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Beweis. Die Sprache K0 aus dem Beweis von Theorem 4.4.2 ist Turing-akzeptabel, aber nicht Turingentscheidbar. Korrolar 22. Die Turing-akzeptablen Sprachen sind nicht unter Komplementbildung abgeschlossen. Beweis. Die Sprache K1 aus dem Beweis von Theorem 4.4.2 ist Turing-akzeptabel, weil K0 es ist. K1 ist aber nicht Turing-akzeptabel. 5 Die Chomsky-Hierarchie Alle bisher besprochenen (und einige weitere) Sprachklassen lassen sich grammatikalisch charakterisieren. Definition 19. Sei G �� V¤ Σ¤ R¤ S� eine Grammatik-Tupel. Dann ist G eine 1. reguläre oder Typ-3-Grammatik, wenn R �� V � Σ�� Σ¡ �¦� V � Σ��£ ε ¨ Regeln der Form A � wB oder A � w, wo A¤ B Nichterminale und w eine möglicherweise leere Kette von Terminalen sind. � , i.e., R enthält nur 2. kontextfreie oder Typ-2-Grammatik, wenn R �� V � Σ�� V ¡ , i.e., R enthält nur Regeln A � α mit einem einzigen Nichtterminal A auf der linken Seite und eine möglicherweise leeren Kette α von Terminalen und Nichtterminalen auf der rechten Seite. 3. kontextsensitive oder Typ-1-Grammatik, wenn R � V � � V¡ wobei für Regeln α � β wo ¢ α V� β ¢ V¡ : α ¤ �� β . Eine Normalform für kontextsensitive Grammatiken sind Grammatiken mit Regeln αAγ � αβγ, wo A ein Nichtterminal ist α¤ β¤ und γ Ketten von Terminalen und Nichtterminalen sind und � � β ε. 4. Typ-0-Grammatik, wenn R � V � � V ¡ , i.e., R enthält Regeln α � β aus beliebigen Zeichenket- α¤ ten β mit � � α ε. Zwischen den genannten Sprachklassen besteht eine hierarchische Beziehung sodaß, außer für den Fall des leeren Wortes ε, die Typ-i-Sprachen Typ-� die i � -Sprachen für i � 0¤ 1¤ 2 vollständig bein- 1� halten. Theorem 23 (Hierarchie-Satz). 1. Die regulären Sprachen sind eine echte Teilmenge der kontextfreien Sprachen, 2. Die kontextfreien Sprachen, die nicht das leere Wort enthalten, sind eine echte Teilmenge der kontextsensitiven Sprachen. 3. Die kontextsensitiven Sprachen sind eine echte Teilmenge der rekursiv-aufzählbaren Sprachen. Beweis. 1. Jede reguläre Grammatik ist eine kontextfreie Grammatik; die Sprache £ a n b n n � 1 ¨ Beispiel für eine kontextfreie Sprache, die nicht regulär ist. 2. Jede kontextfreie Grammatik ohne ε-Regeln ist eine kontextsensitive Grammatik. Die Sprache £ a n b n c n n � 1 ¨ ist ein Beispiel für eine nicht-kontextfreie Sprache, die von der kontextsensitiven S abc¤ � bb ¨ generiert wird. Grammatik G �� V¤ Σ¤ R¤ S� mit R ��£ S � 26 aSBc¤ cB � Bc¤ bB � ist
3. Jede kontextsensitive Grammatik ist eine Typ-0-Grammatik. Es gibt Beispiele für rekursive Sprachen, die nicht kontext-sensitiv sind (siehe Hopcroft and Ullman (1979), Kap. 9.4.) 27
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