Formale Sprachen und Automaten - IMS - Universität Stuttgart

1 Alphabete und Sprachen
Ein Alphabet Σ ist eine endliche Menge von Symbolen. Ein Wort w über Σ ist eine endliche Sequenz
von Symbolen aus Σ, wobei w die Wortlänge, ε das leere Wort, und Σ¡ die Menge aller Worte
(einschließlich ε) über Σ bezeichnen.
©¨��
Definition 1 (Wort). Ein ¢ Σ¡ Wort w ist eine Funktion £ 1¤¦¥¦¥¦¥§¤ w : w w� i��¤ Σ, � 1¤¦¥¦¥¦¥�¤
wobei i
das i-te Symbol in Wort w ist.
Definition 2 (Konkatenation). w � x � y gdw
1.
w
x ��� y ,
�
w� i��� x� i��¤ 2. � 1¤¦¥¦¥¦¥ i
3. w�
x ��
x ,
y� i��¤ i � 1¤¦¥¦¥¦¥
i���
Notation: w0 ε¤ w � i� 1 w � i w. �
Definition 3 (Spiegelung).
y .
� w 0: wR w � ε, �
��
w 0: � w ua für ein ¢ a Σ und w � R auR .
Beispiel: � bla� 2 � blabla
Beispiel: � ste f an� R � na f ets
Eine Sprache L über einem Alphabet Σ ist eine beliebige Menge von Wörtern über Σ, i.e., eine beliebige
Teilmenge von Σ¡ .
Definition 4 (Konkatenation von Sprachen).
¨
L1L2 � L1 ��£ L2 � x y ¢ L1¤ x ¢ y L2
� .
Beispiel: ��£ wort¤ L1 satz ¨ , ��£ länge¤ L2 bildung ¨
¤
� L1 ��£ wortlänge¤ satzlänge¤ wortbildung¤ L2 satzbildung ¨
Definition 5 (Kleenesche Hülle einer Sprache).
w1 � w2 ��¥¦¥¦¥�� wn w1¤ w2¤¦¥¦¥¦¥�¤ wn ¢ L¤ n � 0 L¡���£ ¨ ,
L� LL¡���£ w1 � w2 ��¥¦¥¦¥�� wn w1¤ w2¤¦¥¦¥¦¥�¤ wn ¢ L¤ n � 1 � ¨ .
Beispiel: L ��£ di¤ da ¨ ,
L¡ ��£ ε¤ di¤ da¤ didi¤ dida¤ dadi¤ dada¤ dididi¤ didida¤ didadi¤ didada¤ dadidi¤¦¥¦¥�¥
4
¨
w