Σ2¤ � R1 ��£ R2 ¤ � S � ¨ ¨ � ¤ S1 � S1S1 ε¤ S1 . Theorem 12. Die kontextfreien Sprachen sind unter 1. Schnittbildung und 2. Komplementbildung nicht abgeschlossen. Beweis. 1. Die Sprachen ��£ L1 ambncn n � 0 m¤ ¨ und ��£ L2 ambmcn n � 0 m¤ ¨ sind kontextfrei. Die aus Schnittbildung resultierende Sprache � L1 ��£ L2 anbncn � n 0 ¨ ist jedoch nicht kontextfrei. 2. Wenn die kontextfreien Sprachen unter Komplementbildung abgeschlossen wären, dann wären sie auch unter Schnittbildung abgeschlossen, weil L1 � L2 � Σ¡ � �¦� Σ¡ � L1�� Σ¡ � L2�¦� . Dies steht im Widerspruch zu 1. Theorem 13. Die kontextfreien Sprachen sind unter Schnittbildung mit regulären Sprachen abgeschlossen. Beweis. Sei M1 �� K1¤ Σ1¤ Γ1¤ Δ1¤ s1¤ F1� ein Kellerautomat, der die kontextfreie Sprache L akzeptiert, und M2 �� K2¤ Σ2¤ δ2¤ s2¤ F2� ein DEA, der die reguläre Sprache R akzeptiert. Wir konstruieren einen Kellerautomaten M, der L � R akzeptiert. Da alle von einem Kellerautomaten akzeptierte Sprachen kontextfrei sind, ist auch L � R kontextfrei. Sei M �� K1 � K2¤ Σ1 � Σ2¤ Γ1¤ Δ¤�� s1¤ s2��¤ F1 � F2� wobei �¦�¦� q1¤ q2��¤ u¤ β��¤��¦� p1¤ p2��¤ γ�¦��¢ Δ gdw �¦� q1¤ u¤ β��¤�� p1¤ γ�¦��¢ Δ1 und � q2¤ u��¡ M2 � p2¤ ε� . Beispiel: L ¢�£ a¤ b¤ w c ��£ ¨ ¨ Anzahl der as, bs, und cs in w ist ¡ dieselbe frei. Beweis. Wenn L kontextfrei wäre, dann � a¡ b¡ c¡ ��£ auch L anbncn n 0 � ¨ . 3.4.3 Algorithmische Eigenschaften ¤ S� . ist nicht kontext- Theorem 14. Es gibt Entscheidungsalgorithmen für folgende Probleme für kontextfreie Grammatiken: 1. Gegeben eine kontextfreie Grammatik G und ein Wort w, ist w ¢ L� G� ? 2. Ist L� G�� /0? 17
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