Mechanische Wellen

18. September 2010 MechanischeWellen.TEX
Mechanischen Wellen
Literatur Dorn-Bader Physik 12/13 S. 126 ff
1. Wellenerscheinungen im Alltag - Charakteristische Eigenschaften
1.1. Schülerarbeit
S. 126/127
• Wellen im Alltag
• Elektromagnetische Wellen - Mechanische Wellen
• Kein Materietransport, sondern Energietransport
• Mechanische Wellen brauchen einen Wellenträger
1.2. Versuche mit der Wellenmaschine
V1 S. 127
Wird das erste Teilchen der Wellenmaschine ein Mal hin- und herbewegt, dann wandert
ein Wellenberg über den Träger. Entsprechend kann durch Hin- und Herbewegung ein
wanderndes Tal erzeugt werden.
Schülerarbeit: S. 127
Beschreibe die Bewegung der Teilchen in den Skizzen zu Versuch V1 S. 127.
• Schnelle v und Ausbreitungsgeschwindigkeit c
1.3. Geschwindigkeiten der Welle
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle hängt von der Kopplung zwischen den
Teilchen auf dem Wellenträger ab. Für die Beschleunigung der Körperchen auf dem
Träger gilt a = F
m . Bei einer schwachen Kopplungskraft F ist somit c kleiner als bei einer
starken Kopplungskraft. Ebenso nimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit zunehmender
Masse m ab.
Im Ausbreitungsvorgang auf dem Wellenträger läuft die zu Beginn hineingesteckte
Energieportion als Spann- und Bewegungsenergie mit c durch. Die Teilchen selbst schwingen
lediglich senkrecht zur Fortschreitungsrichtung. Ihre Momentangeschwindigkeit v
heißt Schnelle.
1

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Je weiter ein Körperchen vom Erreger entfernt ist, desto später wird es von der im
Ausgangspunkt aufgeprägten Störung erfasst.
2. Zeitliche und räumliche Darstellung einer Welle
Simulation mit Dorn-Baders PAKMA: Wellenmaschine und rotierende Zeiger (leider
nur unter Windows!)
2.1. Beschreibung einer Schwingung mit einem rotierenden Zeiger
vgl. Mechanische Schwingungen S. 3 (harmonische Schwingung)
vgl. Bild B1 S. 128
Die Projektion eines rotierenden Radiuspfeils auf die vertikal aufgetragene s -Achse
beschreibt eine harmonische Schwingung (z. B. Federpendel). Ist zum Zeitpunkt t =
0 s die Auslenkung s = 0 m, dann gilt für die Elongation des schwingenden Körpers
s(t) = �s sin(ϕ) = �s sin(ωt) mit ω = 2π
T = 2π f . T ist die Periodendauer und ω die
Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Zeigers.
2.2. Beschreibung einer Welle mit rotierenden Zeigern
vgl. Bild B3 S. 129
Beschreibt der Wellenerreger eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer T
und einer Amplitude �s, dann werden die schwingungsfähigen Teilchen des Wellenträgers
von dieser Schwingung nacheinander erfasst. Im Bild B3 bewegt sich das Teilchen
zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 gerade nach oben durch die Gleichgewichtslage. Die Welle
breitet sich mit der Geschwindigkeit c nach rechts aus. Im Bild B3 wird die Gestalt des
Wellenträgers in zeitlichen Abständen T/8 dargestellt.
2.2.1. Zeitlicher Einblick an einem Ort
Stellt man in Gedanken eine Schlitzblende an einen bestimmten Ort des Wellenträgers
(z. B. bei x = 0 oder x = 1 vgl. Bild B3), dann beobachtet man die harmonische Schwingung
des schwingenden Körpers an diesem Ort.
2

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2.2.2. Räumlicher Durchblick zu einem Zeitpunkt
Schaut man zu einem bestimmten Zeitpunkt entlang des Wellenträgers, dann sieht man
alle möglichen Schwingungszustände nebeneinander liegen. Die harmonische Schwingung
des Erregers liegt auseinandergezogen auf einer Sinuskurve.
2.2.3. Diagonaler Durchblick
Verfolgt man eine bestimmte Schwingungsphase zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten,
dann erkennt man, wie sie zeitlich und räumlich über den Träger läuft. Ermittelt
man die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Schwingungsphase auf dem Wellenträger,
dann spricht man auch von Phasengeschwindigkeit c.
Nach einer Periodendauer T (des Erregers) wiederholen sich jeweils die Schwingungszustände
der schwingenden Köper (Oszillatoren) auf dem Wellenträger. Während dieser
Zeit T hat sich die Welle um die sogenannte Wellenlänge λ ausgebreitet.
Die Wellenlänge λ ist somit der kürzeste Abstand zweier Oszillatoren, die in gleicher
Phase schwingen.
Für die konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit c gilt deshalb:
3. Längswellen
c =
zurückgelegter Weg
benötigte Zeit
= λ
T
= λ · f
Bei einer Längswelle schwingen die Teilchen längs der Ausbreitungsrichtung. Deshalb
wandern abwechselnd Verdichtungen und Verdünnungen (d. h. Druckschwankungen
gegenüber dem Normaldruck) durch das Trägermedium.
Auslenkung
s(t,x)
Ausbreitungsrichtung der Welle
Bei Längswellen sind die Elongationen s die Projektionen der rotierenden Zeiger in
Trägerrichtung.
An Stellen, wo die Teilchen besonders dicht oder sehr weit auseinander liegen, ist der
Druck (Überdruck bzw. Unterdruck) groß und die Schnelle klein. Dazwischen ist die
Schnelle jeweils groß und es ist kein Über- oder Unterdruck vorhanden.
3
x

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4. Längs- und Querwellen im Alltag
Mechanische Transversalwellen entstehen nur, wenn elastische Querkräfte wirksam
sind. Mechanische Längswellen entstehen, wenn elastische Längskräfte wirken. In Festkörpern
können sich Transversal- und Longitudinalwellen ausbreiten. Im Innern von
Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Längswellen ausbreiten.
vgl. Erdbebenwellen S. 131
5. Wellengleichung
Wenn für den zeitlichen Verlauf der Schwingung des Erregers (x = 0) s(t) = �s sin ω t
mit ω = 2π f gilt, dann schwingt der Massenpunkt an der Stelle x verspätet mit der
Zeitverschiebung ∆t = x
. Somit lautet sein Elongation-Zeit-Gesetz:
c
Übungen Dorn-Bader S. 133 A2 - A4
�
s(t,x) = �s sin ω
t − x
c
6. Überlagerung zweier Schwingungen am gleichen Ort
Dorn-Bader S. 134 - 135
6.1. Experiment und Zeigerkonzept
Was registriert ein Mikrophon, wenn es an einem Ort gleichzeitig zwei Sinusschwingungen
derselben Frequenz ausgesetzt wird? (vgl. V1 a - c S. 134)
Ergebnis: Das Mikrophon nimmt wieder eine Sinusschwingung auf, deren Amplitude
allerdings davon abhängt, mit welchem Phasenunterschied die Sinusschwingungen am
Ort des Mikrophons auftreten.
Das experimentelle Ergebnis kann mithilfe zweier rotierender Zeiger (�s1, �s2) beschrieben
werden, die mit gleicher Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn rotieren
(vgl. Bilder B2 und B3 S. 135). In der Regel sind die Schwingungen am Beobachtungsort
nicht in Phase, d. h. die Zeiger nicht deckungsgleich. Einer der Zeiger läuft dem anderen
um einen bestimmten Winkel ϕ0 (= Phasenverschiebung) voraus. Die gesamte Auslenkung
s = s1 + s2 am Beobachtungsort erhält man durch die Projektion der einzelnen
4
�

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Zeiger auf die s-Achse. Diese Auslenkung erhält man auch durch geometrische Addition
der beiden Zeiger �s1 und �s2 zu einem Zeiger �s. Man kann also die resultierende
Schwingung am Beobachtungsort auch durch den resultierenden Zeiger �s beschreiben,
d. h. es entsteht eine reine Sinusschwingung.
• Sind die beiden Schwingungen gleichphasig (ϕ0 = 0) so addieren sich die Amplituden.
• Sind die beiden Schwingungen gegenphasig (ϕ0 = π) so subtrahieren sich die
Amplituden.
6.2. Schwebung
Überlagern sich zwei Sinusschwingungen an einem Ort, die nicht genau die gleiche
Frequenz haben, ergibt sich keine reine Sinusschwingung mehr, sondern eine Sinusschwingung
mit wechselnder Amplitude. Auch dieses Phänomen lässt sich mit dem
Zeigerkonzept beschreiben. Hat die eine Schwingung die Frequenz f1 = 440 Hz und
die andere die Frequenz f2 = 445 Hz, dann überholt der zweite, schnellere Zeiger den
ersten, langsameren Zeiger 5-mal in jeder Sekunde. In diesem Augenblick sind die Zeiger
in Phase und die resultierende Amplitude maximal. Akustisch hört man 5-mal je
Sekunde ein Anschwellen der Lautstärke. Die Schwebungsfrequenz ist fs = 5 Hz.
2
1
0 0,1 0,2
t
0,3
0,4
0,5
0,6
0
-1
-2
5

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7. Überlagerung von Wellen
7.1. Ungestörte Überlagerung von Wellen
Dorn-Bader S. 136 B1, V1, V2
Versuch: Die Kreiswellen zweier Wassertropfen in einer Wellenwanne überlagern sich
teilweise und durchdringen sich gegenseitig, ohne sich zu stören.
Versuch: An beiden Enden einer Slinky-Feder erzeugt man zwei Auslenkungen zur
gleichen bzw. zur entgegengesetzten Seite.
Beobachtung: Beide Wellenberge laufen vor und nach dem Zusammentreffen unverändert
über den Wellenträger. An der Stelle, an der sie zusammentreffen,
entsteht entweder ein überhöhter Wellenberg oder es löschen sich die
Ausschläge nahezu aus.
Simulation mit PAKMA (Verzeichnis welle): Ueberla1.prj; Ueberla2.prj
Was für die Überlagerung einzelner Störungen gilt, lässt sich auch auf Wellen, d. h. ununterbrochen
fortlaufende Störungen übertragen. Die ungestörte Überlagerung gleichartiger
Wellen bezeichnet man als Interferenz.
7.2. Interferenz gleichlaufender Wellen
Dorn-Bader S. 137 B2, B3
Bei der Überlagerung zweier Wellen, werden an jeder Stelle des Wellenträgers die zwei
Schwingungszeiger addiert. Diese Addition ist nur einmal zu machen, da im weiteren
Verlauf die Einzelzeiger zusammen mit den jeweiligen resultierenden Zeigern gemeinsam
an ihrem Ort rotieren. Die resultierenden Zeiger hängen vom Phasenunterschied
der Schwingungen an den jeweiligen Orten ab und somit davon, wie weit die Wellen
gegeneinander verschoben sind. Diese Verschiebung zweier Wellen wird oft in Vielfachen
oder Bruchteilen der Wellenlänge λ angegeben. Wir nennen diese Verschiebung
Gangunterschied δ.
Zwischen dem Gangunterschied zweier Wellen und der Phasendifferenz der von ihnen
hervorgerufenen Schwingungen besteht folgender Zusammenhang: δ ∆ϕ
=
λ 2π .
Bei der Interferenz zweier Wellen erhält man
1. maximale Verstärkung (konstruktive Interferenz) bei einem Gangunterschied
δ = 0, λ, 2λ, . . .
δ = nλ (n = 0, 1, 2, . . .)
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Dies entspricht einer Phasendifferenz ∆ϕ = 2nπ (n = 0, 1, 2, . . .).
2. maximale Abschwächung (destruktive Interferenz) bei einem Gangunterschied
δ = 1 3 5
λ, λ, λ, . . .
2 2 2
δ = (2n + 1) λ
2
(n = 0, 1, 2, . . .)
Dies entspricht einer Phasendifferenz ∆ϕ = (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
Simulation mit PAKMA (Verzeichnis welle): Interf_1.prj, Interf_2.prj, Interf_Z.prj
7.3. Stehende Wellen
Dorn-Bader S. 138-139
Versuch V1 S. 138
Laufen zwei Wellen gleicher Frequenz und Amplitude aufeinander zu, dann sind nach
kurzer Zeit die beiden einzelwellen verschwunden und es erscheint eine einzige resultierende
Welle, die stehen bleibt: stehende Welle.
Es gibt dann Stellen auf dem Wellenträger, an denen die Teilchen nicht mehr schwingen
(Schwingungsknoten). Der Abstand benachbarter Knoten beträgt eine halbe Wellenlänge.
Zwischen diesen Knoten schwingen phasengleich die Teilchen. In der Mitte
schwingen sie am stärksten aus. Man nennt diese Stellen Schwingungsbäuche. Die
Teilchen benachbarter Schwingungsbäuche schwingen jeweils gegenphasig.
Die Zeigerdarstellung verdeutlicht eindrucksvoll die Entstehung der stehenden Wellen.
Simulation mit PAKMA (Verzeichnis welle): Gegenl_Z.prj
7.4. Reflexion linearer Wellen
Versuch: Bei der Wellenmaschine, deren letzter Schwinger fest (= festes Ende) bzw.
lose (= loses Ende) ist, werden Störungen reflektiert.
Reflexion eines Wellenberges am festen Ende
Simulation mit PAKMA (Verzeichnis welle): Reflexion.prj - festes Ende
Ein auf das feste Ende zulaufender Wellenberg kommt als Wellental zurück. Das nach
oben ausgeschwungene vorletzte Teilchen des Wellenträgers kann das letzte Teilchen
nicht hochziehen. Es übt auf das vorletzte Teilchen eine reactio aus. Dieses wird nach unten
gezogen und schwingt wegen seiner Trägheit über die Gleichgewichtslage hinaus.
Es ist so, als käme aus dem festen Ende wie aus einer Punktspiegelwelt ein Wellental
heraus, die sich mit dem einlaufenden Wellenberg überlagert.
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Reflexion eines Wellenberges am freien Ende
Simulation mit PAKMA (Verzeichnis welle): Reflexion.prj - loses Ende
Ein auf das lose Ende zulaufender Wellenberg kommt als Wellenberg zurück. Das letzte
Teilchen muss kein weiteres Teilchen mitreißen. Träge schwingt es über die Elongation
der einlaufenden Störung hinaus. Es wird zum Ausgangspunkt eines zurücklaufenden
Wellenberges. Es ist so, als käme aus dem losen Ende ein Wellenberg, der sich mit dem
einlaufenden Wellenberg überlagert.
Simulation mit PAKMA (Verzeichnis welle): Refl_Kv.prj - Kraftvektoren im Wellenträger
Merke:
Am festen Ende wird ein Wellenberg als Wellental reflektiert
(Phasensprung von ∆ϕ = π)
Am losen Ende wird ein Wellenberg als Wellenberg reflektiert. (ohne Phasensprung)
Merke:
Am festen Ende wird eine Verdichtung als Verdichtung und eine Verdünnung als
Verdünnung reflektiert.
Am losen Ende wird eine Verdichtung als Verdünnung und eine Verdünnung als
Verdichtung reflektiert.
Hinweis:
• Stehende Wellen erzeugt man am einfachsten durch Reflexion der Wellen!
• Die Aussagen über stehende Wellen gelten in gleicher Weise für Transversalwellen
wie Longitudinalwellen. Bei Längswellen muss man jedoch beachten, dass an
einem Schnelleknoten ein Druckbauch und an einem Schnellebauch ein Druckknoten
vorliegt.
• Elongation und Schnelle erfahren am festen Ende einen Phasensprung von π. Am
freien Ende werden sie ohne Phasensprung reflektiert.
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Instruktives Beispiel: Dorn-Bader S. 143
Aufgaben Dorn-Bader S. 143 A1 - A5
7.5. Eigenschwingungen
Bei begrenzten Wellenträgern bilden sich stehende Wellen nur bei bestimmten Frequenzen
aus. In diesen Fällen entstehen Reflexionen an beiden Enden des Wellenträgers.
Überlagern sich hin- und herlaufende Wellen gleichsinnig, so entstehen sogenannte Eigenschwingungen.
Versuch: Wellengerät
Bei beidseitig festem bzw. beidseitig freiem Ende bilden sich Eigenschwingungen, wenn
für die Länge des Wellenträgers die Bedingung gilt: ℓ = n · λn
2
(n ∈ N).
Bei verschiedenen Enden bilden sich Eigenschwingungen aus, wenn für die Länge des
Wellensträgers die Bedingung gilt: ℓ = (n − 1) λn
2
+ λn
4
(n ∈ N).
Für n = 1 entsteht die Grundschwingung (1. Harmonische). Für die weiteren Halbwellen
spricht man von Oberschwingungen (2., 3. . . . Harmonische).
Mit c = λn · fn lassen sich die zugehörigen Anregungsfrequenzen bestimmen.
Versuch: Stehende Längswellen in einer Schraubenfeder
Eine Schraubenfeder wird an einem Ende fest eingeklemmt
und am anderen Ende mit einer Gummischlinge befestigt.
Durch eine entsprechende Frequenzeinstellung am Motor erhält
man stehende Längswellen, die im Schattenwurf besonders
gut zu beobachten sind.
Versuch: Kundtsche Staubfiguren
Vor einem offenen oder halboffenen Glasrohr, das fein verteiltes
Korkmehl enthält, wird ein Lautsprecher aufgestellt.
Lautsprecher
Bewegungsknoten
Bewegungsbauch Abstimmkolben
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Beobachtung: Bei bestimmten Frequenzen wird an Stellen mit gleichem Abstand das
Korkmehl zu eng nebeneinanderliegenden Querrippen aufgewirbelt (Schnellebäuche)
und an den dazwischenliegenden Schnelleknoten bleibt es ruhig
liegen. Aus den Knotenabständen λ
lässt sich die Wellenlänge be-
Aufgaben
stimmen. Misst man noch die Frequenz des Tongenerators, so kann mit
c = λ · f die Schallgeschwindigkeit c in Luft bestimmt werden.
Dorn-Bader S. 145 A1 - A5 und S. 147 A1 - A3
8. Schall in verschiedenen Medien
Dorn-Bader s. 148-149
9. Musikinstrumente
Dorn-Bader s. 150-153
10. Dopplereffekt
Dorn-Bader S. 154-155
Präsentation und Praktikum
11. Schallwellen in der Medizin
Dorn-Bader S. 156-157
10
2