Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

Mathematische Grundlagen
Peter Breitfeld *
Störck-Gymnasium
Bad Saulgau
20. August 2011
In den folgenden Abschnitten werden einige für die Physik wichtige Themen
aus der Mathematik besprochen, die in der Schule üblicherweise zu kurz kommen.
Besonders für Schüler der 11. Klasse wurde noch ein Abschnitt über Differentialund
Integralrechnung aufgenommen. Der letzte Abschnitt beschäftigt sich mit Differentialgleichungen
und auch ihrer numerischen Lösung.
Inhaltsverzeichnis
1 Kegelschnitte • 5
1.1 Formelübersicht • 5
1.2 Ellipse • 5
1.2.1 Definitionen • 5
1.2.2 Eigenschaften der Ellipse • 5
1.2.3 Mittelpunktsform der Ellipse • 8
1.2.4 Krümmungskreis • 9
1.3 Hyperbel • 10
1.3.1 Definitionen • 10
1.3.2 Eigenschaften der Hyperbel • 10
1.4 Parabel • 12
1.5 Leitlinieneigenschaft der Kegelschnitte • 14
1.6 Scheitelform der Kegelschnitte • 14
1.7 Mutation der Kegelschnitte • 15
2 Differentialrechnung • 15
2.1 Tangentensteigung und Ableitung • 15
2.2 Ableitungsregeln • 16
2.3 Geometrische Bedeutung der Ableitung • 18
*
E-Mail: phbrf@t-online.de
http://www.pBreitfeld.de

Inhaltsverzeichnis
2.3.1 Maxima und Minima • 18
2.3.2 Krümmung einer Kurve • 18
2.3.3 Ableitung in Polarkoordinaten • 19
2.3.4 Bogenlänge einer Kurve • 20
2.3.5 Krümmungskreis • 20
2.4 Die l’Hospitalsche Regel • 21
3 Integralrechnung • 21
3.1 Stammfunktionen • 21
3.2 Begriff des Integrals • 22
3.3 Der Hauptsatz • 23
3.4 Integrationsregeln • 24
3.4.1 Produktintegration • 25
3.4.2 Substitutionsmethode • 25
3.4.3 Partialbruchzerlegung • 26
3.5 Beispiele zur Integration • 28
4 Approximierung – Taylorreihen • 31
4.1 Das Taylorpolynom • 31
4.2 Die Taylorsche Reihe • 32
4.3 Taylorentwicklung wichtiger Funktionen • 32
4.4 Entwicklung um andere Punkte • 33
5 Differentialgleichungen • 33
5.1 Trennung der Variablen • 34
5.2 Totale Differentialgleichung • 34
5.3 Integrierender Faktor • 36
5.4 Lineare Differentialgleichungen • 37
5.4.1 Etwas Theorie zur linearen DGL • 37
5.4.2 Lösung der linearen DGL erster Ordnung • 38
5.4.3 Lösung der linearen DGL mit konstanten Koeffizienten • 39
5.4.4 Superposition linearer DGL • 46
5.4.5 Einige direkte Ansätze für partikuläre Lösungen • 47
6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen • 51
6.1 Numerische Integration • 51
6.1.1 Die Trapezregeln • 51
6.1.2 Fortgesetzte Halbierung • 53
6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen • 55
6.2.1 Differentialgleichungen erster Ordnung • 55
6.2.2 Gleichungssysteme und DGL höherer Ordnung • 60
2

Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1 Die Ellipse • 6
2 Die Hyperbel • 10
3 Die Parabel • 12
4 Tangentensteigung • 15
5 Krümmungskreis • 20
6 Integral und Flächeninhalt • 22
7 Numerische Integration • 51
8 Richtungsfeld der dgl von Gleichung (83) • 56
Tabellenverzeichnis
1 Wichtige Formeln bei Kegelschnitten • 6
2 Reihenentwicklung wichtiger Funktionen • 33
3 Runge-Kutta-Schema • 61
3

1. Kegelschnitte
In der Physik tauchen die Kegelschnitte auf als Bahnen von Körpern, die sich unter dem
Einfluss einer Kraft der Form
F(r) = kr
r
bewegen. Die wichtigsten Fälle sind die Gravitation mit k = −GMm und die Coulombkraft
mit k = qQ/(4πε). Schon dies zeigt, dass Kegelschnitte sehr häufig auftretenden Kurven
sind.
Es gibt drei Kegelschnitte: Ellipsen (mit dem Kreis als Sonderfall), Parabeln und Hyperbeln.
In Polarkoordinaten lassen sich alle mit einer einzigen Formel ausdrücken:
r =
p
1 + ε cos φ
(1)
Dabei entscheidet der Wert der (numerischen) Exzentrizität ε über die Art des Kegelschnitts
und der Wert des Parameters p, der gleich der Ordinate im Brennpunkt ist, über
seine Größe. Es gilt:
0 ⩽ ε < 1 ∶ Ellipse, für ε = 0 ein Kreis
ε = 1 ∶ Parabel
ε > 1 ∶ Hyperbel
1.1. Formelübersicht
In der Formelübersicht von Tabelle 1 werden die wichtigsten Beziehungen der Kegelschnitte
zusammengestellt. Die Herleitungen folgen in den weiteren Abschnitten.
1.2. Ellipse
1.2.1. Definitionen
In Abb. 1 ist das Schaubild einer Ellipse mit ε = 0, 5 und p = 1 gezeichnet.
Die Punkte F und F ′ sind die Brennpunkte der Ellipse, M ist der Mittelpunkt, P ist das
Perizentrum, in diesem Punkt ist die Entfernung r p = FP von F am kleinsten, entsprechend
ist A das Apozentrum mit dem größten Abstand r a = FA von F. Die Strecke AM = PM
ist die große Halbachse a, die Strecke MB die kleine Halbachse b. Die Strecke p = FR ist der
Parameter der Ellipse. MF ist die lineare Exzentrizität e der Ellipse.
1.2.2. Eigenschaften der Ellipse
Es sollen nun die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Größen dargelegt
werden.
5

1 Kegelschnitte
Tab. 1 Wichtige Formeln bei Kegelschnitten
Mittelpunktsform
Ellipse Parabel Hyperbel
x y
+
a b = 1 — x
y
−
a b = 1
Scheitelform y = 2px + (ε − 1)x y = 2px y = 2px + (ε − 1)x
p
p
Große Halbachse a a =
— a =
1 − ε ε − 1
p
p
Kleine Halbachse b
= a√1 − ε —
= a√ε − 1
√1 − ε √ε − 1
lineare Exzentrizität e = √a − b = ε a — e = √a + b = ε a
Krümmungskreisradius a
p = b
a
Perizentrumsabstand b r p = a − e = p
1 + ε
Apozentrumsabstand c r a = a + e = p
1 − ε
p
r p = p 2
∞
p = b
a
r p = e − a =
p
1 + ε
Flächeninhalt A = πab — —
Asymptotenwinkel θ — — tan θ 2 = b a = √ε − 1
∞
a. im Hauptscheitel
b. Der kleinste Abstand eines Kurvenpunkts vom Brennpunkt
c. Der größte Abstand eines Kurvenpunkts vom Brennpunkt
X
B
R
b
r
a
p
A
F’ M e
Φ
F
P
a
Abb. 1 Die Ellipse
6

1.2 Ellipse
Zunächst erkennt man, dass Punkt R zum Winkel φ = 90 ∘ gehört, dann ist aber
cos φ = 0 und r = p, d. h. der Parameter ist die Ordinate im Brennpunkt. Das gilt für alle
Kegelschnitte.
Aus Gl. (1) folgt sofort, dass der kürzeste Abstand r p dann erreicht ist, wenn der
cos φ = 1 ist, also φ = 0 und entsprechend der größte, wenn cos φ = −1 ist, also φ = π.
Damit gilt
r p =
p r
1 + ε
a =
p
(2)
1 − ε
Die große Halbachse a ist a = (r p + r a ), damit gilt:
a = 1 2 p
1 + ε + p
1 − ε = p 2
⋅
1 − ε + 1 + ε
1 − ε =
p
1 − ε oder p = a(1 − ε ) (3)
Der zweite Brennpunkt F ′ hat die Koordinate F ′ (r p − r a | 0) und ein beliebiger Punkt X
auf der Ellipse hat die Koordinaten X(r cos φ | r sin φ), wobei r aus Gl. (1) zu nehmen ist.
Hieraus folgt, dass die für die lineare Exzentrizität e gilt:
r p − r a = − 2pε = −2aε ⇒ e = ε a (4)
1 − ε Damit ist F ′ (−2e | 0). Nun gilt
Weiter bekommt man für F ′ X:
FX =
p
1 + ε cos φ
F ′ X = (r cos φ + 2e) + r sin φ = 4e + r + 4er cos φ
Setzt man hier ein: e = aε = pε/(1 − ε ) und r = p/(1 + ε cos φ), dann folgt (am besten mit
einem Algebraprogramm rechnen!):
F ′ X = p(1 + ε + 2ε cos φ)
(1 − ε )(1 + ε cos φ)
und schließlich:
FX + F ′ X =
2p = 2a
1 − ε Damit haben wir die erste Brennpunkteigenschaft der Ellipse bewiesen:
Die Summe der Entfernungen eines Ellipsenpunktes von den beiden Brennpunkten
ist immer das Doppelte der großen Halbachse.
Wegen der Wichtigkeit dieses Resultats noch eine zweite Herleitung. Wir zeigen, dass
alle Punkte X, für die FX + F ′ X = 2a gilt, auf einer Ellipse liegen. Wir bezeichnen dazu
r = FX, r = F ′ X und ∢(F ′ FX) = 180 ∘ − φ, sowie F ′ F = 2e. Die Forderung ist dann
r + r = 2a. Nach dem Kosinussatz gilt nun
r = r + (2e) + 4r e cos φ
7

1 Kegelschnitte
Ersetzt man nun r = r − 4ar + 4a , so erhält man
−4ar + 4a = 4e + 4r e cos φ ⇒ a − e = r (a + e cos φ)
Auflösung nach r und Ersetzen von e = aε ergibt mit Gl. (3):
r = a (1 − ε )
a(1 + ε cos φ) = a(1 − ε )
1 + ε cos φ = p
1 + ε cos φ
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Da die Abszisse des Nebenscheitels B genau in der Mitte zwischen F und F ′ liegt, gilt
für dessen Ordinate b nach Pythagoras:
b = a − e = a − a ε = a (1 − ε )
⇒ b = a√1 − ε
Beachtet man noch p = a(1 − ε ), dann bekommt man schließlich:
p
b = a √1 − ε =
(5)
√1 − ε
Aus der ersten Brennpunkteigenschaft kann man noch mehr folgern: Verlängert man
die Strecke F ′ X über X hinaus um ein Stück der Länge FX bis zum Punkt G, dann ist
FXG ein gleichschenkliges Dreieck. Die Mittelsenkrechte von FG trifft die Ellipse nur
im Punkt X, deshalb ist sie die Tangente an die Ellipse im Punkt X. Daraus folgt, dass
die Tangente die Winkelhalbierende des Nebenwinkels von ∢(FXF ′ ) ist. Es gilt somit die
zweite Brennpunkteigenschaft der Ellipse:
Die Normale in einem Ellipsenpunkt halbiert den von den Brennstrahlen
eingeschlossenen Winkel.
D. h. Alle von einem Brennpunkt ausgehenden Strahlen werden an der Ellipse
so reflektiert, dass sie durch den anderen Brennpunkt gehen.
1.2.3. Mittelpunktsform der Ellipse
Es soll die Gleichung der Ellipse in kartesischen Koordinaten angegeben werden. Jeder
Punkt der Ellipse hat die Koordinaten
p cos φ
x =
1 + ε cos φ
p sin φ
y =
1 + ε cos φ
Wegen der hohen Symmetrie zum Ellipsenmittelpunkt ist zu erwarten, dass die Gleichung
besonders einfach wird, wenn man den Mittelpunkt als Koordinatenursprung
wählt. Dazu muss man das Schaubild um e nach rechts verschieben. Dies geschieht,
indem man x durch x − e ersetzt.
Im Koordinatensystem mit Ursprung in M sind also die Koordinaten eines Ellipsenpunktes:
x = e +
p cos φ
1 + ε cos φ = pε p cos φ
+
1 − ε 1 + ε cos φ
p sin φ
y =
1 + ε cos φ
8

1.2 Ellipse
Bildet man nun
dann ergibt sich
x (ε + cos φ)
= und
a (1 + ε cos φ)
y
b = (1 − ε ) sin φ
(1 + ε cos φ)
x y
+
a b = ε + 2ε cos φ + cos φ + sin φ − ε sin φ
= ε cos φ + 2ε cos φ + 1
= 1
(1 + ε cos φ) (1 + ε cos φ)
Damit haben wir die Mittelpunktsform der Ellipse
1.2.4. Krümmungskreis
x
a
+
y
= 1 (6)
b Gesucht ist der Radius desjenigen Kreises, der im Punkt P die Ellipse am besten approximiert.
Dieser Kreis wird Krümmungskreis genannt.
Aus Symmetriegründen muss der Mittelpunkt dieses Krümmungskreises auf der
x-Achse liegen. Er habe den Mittelpunkt K(u | 0) und den Radius ρ.
Um den Krümmungskreis zu bestimmen, verwenden wir die Mittelpunktsform. Dazu
schneiden wir den Kreis mit der Ellipse:
Kreis:
Dies in die Ellipsengleichung eingesetzt ergibt:
(x − u) + y = ρ ⇒ y = ρ − (x − u)
1 = x
a + ρ − (x − u)
b
= x
a
b
ρ x
+ −
2ux
+
b b
⇒ a b = (b − a )x + 2a ux + a (ρ − u )
− u
b
Nun beachte man noch, dass der Krümmungskreis im Punkt P berühren muss, also
muss nun u = a − ρ sein, damit hat man:
Die Lösung dieser Gleichung ist:
(b − a )x + 2a (a − ρ)x + a (2aρ − a ) − a b = 0
x = −a (a − ρ) ± a a (a − ρ) − ((2aρ − a ) − b )(b − a )
b − a
Soll Berührung auftreten, dann darf diese Gleichung nur eine Lösung haben, die beiden
möglichen Schnittpunkte müssen also zusammenfallen. Dazu muss die Diskriminante
Null werden:
0 = a − 2a ρ + a ρ − (2aρ − a )(b − a ) + b (b − a ) = (b − aρ) ⇒ ρ = b
a
Damit haben wir den Radius des Krümmungskreises ermittelt:
ρ = b
a
= p (7)
9

1 Kegelschnitte
1.3. Hyperbel
1.3.1. Definitionen
X
r
B
R
e
p b
Φ
F P a S
F F’
Abb. 2 Die Hyperbel
In Abbildung 2 ist das Schaubild der Hyperbel für p = 2, 25 und ε = 1, 25 gezeigt. In
der Abb. 2 entsteht der zweite Ast durch Punktspiegelung an S, so wie es im rechten
Schaubild von Abb. 2 dargestellt ist.
Man erkennt, dass Hyperbeln Asymptoten besitzen. Der Punkt F ist der Brennpunkt,
P das Perizentrum, a = PS die große Halbachse, b = PB die kleine Halbachse und p = FR
der Parameter. Die lineare Exzentrizität findet man als e = SB = SF wieder. Die Hyperbel
kann kein Apozentrum haben, da sich die Kurve nicht schließt.
1.3.2. Eigenschaften der Hyperbel
Bei der Ellipse hatten wir a = p/(1 − ε ) und b = p/√1 − ε definiert. Da bei der Hyperbel
aber ε > 1 ist, ergäbe dies negative Werte für a und einen imaginären Wert für b. Auf
den ersten Blick ist das für Strecken nicht brauchbar, aber so schlecht ist es auch wieder
nicht, denn viele für die Ellipse hergeleiteten Formeln kann man dadurch sofort auf
die Hyperbel übertragen. Dies werden wir im folgenden ausnützen, indem wir in den
Gleichungen der Ellipse a durch −a und b durch −b ersetzen, oder – wenn wir mit p
und ε rechnen – ersetzt man 1 − ε durch ε − 1.
Um positive Werte für a und b zu erhalten, muss man also definieren:
p
a =
ε − 1
p
b =
√ε − 1
(8)
10

1.3 Hyperbel
Weiter in der Analogie:
a + r p =
p
ε − 1 +
p
ε + 1 =
Mittelpunktsgleichung
pε
ε − 1 = ε a = e und e = ε a = a + b
Aus der Mittelpunktsgleichung (6) der Ellipse entsteht ebenso die Mittelpunktsgleichung
der Hyperbel:
x y
−
a b = 1 ⇒ y = b
a (x − a ) (9)
Asymptoten
In der Polargleichung (1) geht r gegen Unendlich wenn der Nenner Null wird. Dies ist
der Fall, wenn
1 + ε cos φ = 0 ⇒ cos φ = − 1 ε ⇒ tan φ = 1 − cos φ
cos φ
= √ε − 1
Dies ist gerade b/a. Damit gilt für den von den beiden Asymptoten eingeschlossenen
Winkel θ:
tan θ 2 = b a = √ε − 1 und cos θ 2 = −1 ε
und sin θ 2 = 1 ε √ε − 1 (10)
Dies hätte man auch aus der Mittelpunktsgleichung (9) der Hyperbel ersehen können,
denn für große x geht diese in
y = b
a x ⇒ y = ± b x (11)
a
über, und das sind die Gleichungen der beiden Asymptoten.
Krümmungskreis
Auch der Krümmungskreisradius kann übertragen werden:
Brennpunkteigenschaften
ρ = −b
−a = b
a
= p (12)
Bei der Ellipse war die Summe der Längen der beiden Brennstrahlen 2a. Bei der Übertragung
müsste sie −2a sein. Betrachtet man die Herleitung der Formel auf Seite 7, dann
stellt man fest, dass die Übertragung auf ein negatives F ′ X führen würde, während FX
unverändert bliebe, so dass man für die Brennpunkteigenschaften erhält:
Die Differenz der Brennstrahlen zu einem Hyperbelpunkt ist immer 2a.
Die Hyperbeltangente halbiert den von den Brennstrahlen eingeschlossenen
Winkel.
11

1 Kegelschnitte
1.4. Parabel
Die Parabel hat ε = 1. Damit ist sie der einfachste der drei Kegelschnitte. Angaben für
a und b machen keinen Sinn, da in der Definition der Nenner Null wird. In der Abb. 3
ist ein Schaubild gezeichnet. Die Parabel hat nur einen Ast, so dass keine Symmetrie zu
zwei Achsen auftritt, sondern nur eine Symmetrie zur x-Achse.
Für den Perizentrumsabstand bekommt man:
r p = p 2
(13)
X
T
r
R
p
H
Φ
F
p
2
P
Abb. 3 Die Parabel
Scheitelgleichung
Da es keinen Mittelpunkt gibt, kann man keine Mittelpunktsgleichung angeben, sondern
nur eine Scheitelgleichung, bei der man den Scheitel im Ursprung wählt. Dazu setzt man
wieder:
Bildet man nun:
y =
p cos φ
x =
1 + cos φ − p 2
p sin φ
y =
1 + cos φ
p sin φ
(1 + cos φ) = p (1 − cos φ)
= p (1 − cos φ)
(1 + cos φ) 1 + cos φ
12

1.4 Parabel
und
Dann erhält man
2px = 2p cos φ
1 + cos φ − p = 2p cos φ − p − p cos φ
= p (cos φ − 1)
1 + cos φ
1 − cos φ
y = −2px
als Scheitelform der Parabel.
Diese Parabel ist, wie auch die mittels Gl. (1) entstehende, nach »links« geöffnet.
Meistens gibt man die Scheitelform für nach rechts geöffnete Parabeln an, dann lautet
sie:
y = 2px (14)
Krümmungskreis
Den Krümmungskreisradius kann man hier recht einfach ausrechnen. Ein Kreis mit
Radius ρ und Mittelpunkt auf der x-Achse, der durch den Scheitel geht, hat die Gleichung:
(x − ρ) + y = ρ
Schneidet man ihn mit der nach rechts geöffneten Parabel, dann bekommt man:
(x − ρ) + 2px = ρ ⇒ x − 2x(ρ − p) = 0
Diese Gleichung darf nur eine Lösung haben, nämlich x = 0. Somit muss ρ = p gelten.
Damit gilt für den Krümmungskreis
ρ = p (15)
Tangenteneigenschaft
Parabeln kennt man ja aus der Schule in der Form y = cx . Dort sind sie nach oben
(oder unten für negative c) geöffnet. Sie entstehen aus der Scheitelform (Gl. (14)) durch
Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, also durch Vertauschung von x und y.
Der Zusammenhang zwischen c und p ist dann 2p = 1/c.
Die Tangente in einem beliebigen Punkt (x | y) der Parabel y = cx hat die Steigung 2cx.
Ein Steigungsdreieck mit der Höhe y hat also die Grundseite
cx
2cx = 1 2 x
Die Tangente schneidet somit die Scheiteltangente (hier die x-Achse) bei x/2. In Abb. 3
gilt demnach
Die Tangente im Punkt X der Parabel schneidet die Scheiteltangente in H.
Der Punkt H ist der Mittelpunkt von PT.
13

1 Kegelschnitte
1.5. Leitlinieneigenschaft der Kegelschnitte
g
T
F
φ
d
r
In nebenstehender Abbildung ist g die sogenannte Leitlinie,
die vom Punkt F den Abstand c haben möge. Wir
zeigen nun, dass die Kegelschnitte die Kurven aller der
Punkte sind, für die das Verhältnis r ∶ d = ε konstant ist.
(Dies kann für den Kreis mit ε = 0 nicht gelten!)
Legt man zunächst den Ursprung nach F, dann gilt
d = c + r cos φ und damit
r
d =
r
= ε ⇒ r(1 − ε cos φ) = εc
c + r cos φ
Setzt man hier noch εc = p, dann bekommt man bis auf das Minus vor dem ε genau
die Gleichung (1):
p
r =
(16)
1 − ε cos φ
Man kann sich überlegen, dass diese Gleichung denselben Kegelschnitt wie Gl. (1)
darstellt, nur diesmal »nach rechts« geöffnet.
1.6. Scheitelform der Kegelschnitte
Nicht nur für die Parabel, sondern auch für Ellipse und Hyperbel lässt sich eine Scheitelform
angeben. Dazu setzt man diesmal den Ursprung in den Scheitel, der um das Stück
r p = p/(1 + ε) links von F liegt. Für die kartesischen Koordinaten eines Punktes gilt dann
auf Grund der Leitlinieneigenschaft mit den Bezeichnungen von Abschnitt 1.5
(x − r p ) + y = ε (c + x)
Nun war c = p/ε der Abstand von Leitlinie und Brennpunkt. Der Abstand von Scheitel
und Leitlinie ist c − r p und das ist:
Damit bekommt man:
c − r p = p ε −
(x − r p ) + y = ε p
ε(1 + ε) + x
p
1 + ε = p
ε(1 + ε)
= ε r p
ε + x = r p + 2εr p x + ε x
y = −x + 2r p x − r p + r p + 2εr p x + ε x = (ε − 1)x + 2xr p (1 + ε)
= (ε − 1)x + 2xp
Damit haben wir die Scheitelform der Kegelschnitte:
y = 2px − (1 − ε )x (17)
14

1.7 Mutation der Kegelschnitte
1.7. Mutation der Kegelschnitte
Die Parabel ist eine Art »Trennkurve« zwischen Ellipsen und Hyperbeln. Hält man
nämlich den Brennpunkt fest und lässt ε von 0 an immer größer werden, dann bekommt
man immer langgestrecktere Ellipsen, wenn ε gegen 1 geht. Der Perizentrumsabstand
nähert sich dem Grenzwert p/2 für Ellipsen und der Apozentrumsabstand geht gegen
Unendlich.
Sobald der Wert ε = 1 erreicht ist, schließt sich die Ellipse nicht mehr und man hat
die Grenzlage der Parabel, die noch keine Asymptoten hat. Eine weitere Erhöhung des
Wertes von ε ergibt nun Hyperbeln. Der Perizentrumsabstand ist jetzt immer kleiner
als p/2. Bei den nun entstehenden Hyperbeln bilden die beiden Asymptoten für ε-Werte
sehr nahe bei 1 zunächst fast eine Gerade (vgl. Gl. (10)). Mit weiter wachsendem ε
schließen die Asymptoten dann immer größere Winkel ein, und im Grenzfall ε → ∞
fallen die Asymptoten und die Brennpunkte zusammen und die Hyperbel entartet zu
einer Geraden.
2. Differentialrechnung
Die Differentialrechnung versucht, eine Funktion in der Umgebung eines Kurvenpunktes
durch ihre Tangente, also eine lineare Funktion zu approximieren. Dadurch kann man
kleine Änderungen der Funktion durch lineare Funktionen ausdrücken.
2.1. Tangentensteigung und Ableitung
P
x 0
dx = ∆x
Q
dy
∆y
Abb. 4 Tangentensteigung
Um die Steigung der Tangente in P zu bestimmen, betrachtet
man zunächst die Sehne PQ. Ihre Steigung entnimmt
man dem Steigungsdreieck zu
m s = Δy
Δx = f(x + Δx) − f(x )
Δx
(18)
Nun rückt man den Punkt Q immer näher an den Punkt
P heran, indem man Δx immer kleiner macht. Dadurch
wird die Sehne immer mehr zur Tangente. Die Tangente
ist also die Grenzlage der Sehne für Δx → 0. Dadurch
erhält man als Steigung der Tangente:
Δy
m t = lim
Δx→ Δx = lim f(x + Δx) − f(x )
Δx→ Δx
(19)
Diese Steigung der Tangente an der Stelle x bezeichnet man als Ableitung der Funktion
an der Stelle x und schreibt für sie f ′ (x ). Den Quotienten von Gl. (18) bezeichnet man als
Differenzenquotient. Eine Funktion wird differenzierbar genannt, wenn der Grenzwert (19)
15

2 Differentialrechnung
existiert. Alle elementaren Funktionen (Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Wurzeln,
trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, …) sind differenzierbar.
Mit der Punkt-Steigung-Form der Gerade kann man nun die Gleichung der Tangente
anschreiben:
y = m t (x − x ) + f(x ) = f(x ) + f ′ (x )(x − x )
Die Gleichung lässt sich umschreiben auf die Verwendung von Δx und dy:
y − f(x ) = f ′ (x )Δx ⇒ dy = f ′ (x )dx ⇒ df(x)
dx
= dy
dx = f′ (x ) (20)
dy bezeichnet man als Differential. Es ist eine Funktion von zwei Variablen, dem Startpunkt
x und dem Zuwachs dx = Δx in x-Richtung. Es gibt den Zuwachs der Tangente
an, während Δy den tatsächlichen Zuwachs der Funktion angibt. Wichtig ist dabei, dass
die Abhängigkeit von dx linear ist. In der letzten Gleichung ist f ′ (x) als Quotient der
Differentiale dy und dx aufgefasst, deshalb nennt man f ′ (x ) auch den Differentialquotienten.
Das Entscheidende ist nun, dass im Grenzfall kleiner dx aus der Differenz Δy das
Differential dy wird.
In der Physik stellt man sich also unter Differentialen extrem kleine Größen vor, für
die man schreiben kann:
dy = f(x + dx) − f(x) = f ′ (x)dx oder: f(x + dx) = f(x) + f ′ (x)dx (21)
Aus Sicht der Mathematik ist das nicht sauber. Ein Größe, die kleiner ist als jede Zahl
(betragsmäßig), ist Null und damit macht die obige Gleichung keinen Sinn mehr. Mathematisch
sinnvoll ist nur der Differentialquotient, der Grenzwert eines Quotienten aus
zwei gegen Null strebenden Größen ist. Ein solcher Grenzwert kann durchaus existieren.
Was der Physiker hier macht, ist tatsächlich die Approximation der Funktion durch
ihre Tangente. Dann sind dy und dx endliche Größen, für die Gl. (21) richtig ist. Dass
diese Gleichung auch auf die Funktion angewendet werden kann, liegt daran, dass für
sehr kleine dx Funktion und Tangente sich kaum mehr unterscheiden. Es wird also der
Grenzübergang »vorweggenommen«.
Der dadurch entstehende »Calculus« ist sehr mächtig. Man rechnet mit den Differentialen
rum, und weil diese ja extrem klein sind, sind höhere Potenzen um Größenordnungen
kleiner, so dass man alle Terme mit dx und höheren Potenzen bei der Rechnung vernachlässigen
kann.
2.2. Ableitungsregeln
Sind u(x) und v(x) Funktionen, a und k Konstanten, dann gelten die Regeln:
Summenregel: (u + v) ′ = u ′ + v ′ insbesondere (u + a) ′ = u ′
Faktorregel: (k ⋅ u) ′ = k ⋅ u ′
Produktregel: (uv) ′ = u ′ v + uv ′ 16

2.2 Ableitungsregeln
Quotientenregel: u v ′ = u′ v − uv ′
Kettenregel: (f(u(x))) ′ = f ′ (u)u ′ (x) =
Umkehrfunktion:
v
Ableitung der inneren Fkt. mal Ableitung der äußeren Fkt.
f ′ ̄ (y) = 1
f ′ (x)
wobei y = f(x) und x =
̄ f(y)
Als Beispiel für den Calculus soll die Produktregel bewiesen werden:
u(x + dx)v(x + dx) = (u(x) + u ′ (x)dx)(v(x) + v ′ (x)dx)
= u(x)v(x) + (u ′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x))dx + u ′ (x)v ′ (x)dx
Nach der Grundregel des Calculus werden höhere Potenzen von dx vernachlässigt, und
nach Gleichung (21) ist der Faktor bei dx die Ableitung. Damit ist die Produktregel
bewiesen. Genauso beweist man die anderen Regeln, etwa die Kettenregel:
z = f(u) ⇒ dz
dx = dz
du ⋅ du
dx = f′ (u)u ′ (x)
Auch die Umkehrfunktion geht nach diesem Schema:
y = f(x) ⇒ f ′ (x) = dy
dx
und x = f(y) ̄ ⇒ f ′ ̄ (y) = dx
dy = 1 y
x
= 1
f ′ (x)
Die Grundformel (19) dient zur Bestimmung von Ableitungsregeln für spezielle Funktionsklassen.
Es soll die Ableitung der Funktion y = f(x) = x n bestimmt werden:
Somit ist nach Gleichung (21)
(x + dx) n = x n + nx n− dx + Zeug mit dx und höher
Ein weiteres Beispiel ist f(x) = sin x:
dx n
dx = nxn−
Δy sin(x + Δx) − sin x sin x cos Δx + cos x sin Δx − sin x
= =
Δx Δx
Δx
sin x(cos Δx − 1) + cos x sin Δx cos Δx − 1 sin Δx
= = sin x + cos x
Δx
Δx
Δx
Nun muss der Grenzübergang gemacht werden. Zunächst ist bekanntlich (im Bogenmaß
rechnen!)
sin Δx
lim = 1
Δx→ Δx
denn im Bogenmaß ist Δx der Bogen im Einheitskreis und sin Δx die Ordinate. Für kleine
Δx sind diese gleich.
17

2 Differentialrechnung
cos Δx − 1
Δx
=
(cos Δx − 1)(cos Δx + 1)
Δx(1 + cos Δx)
= cos Δx − 1
Δx(cos Δx + 1)
= −sin
Δx
Δx
sin Δx
cos Δx + 1
Der erste Faktor im letzten Ausdruck hat den Grenzwert 1, der zweite Faktor wird im
Zähler Null und im Nenner 2, also hat dieser den Grenzwert Null und somit auch der
ganze Ausdruck.
Damit erhält man
(sin x) ′ Δy
= lim = sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1 = cos x
Δx→ Δx
Die Ableitungen weiterer Funktionen findet man in allen Formelsammlungen.
2.3. Geometrische Bedeutung der Ableitung
Die Ableitung f ′ (x) einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an.
Entsprechend gibt f ″ (x) die Steigung der Ableitungsfunktion an.
2.3.1. Maxima und Minima
Ist für eine Funktion in einem Intervall a ⩽ x ⩽ b die Ableitung f ′ (x) > 0, dann ist f
in diesem Intervall streng monoton steigend. Dies ist sogar dann noch richtig, wenn in
einzelnen, isolierten Punkten des Intervalls f ′ (x) = 0 ist. Vgl. dazu die Funktion y = x ,
die streng monoton in R ist und an allen Stellen außer x = 0 eine positive Ableitung
(y ′ = 3x ) hat. In anderen Worten: f ′ (x) darf nicht in einer ganzen Umgebung eines
Punktes Null sein.
Auf diese Weise lassen sich die Maxima und Minima der Funktion bestimmen. Ist
etwa die Funktion in einem Intervall a < x < x monoton steigend im anschließenden
Intervall x < x < b monoton fallend, so muss bei x ein Maximum auftreten. Da dort
das Vorzeichen von f ′ (x) von Plus auf Minus wechselt, muss f ′ (x ) = 0 sein. Die analoge
Überlegung gilt für die Minima.
Damit hat man: Kandidaten für Maxima und Minima einer Funktion sind die Stellen
x , an denen f ′ (x ) = 0 gilt. Ob an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum oder Maximum
vorliegt, muss an Hand des Vorzeichenwechsels von f ′ an der Stelle x entschieden
werden. So hat etwa die Funktion f(x) = x die Ableitung f ′ (x) = 3x , für diese gilt
f ′ (0) = 0, trotzdem liegt dort kein Extrempunkt vor, denn sowohl links als auch rechts
der Stelle x = 0 ist das Vorzeichen von f ′ (x) positiv.
2.3.2. Krümmung einer Kurve
Ist in einem Intervall a < x < b die zweite Ableitung f ″ (x) > 0 dann ist f ′ (x) streng
monoton steigend. Dadurch wird die Tangente an die Funktion f immer steiler. Das
bedeutet, dass f eine Linkskurve ist. (Wenn man in Richtung zunehmender x auf der Kurve
entlangfährt, so muss man das Steuer nach links einschlagen). Entsprechend bedeutet
18

2.3 Geometrische Bedeutung der Ableitung
f ″ (x) < 0 eine Rechtskurve. Stellen, an denen die Kurve von Links- auf Rechtskurve oder
umgekehrt wechselt, heißen Wendepunkte.
Kandidaten für Wendepunkte sind also die Stellen mit f ″ (x ) = 0. Es liegt tatsächlich
ein Wendepunkt vor, wenn an dieser Stelle f ″ einen Vorzeichenwechsel hat.
Etwa für f(x) = x ist f ″ (x) = 6x, somit ist f ″ (0) = 0. Für x-Werte links von Null ist
f ″ (x) < 0, für solche rechts von Null dagegen f ″ (x) > 0. Es liegt also ein VZW von f ″ an
der Stelle x = 0 vor, somit ist bei x = 0 ein Wendepunkt.
Als Gegenbeispiel dient f(x) = x mit f ″ (x) = 12x . Zwar ist hier ebenfalls f ″ (0) = 0,
somit x = 0 ein Wendepunktkandidat, aber an allen Stellen außer x = 0 ist f ″ (x) > 0, es
liegt also kein VZW und somit kein Wendepunkt vor.
2.3.3. Ableitung in Polarkoordinaten
O
φ
∆φ
S
α
Q
δ
µ
P
β
Ist eine Kurve in Polarkoordinaten r = r(φ) gegeben,
wie etwa die Kegelschnitte in Gl. (1) also durch den
Stellwinkel φ gegenüber der positiven x-Achse und den
Abstand r vom Ursprung, dann kann man r ′ (φ) nach
den üblichen Ableitungsregeln berechnen. Aber r ′ (φ)
ist nun nicht die Steigung der Tangente an das Schaubild.
Denn nach der Grundformel (19) muss man den
Grenzwert des Differenzenquotienten bilden, also
dr
dφ = lim Δr
Δφ→ Δφ = lim r(φ + Δφ) − r(φ)
Δφ→ Δφ
Nun ist aber hier r(φ) = OP, r(φ + Δφ) = OQ, Δr = r(φ + Δφ) − r(φ) = SQ und für
kleine Δφ ist PQS ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei S und weiter (im
Bogenmaß!) SP = rΔφ.
Für den Winkel δ = ∢(PQS) bekommt man damit:
tan δ = rΔφ
Δr
Nun interessiert ja die Steigung der Tangente. Diese ist die Grenzlage der Sekante PQ,
die den Steigungswinkel β besitzt. Für diesen gilt
β = δ + (φ + Δφ)
Im Grenzfall Δφ → 0 wird δ → μ und β → α, und man bekommt α = μ + φ, somit
tan μ = r dφ
dr = r(φ)
r ′ (φ)
(22)
dabei ist nun μ der Winkel zwischen OP und der Tangente.
19

2 Differentialrechnung
2.3.4. Bogenlänge einer Kurve
In Abb. 4 fällt die Länge des Kurvenbogens PQ für kleine dx mit der Länge der Strecke
PQ zusammen. Somit kann man die Länge des Bogenelements mit dem Pythagoras
ausrechnen:
(Δs) = (Δx) + (Δy) ⇒ ds = dx + dy = dx 1 + dy
dx
Daraus folgt für das »Bogenlängenelement«:
ds =
1 + (f ′ (x)) dx (23)
Die Länge eines endlichen Kurvenstücks bekommt man dann durch Integration der
ds. Das ist Gegenstand des Abschnitts über Integration.
2.3.5. Krümmungskreis
M
R dα
dα
R Q
P
α
Abb. 5 Krümmungskreis
In nebenstehender Abbildung soll der Radius R des
Krümmungskreises im Punkt P bestimmt werden. Dazu
betrachten wir den eng benachbarten Punkt Q. Diese
Punkte liegen das Stück ds auseinander und es muss
gelten:
ds = Rdα ⇒ R = ds
dα
Nun ist aber α die Steigung der Tangente, also tan α =
f ′ (x). Daraus folgt α = arctan f ′ (x). Daraus erhält man
mit der Kettenregel und unter Beachtung der Ableitung
arctan ′ (x) = 1/(1 + x )
dα = α ′ (x)dx =
f″ (x)dx
1 + (f ′ (x))
Mit ds aus Gl. (23) bekommt man
R = ds
dα = ( 1 + (f′ (x)) )(1 + (f ′ (x)) ))
f ″ = [1 + (f′ (x)) ] /
(x)
f ″ (x)
(24)
Eine entsprechende Formel lässt sich in Polarkoordinaten herleiten, sie lautet:
R =
(r + r ′ ) /
r + 2r ′ − r r ″ (25)
Eine Gerade hat den Krümmungsradius Unendlich, bei einem Kreis ist der Krümmungsradius
konstant gleich dem Kreisradius, bei allen anderen Kurven hängt der
Krümmungsradius vom Kurvenpunkt ab.
20

2.4 Die l’Hospitalsche Regel
2.4. Die l’Hospitalsche Regel
Im allgemeinen bestimmt man Grenzwerte für x → ∞ durch Vernachlässigen aller
Potenzen außer der höchsten in Summen, und Grenzwerte gegen endliche Stellen durch
Einsetzen. Dies ist möglich, da man es meist mit stetigen Funktionen zu tun hat, für die
definitionsgemäß der Grenzwert dem Funktionswert gleich ist. Bei dieser Einsetzung
entstehen bisweilen Ausdrücke der Form 0/0 bzw. ∞/∞ oder 0 ∞ , die unbestimmt sind.
Grenzwerte, die zu solchen Ausdrücken führen, können oft mit den Regeln von l’Hospital
bestimmt werden. Nehmen wir an, es seien zwei differenzierbare Funktionen f
und g gegeben, für die f(a) = 0 und g(a) = 0 ist. Es soll der Grenzwert des Quotienten
f(x)/g(x) für x → a bestimmt werden. In der Nähe des Punktes a kann man schreiben:
f(a + dx) = f(a) + f ′ (a)dx = f ′ (a)dx
g(a + dx) = g(a) + g ′ (a)dx = g ′ (a)dx
Damit gilt für den Quotienten
f(x)
lim
x→a g(x) = lim f(a + dx)
x→ g(a + dx) = lim f ′ (a)dx
x→ g ′ (a)dx = f′ (a)
g ′ (a) = lim f ′ (x)
x→a g ′ (x)
(26)
Dies ist die l’Hospitalsche Regel. Würde sich rechts nochmals 0/0 ergeben, dann kann
man die Aktion wiederholen, bis man einen eindeutig bestimmten Quotienten bekommt.
Die Gleichung gilt genauso in dem Falle, dass f(a) = g(a) = ∞ sind, die Ableitungen
aber endlich. Fälle wie 0 ∞ oder 0 (das ist unbestimmt, weil i. a. einerseits a = 1 ist,
andererseits 0 x = 0) führt man gewöhnlich durch Logarithmieren auf die Form 0/0 oder
∞/∞ zurück.
Beispiele:
cos x − 1 sin x
lim = lim = 0
x→ x x→ 1 1 = 0
ln x
lim x ln x = lim = lim
x→ x→ x→
x
x
− x
= − lim
x→
x = 0
Für x → 0 ergäbe x ln x den unbestimmten Ausdruck 0 ⋅ ∞, er wurde hier umgeschrieben
auf einen Ausdruck der Form ∞/∞
3. Integralrechnung
3.1. Stammfunktionen
Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn F ′ (x) = f(x) gilt.
Ist F irgendeine Stammfunktion von f, dann ist auch F(x) + C (mit konstantem C) eine
Stammfunktion, denn beim Ableiten fällt ja C als konstanter Summand weg. Jede Funktion
hat also unendlich viele Stammfunktionen, die sich aber nur um einen konstanten
Summanden unterscheiden.
21

3 Integralrechnung
y=f(x)
y y y y y y y
0 1 2 3 4 5 6
a= x x x x x x x =b
0 1 2 3 4 5 6
Abb. 6 Integral und Flächeninhalt
3.2. Begriff des Integrals
In Abb. 6 soll die Fläche zwischen der x-Achse und der Funktion y = f(x) zwischen x = a
und x = b berechnet werden.
Um eine Näherung für diese Fläche zu bekommen, teilt man sie in Streifen auf (in der
Abb. 6 sind es 6 Streifen) und nimmt die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke als
Näherung für die Fläche. Wenn man die Zahl der Streifen so erhöht, dass die Breite jedes
Streifens gegen Null geht, dann bekommt man als Grenzwert die gesuchte Fläche. In
Abb. 6 ist die Näherung:
A = y (x − x ) + y (x − x ) + y (x − x ) + y (x − x ) + y (x − x ) + y (x − x )
Beachtet man, dass y k = f(x k ) ist und schreibt man Δx = x − x , Δx = x − x usw.,
dann bekommt man für n Streifen:
A n = f(x )Δx + f(x )Δx + ⋯ + f(x n )Δx n = f(x k )Δx k
Der Grenzwert dieser A n ist nun die gesuchte Fläche:
b
a
dy = b
f(x) dx = lim f(x k )Δx k (27)
a
Beim Grenzübergang ist nur zu beachten, dass mit Erhöhung der Streifenzahl n auch
alle Breiten Δx k gegen Null gehen, also lim n→∞ max Δx k = 0 gilt.
Schaut man sich die Abb. 6 an, dann stellt man fest, dass statt f(x k ) als Seite der
Rechtecke auch Rechtecke verwendet werden könnten, deren Seite irgendein f(u k ) ist,
wobei x k− ⩽ u k ⩽ x k ist.
Grenzwerte der Art von Gl. (27) heißen Integrale. Funktionen, für die dieser Grenzwert
für jede Art der Unterteilungsfolge und jede Wahl der f(u k ) existiert und immer denselben
Wert ergibt, heißen integrierbar.
Als Physiker sagt man, durch Integration werden Elemente der Form dy = f(x) dx
aufaddiert.
n→∞
n
k=
n
k=
22

3.3 Der Hauptsatz
3.3. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Die Bestimmung der Grenzwerte in Gleichung (27) ist eine mühselige Angelegenheit.
Aber alles wendet sich zum Guten, denn Integrale können mittels Stammfunktionen
bestimmt werden.
Um dies klar zu machen betrachten wir irgendeine Stammfunktion F der Randfunktion
f. Nach der Grundformel (20) ist dann
dF(x) = F ′ (x)dx = f(x)dx ⇒ ΔF(x k ) ≈ f(x k )Δx k ⇒ F(x k ) − F(x k− ) ≈ f(x k )Δx k
Die Näherung ist umso besser je kleiner Δx k ist.
Wendet man diese Beziehung auf die Näherungssumme A n an, dann bekommt man:
A n ≈ (F(x ) − F(x )) + (F(x ) − F(x )) + ⋯ (F(x n ) − F(x n− )
In dieser Gleichung heben sich alle Summanden bis auf F(x ) und F(x n ) heraus, also ist,
weil x = a und x n = b ist, A n ≈ F(b) − F(a).
Diese Näherung wird umso besser, je kleiner die Δx werden, also hat man für den
Grenzwert:
n
b
f(x) dx = lim f(x
a
n→∞ k )Δx k = F(b) − F(a) = [F(x)] b a (28)
k=
Dies ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit ihm wird das Problem
der Integration auf das Auffinden einer Stammfunktion zurückgeführt. Als Mathematiker
müsste man noch anfügen, dass diese Beziehung nicht immer gilt, sondern nur
unter gewissen Voraussetzungen.
Der Hauptsatz ist sicher dann richtig, wenn die Funktion f stetig ist. In diesem Fall
kann man auch so formulieren:
I a (x) = x
f(ξ) dξ ⇒ I ′ a(x) = f(x)
a
Die Funktion I a nennt man hier die Integralfunktion. Man kann sie sich vorstellen als
die Funktion die jeder Stelle x die Fläche zwischen a und x zuordnet. Unter den obigen
Voraussetzungen ist also die Ableitung der Integralfunktion gleich der Randfunktion.
Ist die Randfunktion f nicht im ganzen Intervall stetig, sondern nur »stückweise stetig«,
dann ist zwar die Integralfunktion immer noch stetig, aber in den Trennpunkten der
Stetigkeitsbereiche nicht mehr notwendig differenzierbar.
Häufig kommen auch sogenannte unbestimmte Integrale vor. Ein unbestimmtes Integral
ist einfach eine Stammfunktion. Man schreibt dann
und nennt C die Integrationskonstante.
f(x) dx = F(x) + C
23

3 Integralrechnung
Eine Stammfunktion zu finden, ist allerdings häufig auch nicht sehr einfach. Für
viele aus elementaren Funktionen zusammengesetzte Funktionen bekommt man leider
Stammfunktionen, die nicht mehr elementar dargestellt werden können. Das gilt schon
für so einfach aussehende Integrale wie
sin x
x
Da sin x/x in ihrem Definitionsbereich stetig ist, muss sie nach dem Hauptsatz eine
Stammfunktion haben. Sie lässt sich allerdings nicht mehr durch elementare Funktionen
ausdrücken, sondern gibt eine »neue« sogenannte »höhere« Funktion, die man Integralsinus
nennt. Ihre Funktionswerte kann man mit Tabellen oder mit Computerprogrammen
bestimmen. Zunächst mag man meinen, dies sei etwas besonderes, aber auch die Werte
eines Logarithmus oder eines Sinus kann man nur mit dem Taschenrechner berechnen
oder aus einer Funktionentafel entnehmen.
3.4. Integrationsregeln
Da Integration die Umkehrung des Ableitens ist (»Aufleiten«) übertragen sich die Ableitungsregeln
auf das Integrieren:
• Konstante Faktoren bleiben stehen.
dx
• Summen werden summandenweise aufgeleitet.
• b
= c
+ b
a
a
• b
= − a
a
b
c
• Es gibt keine direkte Umkehrung der Produkt-, Quotienten und Kettenregel, sondern
hier muss man kompliziertere Verfahren verwenden.
Wichtige Integrale sind:
x n dx = xn+
n + 1
(29)
sin x dx = − cos x (30)
cos x dx = sin x (31)
dx = tan x (32)
cos x
1 dx = ln |x| (33)
x
dx = arctan x (34)
1 + x 24

3.4 Integrationsregeln
In Formelsammlungen stehen viele Integrale, es gibt auch Integraltafeln, die hunderte
von Integralen fertig angeben. CAS-Programme können alle sehr gut integrieren.
Aus der Formel (28) erkennt man, dass das Integral negativ wird, wenn im betrachteten
Intervall f(x) < 0 ist. Dann verläuft die Kurve unterhalb der x-Achse, und man muss
als Fläche den Betrag nehmen. Integrale sind aber nicht nur Flächen, mit ihnen kann
man Volumina, Energien, Ladungen und und und …ausrechnen, und bei vielen dieser
Größen sind negative Werte durchaus sinnvoll!
3.4.1. Produktintegration
Nach der Produktregel ist (uv) ′ = u ′ v+uv ′ . Integriert man nun beide Seiten, und beachtet,
dass nach dem Hauptsatz ∫ (uv) ′ dx = uv ist, dann bekommt man die Formel für die
Produktintegration, die auch partielle Integration genannt wird.
u ′ v dx = uv − uv ′ dx (35)
Mit dieser Regel kann man z. B. Integrale folgender Form lösen:
x sin x dx
Setzt man hier u ′ = sin x, v = x, dann ist u = − cos x und v ′ = 1. Setzt man diese Werte in
die Produktintegrations-Formel ein, dann folgt:
x sin x dx = (− cos x)x − (− cos x) ⋅ 1 dx
= −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x
Ein anderes schönes Beispiel ist die Stammfunktion von ln x. Dazu fasst man ln x als
1 ⋅ ln x auf und wählt u ′ = 1, v = ln x, also u = x und v ′ = 1/x und erhält:
ln x dx = x ln x − x ⋅ 1 dx = x ln x − 1 dx = x ln x − x
x
3.4.2. Substitutionsmethode
Es soll die Stammfunktion von x(1 − x ) bestimmt werden. Hier wäre zum Ableiten
die Kettenregel und die Produktregel nötig, beides gibt es aber in reiner Form beim
Integrieren nicht. Man kann aber häufig durch geschickte Substitution das Integral
auf eine Form bringen, für die dann eine Stammfunktion angegeben werden kann.
Der wesentliche Punkt dabei ist, dass nicht nur x sondern auch dx der Substitution
unterworfen werden muss.
In diesem Beispiel setzen wir u = 1 − x . Dann ist du = u ′ (x)dx = −2xdx. Somit ist
dx = −du/2x. Nun geht’s los:
x(1 − x ) dx = xu −1
2x du = −1 2 u du = − 1
20 u = − 1
20 (1 − x )
25

3 Integralrechnung
Hätten wir hier die Stammfunktion nicht benötigt, sondern nur den Wert eines bestimmten
Integrals, dann hätte man sich die Rücksetzung sparen können, indem man
die Grenzen auf die neue Variable umschreibt:
x(1 − x ) dx = − 1
x=
2 u du = − 1
u= 20 u = − 1 1
(0 − 1) =
20 20
In diesem Beispiel haben wir einen Teilausdruck des Integrals gleich u gesetzt. Im
folgenden Beispiel machen wir es anders herum und setzen x gleich einer Funktion von
u. Es soll die Fläche einer Ellipse berechnet werden. Für den oberen Ellipsenbogen gilt
die Gleichung (Auflösen der Mittelpunktsform (6) nach y):
y = b a √a − x
Die Fläche unter dem oberen Ellipsenbogen ist die halbe Ellipsenfläche und berechnet
sich so:
A =
a
x=−a
b
a √a − x dx =
π
u=− π
b
a √a − a sin u a cos u du =
π
− π
ab cos u du
Dabei hat man x = a sin u gesetzt, dann wird dx = a cos udu. Nun muss man nur noch
die Stammfunktion von cos u ermitteln. Dazu kann man etwa die Beziehung cos 2u =
2 cos u − 1 heranziehen, also cos u = (1 + cos 2u). Diese hat die Stammfunktion (u +
sin u cos u). Damit bekommt man für die Fläche:
A = ab 2 [u + sin u cos u]+ π
− π
= ab 2 [(π 2 + 0) − (−π 2 + 0)] = 1 2 πab
Die gesamte Fläche der Ellipse ist doppelt so groß, also πab.
3.4.3. Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung ist ein allgemeines Verfahren zur Integration gebrochen rationaler
Funktionen. Es sei gegeben:
f(x) = P(x)
Q(x) = a + a x + ⋯ + a n x n
b + b x + ⋯ + b m x m (36)
Im Falle m ⩽ n führt man zuerst eine Polynomdivision aus, dann bekommt man eine
ganzrationale Funktion und eine gebrochen rationale mit m > n, so dass wir uns für das
Weitere auf den Fall m > n beschränken können.
Das Nennerpolynom kann im Komplexen vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden,
im Reellen bleiben ggf. quadratische Faktoren übrig, die keine reellen Nullstellen mehr
haben. Seien nun x k die Nullstellen von Q(x) mit der Vielfachheit ν k dann kann man Q(x)
stets auf die folgende Form bringen:
Q(x) = b m (x − x ) ν (x − x ) ν … (x − x k ) ν k(x + α x + β ) μ … (x + α r x + β r ) μ r (37)
26

3.4 Integrationsregeln
Die gebrochen rationale Funktion f(x) lässt sich nun als Summe von Partialbrüchen
schreiben. Dabei gilt:
1. Jeder Linearfaktor (x − x k ) der Vielfachheit ν k trägt zur Zerlegung die folgenden
Summanden bei:
A
(x − x k ) + A
(x − x k ) + ⋯ +
A νk
(x − x k ) ν k
2. Jeder quadratische Faktor mit der Vielfachheit μ k trägt die folgenden Summanden
bei:
C x + D
(x + αx + β) + C x + D
(x + αx + β) + ⋯ +
C μ k
x + D μk
(x + αx + β) μ k
Die Linearfaktoren lassen sich sofort integrieren, bei den quadratischen geht man so vor:
(x + αx + β) = x + α + δ = (δy) + δ = δ (y + 1)
Hier hat man quadratisch ergänzt und δ ⋅ y = x + α
ist
Nun wird das Integral zu:
x = δy − α 2
y = x + α
δ
substituiert. Mit dieser Substitution
dx = δ dy
Cx + D 1 Cδy + D −
dx = Cα
(x + αx + β)
μ
δ μ−
(y + 1) μ dy
= C
δμ− y dy
(y + 1) μ + D − Cα
δ μ− dy
(y + 1) μ
Für das erste der beiden verbleibenden Integrale bekommt man dann
u −μ
⎧
y dy
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(y + 1) μ = 1 du
2 u μ = = für μ = 2, 3, …
2(1 − μ) (38)
ln |u| für μ = 1
Hier hat man u = y + 1 gesetzt. Nun muss noch das zweite bestimmt werden.
J μ =
dy
(y + 1) μ
Für μ = 1 ist es bekannt, J = arctan y.
Wir werden eine Rekursionsformel für die J μ herleiten. Wir beginnen mit der Beziehung
J μ+ = (y + 1) − y
(y + 1) μ+ dy = J μ − y
dy
(y + 1)
μ+
27

3 Integralrechnung
Nun denken wir uns den zweiten Integranden als y⋅Rest geschrieben und integrieren
partiell:
y ⋅
y dy
(y + 1) μ+ =
−y
2μ(y + 1) μ + 1
2μ
dy
(y + 1) μ =
Setzt man das oben ein, so bekommt man die Rekursionsformel:
Insbesondere ist dann (rechne das nach!)
J = arctan y
−y
2μ(y + 1) μ + 1
2μ J μ
J μ+ = 1 − 1
2μ y
J μ +
2μ(y + 1) μ (39)
J = 1 y
arctan y +
2 2(y + 1)
J = 3 8 y
arctan y +
y + 1 y
+
4(y + 1)
J = 5
16 arctan y +
3.5. Beispiele zur Integration
y
y + 1 + 5 24 ⋅
y
(y + 1) +
y
6(y + 1)
Aufgabe 1 Man bestimme die Fläche unter der Parabel y = 2x im Bereich 1 ⩽ x ⩽ 4.
2x dx = 2
3 x = 2 (64 − 1) = 42
3
Aufgabe 2 Bestimme die Formel für das Volumen einer Pyramide der Höhe h und der
Grundfläche G.
Man stellt sich die Pyramide aus dünnen Schichten der Dicke dx parallel zur Grundfläche
aufgebaut vor. Die x-Achse legt man durch die Spitze der Pyramide, so dass die Höhe
auf die x-Achse zu liegen kommt. Da die Flächen der Schichten dann durch zentrische
Streckung aus der Grundfläche entstehen, hat eine Schicht im Abstand x von der Spitze
die Fläche A(x), für die nach dem Strahlensatz gilt:
x A(x)
=
h G
⇒
A(x) = G x
h Das Volumen einer Schicht ist dann dV = A(x) dx. Das Volumen der Pyramide ist die
Summe der Volumina aller Schichten, diese Summe bekommt man durch Integration:
V = h
dV = h
G
h x dx = G h ⋅ 1 3 x h = G
3h (h − 0) = 1 3 Gh
Aufgabe 3 Bestimme die Energie, die notwendig ist, um einen Körper der Masse m im
Schwerefeld der Masse M vom Abstand R ins Unendliche zu bringen.
28

3.5 Beispiele zur Integration
Um den Körper das Stückchen dr vom Zentralkörper zu entfernen, braucht man die
Arbeit dW = F dr, wobei F die Gravitationskraft ist. Die gesamte notwendige Arbeit ist
dann:
W = ∞
dW = ∞
R
R
G Mm
r
dr = GMm − 1 r ∞ R
= GMm(0 − (− 1 GMm
)) =
R R
Dies war ein Beispiel eines sogenannten uneigentlichen Integrals, bei solchen liegen
entweder die Grenzen im Unendlichen, oder die Funktion selbst wird an einer Stelle
unendlich.
Aufgabe 4 Bestimme ∞
e −x dx
−∞
Diese Aufgabe habe ich eingefügt, weil das ein wichtiges Integral ist. Seine Berechnung
ist aber nicht ganz einfach, man muss einen »Umweg« machen. Zuerst schreiben wir:
∞
e −x dx = ∞
e −x dx ∞
e −y dy = ∞
−∞ −∞
−∞ −∞ ∞ e −(x +y ) dx dy
−∞
Führt man nun Polarkoordinaten ein, also x = r cos φ; y = r sin φ, dann ist das Flächenelement
r dφ dr und x + y = r . Das letzte Integral wird dadurch
π
dφ ∞
re −r dr = 2π −
e−r ∞
Mit Substitution kann man nun noch beweisen:
∞
π
e −ax dx =
−∞ a
= π ⇒ ∞
e −x dx = √π
Dazu setzt man u = ax ⇒ du = √a dx. Dies kann nur gehen, wenn a > 0 ist. Man kann
zeigen, dass die Formel sogar für komplexe a stimmt, sofern Ra > 0 ist.
−∞
Anmerkung: e −x hat keine elementare Stammfunktion, es gibt aber eine Reihe von
höheren Funktionen, die mit diesem Integral verwandt sind. Zunächst ist dabei die aus
der Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannte Normalverteilung (Gauß-Verteilung) zu
erwähnen, die durch
Φ(x) = 1
√2π x
−∞
e − t dt mit Φ(∞) = 1
definiert ist. Daneben gibt es die Gaußsche Fehlerfunktion
erf (x) = 2
√π x
e −t dt wobei Φ(x) = 1 2 1 + erf x √2
Aufgabe 5 Bestimme das Integral durch Partialbruchzerlegung. Es sei gegeben:
f(x) =
x + 2
(x − 1)(x + 1) =
A
x − 1 +
B
x + 1
Cx + D Ex + F
+ +
(x + 1) x + 1
29

3 Integralrechnung
Nun müssen die Koeffizienten A, … , F bestimmt werden. Dazu multipliziert man zuerst
mit dem Hauptnenner durch:
x + 2 = A(x + 1)(x + 1) + B(x − 1)(x + 1) + (Cx + D)(x − 1) + (Ex + F)(x − 1)
Zunächst kann man nun für x spezielle Werte einsetzen, so dass möglichst viele Ausdrücke
Null werden:
x = 1 ∶ 3 = 8A ⇒ A =
x = −1 ∶ 1 = −8B ⇒ B = −
x = 0 ∶
2 = + − D − F
Hätte man nur einfache Vielfachheiten, so könnte man auf diese Weise alle Koeffizienten
bestimmen. Hier ist das leider nicht der Fall, so dass wir zur »Ochsentour« greifen
müssen. Dazu wird die rechte Seite ausmultipliziert und dann ein Koeffizientenvergleich
gemacht:
x + 2 = (A − B − D − F) + (A + B − C − E)x + (2A − 2B + D)x
+ (2A + 2B + C)x + (A − B + F)x + (A + B + E)x
Der Koeffizientenvergleich liefert nun ein Gleichungssystem (wobei wir unsere schon
bekannten Werte für A und B gleich einsetzen)
2 = + − D − F
1 = − − C − E
0 = + + D ⇒ D = −1
0 = − + C ⇒ C = −
0 = + + F ⇒ F = −
0 = − + E ⇒ E = −
Setzt man die sich aus den letzten vier Gleichungen ergebenden Werte nun in die beiden
ersten ein, so sind diese erfüllt. Wir sind fertig und haben das Ergebnis
f(x) =
(x − 1) −
x + 1 −
Nach den Gleichungen (38) und (39) ergibt sich so:
x + 1
(x + 1) − x +
x + 1
f(x) dx = 3 8 ln |x − 1| − 1 8 ln |x + 1| + 1 4 ⋅ 1
x + 1
− 1 x
arctan x −
2 2(x + 1) − 1 8 ln |x + 1| − 1 arctan x
2
30

Der Koeffizientenvergleich ist deshalb so leicht gegangen, weil wir schon einige Werte
mit der Einsetze-Methode ermittelt hatten. Man hätte statt des Koeffizientenvergleichs
auch weitere Gleichungen erzeugen können, indem man einfach weitere Zahlen einsetzt.
Wenn irgend möglich, sollte man versuchen mit der Einsetze-Methode zum Ziel zu
kommen. Am aller einfachsten ist es allerdings, Mathematica anzuwerfen, dann hat man
das Integral in Sekundenbruchteilen.
4. Approximierung – Taylorreihen
In der Physik werden komplizierte Formeln häufig durch Näherungen ersetzt, damit
man das zu untersuchende Modell mathematisch einfacher beschreiben kann.
Die wichtigste Technik dabei ist die Entwicklung einer Funktion in eine Reihe. Die am
häufigsten vorkommende Reihe ist die Taylorreihe.
4.1. Das Taylorpolynom
Man versucht eine gegebene Funktion f(x) durch ein Polynom anzunähern. Dazu kann
man zunächst den folgenden Ansatz machen:
f(x) = a + a x + a x + a x + ⋯ + a n x n = a k x n
Leitet man die Funktion ab, so ergibt sich:
n
k=
f ′ (x) = a + 2a x + 3a x + ⋯ + na n x n− = ka k x k−
n
k=
n
f ″ (x) = 2a + 6a x + ⋯ + n(n − 1)a n x n− = k(k − 1)x k−
⋮
f (n) (x) = n! a n
⋮
Setzt man den Wert 0 für x in die obigen Gleichungen ein, dann ergibt sich:
a = f(0) a = f ′ (0) a = f″ (0)
2
k=
… a k = f(k) (0)
k!
Ist die Funktion f selbst kein Polynom, dann ist diese Reihe stets nur eine Näherung,
die Werte der Reihe unterscheiden sich dann vom Funktionswert f(x) um ein »Restglied«
R n (x). Wir schreiben:
n
f (k) (0)
f(x) = x k + R
k!
n (x) (Taylorpolynom) (40)
k=
…
31

4 Approximierung – Taylorreihen
4.2. Die Taylorsche Reihe
Man kann nun auf die Idee kommen, die Zahl der Summanden im Taylorpolynom immer
mehr zu erhöhen um die Näherung zu verbessern. Lässt man in diesem Sinne n gegen
unendlich gehen, dann bekommt man die Taylorsche Reihe
∞
f (k) (0)
f(x) =
k!
k=
x k
(Taylorreihe)
Dies ist eine unendliche Potenzreihe. Deshalb sind zwei Dinge zu prüfen:
1. Für welche x-Werte konvergiert die Reihe überhaupt?
2. Ist der Grenzwert der Reihe für diese x gleich dem Funktionswert?
Die Antwort ist: Die Reihen konvergieren in einem Konvergenzintervall oder Konvergenzkreis
−ρ < x < ρ, wobei man ρ als Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet.
Für manche Reihen ist ρ = ∞, d. h. sie konvergieren in ganz R, für andere Reihen ist
ρ = 0, d. h. Konvergenz liegt nur für x = 0 vor, die Reihe ist also unbrauchbar für die
Darstellung der Funktion.
Im Bereich der komplexen Zahlen gilt, dass jede Taylorreihe als Grenzwert den Funktionswert
hat, dies ist leider im Reellen manchmal nicht richtig. Das »klassische« Beispiel
ist die Funktion
f(x) = exp (− ) ; x ≠ 0
x 0 ; x = 0
Für diese Funktion ist f(0) = f ′ (0) = f ″ (0) = ⋯ = 0, somit hat die Taylorreihe für alle
x den Wert Null, konvergiert also in ganz R, stellt aber nicht die Funktion f dar, denn
diese hat ja nur an der Stelle 0 den Wert 0.
Trotzdem ist es nicht so schlimm. Die meisten Funktionen sind so geartet, dass ihre
Taylorreihen innerhalb des Konvergenzkreises auch die Funktion darstellen.
4.3. Taylorentwicklung wichtiger Funktionen
Die Konvergenzbereiche der Reihen aus Tab. 2 sind:
Gl. (41): |x| < 1 für beliebige r ∈ R. Für ganze positive r ist die Reihe ein Polynom und
deshalb in ganz R definiert.
Gl. (42) – (44): x ∈ R
Gl. (45) – (46): −1 < x ⩽ 1
Je nach der erforderlichen Güte der Näherung nimmt man mehr oder weniger Glieder
der Reihe. Oft genügt es, nur die beiden ersten Summanden zu nehmen, falls x nahe
genug bei Null liegt. Insbesondere die Näherung
aus Gleichung (41) von Tab. 2 wird sehr häufig benützt.
(1 + x) r ≈ 1 + rx (47)
32

4.4 Entwicklung um andere Punkte
Tab. 2 Reihenentwicklung wichtiger Funktionen
(1 + x) r = 1 + rx +
r(r − 1)
x +
2!
sin x = x − x
3! + x
5! − x
7! ± ⋯ = ∞
r(r − 1)(r − 2)
x + ⋯ =
3!
k=
cos x = 1 − x
2! + x
4! − x
6! ± ⋯ = ∞
k=
∞
e x = 1 + x + x
2! + x
3! + ⋯ = x k
k!
k=
ln(1 + x) = x − x
2 + x
3 − x
4 ± ⋯ = ∞
k=
arctan x = x − x
3 + x
5 − x
7 ± ⋯ = ∞
k=
(−1) k x k+
(2k + 1)!
(−1) k+ x k
(2k)!
(−1) k+ x k
k
(−1) k x k+
2k + 1
∞
r k x k (41)
k=
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
4.4. Entwicklung um andere Punkte
Bisher haben wir die Reihen immer um x = 0 herum entwickelt. Genauso kann man sie
aber auch um einen Punkt x = x entwickeln. Dann ist der Ansatz für das Taylor-Polynom
f(x) = a + a (x − x ) + a (x − x ) + ⋯ + a n (x − x ) n
Dann erhält man mit demselben Vorgehen wie oben für die Taylorreihe:
∞
f (k) (x )
f(x) = (x − x
k! ) k (48)
k=
5. Differentialgleichungen
Gleichungen, in denen neben der Funktion auch Ableitungen der Funktion auftreten,
werden Differentialgleichungen genannt. Sie sind in der Physik allgegenwärtig. Die
Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion. Die höchste auftretende Ableitung
bezeichnet man als die Ordnung der dgl.
Hier können nur die einfachsten Fälle besprochen werden. Das Auffinden der Lösungen
von Differentialgleichungen ist noch schwieriger als das Auffinden von Stamm-
33

5 Differentialgleichungen
funktionen. Mathematica oder Maple können aber sehr viele Differentialgleichungen
lösen.
5.1. Trennung der Variablen
Es soll die folgende dgl gelöst werden:
y ′ = x y
oder
dy
dx = x y
Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass auf jeder Seite nur noch eine Variable
vorkommt. Man sagt, man habe die Variablen getrennt.
dy
y = x dx
Nun kann man beide Seiten der dgl integrieren:
ln y = 1 3 x + C ⇒ y = exp( 1 3 x ) exp(C) = A exp( 1 3 x )
Damit haben wir die möglichen Lösungsfunktionen gefunden. Man beachte das Auftreten
der Integrationskonstanten C. Dadurch wird immer als Lösung einer dgl eine
Funktionenschar herauskommen. In diesem Beispiel sind alle (positiven) Vielfachen der
Exponentialfunktion Lösungen. Lösungen der dgl, die keine allgemeine Integrationskonstante
besitzen, also eine einzelne Funktion und keine Funktionenschar darstellen,
werden partikuläre Lösungen genannt. Lösungen mit allen nötigen Integrationskonstanten
heißen allgemeine Lösungen der dgl.
Die Integrationskonstante braucht nur auf einer Seite der Gleichung angebracht zu
werden, hätte man oben ln y + C = x + C geschrieben, so brauchte man nur C auf
die rechte Seite zu bringen und dann C = C − C zu setzen.
Bei den meisten Problemen sind weitere Bedingungen gegeben, die dann die Integrationskonstante
festlegen. In unserem Beispiel könnte man etwa fordern, dass y = 1 für
x = 3 sei, dann hätte man für die Integrationskonstante A:
1 = Ae ⇒ A = e −
5.2. Totale Differentialgleichung
Ist die Gleichung
u(x, y) = C
mit einer willkürlichen Konstanten C gegeben, dann entsteht durch Bildung des totalen
Differentials:
du = ∂u ∂u
dx + dy = 0 (49)
∂x ∂y
34

5.2 Totale Differentialgleichung
Ist umgekehrt eine Gleichung
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (50)
so entstanden, dann muss sie zur Gleichung (49) äquivalent sein. Sie muss dann eine
Lösung der Form u(x, y) = C besitzen. Eine solche dgl wird total genannt.
Damit eine Gleichung der Form (50) total ist, muss also eine Funktion u(x, y) existieren,
so dass
P(x, y) = ∂u Q(x, y) = ∂u
(51)
∂x
∂y
und somit
∂P
∂y = ∂ u
∂x∂y = ∂Q
∂x
Daraus folgt der Satz:
Die dgl (50) ist genau dann total, wenn die Integrabilitätsbedingung
∂P
∂y = ∂Q
∂x
(52)
erfüllt ist.
Die Lösung geht nun in folgenden Schritten:
Man integriert zunächst die Gleichung:
∂u
∂x
= P ⇒ u(x, y) = P(x, y) dx + φ(y) = S(x, y) + φ(y)
mit einer willkürlichen Funktion φ(y), die bei dieser partiellen dgl an Stelle der Integrationskonstanten
gewöhnlicher dgl’s erscheint. Andererseits ist aber:
Q(x, y) = ∂u
∂y = ∂S
∂y + φ′ (y) ⇒ φ ′ ∂S(x, y)
(y) = Q(x, y) −
∂y
Durch Integration des nun bekannten φ ′ (y) erhält man dann die Integrationskonstante.
Man hätte natürlich ebenso mit der Integration von Q beginnen können.
Beispiel:
ln(y + 1) dx +
Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Es ist:
Daraus folgt
Q(x, y) = ∂u
∂y =
2y(x − 1)
y + 1 dy = 0
u(x, y) = ln(y + 1) dx + φ(y) = x ln(y + 1) + φ(y)
2xy
y + 1 + φ′ (y) ⇒ φ ′ 2y(x − 1)
(y) =
y + 1 − 2xy
y + 1 = − 2y
y + 1
35

5 Differentialgleichungen
Daraus folgt nun
φ(y) = − ln(y + 1) ⇒ u(x, y) = x ln(y + 1) − ln(y + 1) = (x − 1) ln(y + 1)
Die allgemeine Lösung ist also:
5.3. Integrierender Faktor
Zu der Differentialgleichung
(x − 1) ln(y + 1) = C
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
existiert immer ein integrierender Faktor μ(x, y) derart, dass die Gleichung
μP dx + μQ dy = 0
total ist. Wenn man dies nun als gültig anerkennt, dann muss μ(x, y) die Integrabilitätsbedingung
erfüllen:
∂μP
∂y
= ∂μQ
∂x
⇔
P ∂μ
∂y − Q∂μ ∂x + μ ∂P
∂y − ∂Q
∂x = 0 (53)
Diese Gleichung allgemein zu lösen, ist meistens viel schwieriger als die Lösung der
Ausgangsgleichung, allerdings genügt ja die Kenntnis einer partikulären Lösung für
μ(x, y), die man oft durch Raten finden kann. Direkt lösen kann man sie, wenn μ nur von
einer Variablen abhängt. Im Falle, dass z. B. μ = μ(x) gilt, wird Gl. (53)
Qμ ′ (x) = μ ∂P
∂y − ∂Q
∂x ⇒ μ′ (x)
μ(x) = 1 Q ∂P ∂y − ∂Q
∂x (54)
und diese Gleichung kann man sofort integrieren.
Für einen nur von y abhängigen Faktor μ(y) bekommt man entsprechend:
μ ′ (y)
μ(y) = − 1 P ∂P ∂y − ∂Q
∂x (55)
Ein solcher, nur von einer Variablen abhängiger, integrierender Faktor existiert also
genau dann, wenn die rechte Seite von Gl. (54) nur von x bzw. die rechte Seite von Gl. (55)
nur von y abhängig ist.
Beispiel:
Das ist keine totale dgl, denn ∂P
∂y
also nicht erfüllt. Nun ist aber:
(1 − xy) dx + (xy − x ) dy = 0
= −x, aber
∂Q
∂x
1
Q ∂P ∂y − ∂Q
∂x −x − (y − 2x)
= = − 1 xy − x x
= y − 2x, die Integrabilitätsbedingung ist
36

5.4 Lineare Differentialgleichungen
Nun klappt’s:
μ ′
μ = −1 x ⇒ ln |μ| = − ln |x| ⇒ μ = 1 x
Multipliziert man nun die Ausgangsgleichung mit diesem Faktor, dann entsteht die
totale dgl
1 − y dx + (y − x) dy = 0
x
Wendet man auf sie die Methode der Integration totaler dgl’s an, dann bekommt man
die Lösung: (rechne das nach!)
ln |x| − xy + 1 2 y = C
5.4. Lineare Differentialgleichungen
dgl der Form
a(x)y ″ + b(x)y ′ + c(x)y = f(x) (56)
heißen lineare dgl zweiter Ordnung, weil die y und ihre Ableitungen eben nur linear
auftauchen. Ganz entsprechend sind lineare dgl anderer Ordnung definiert.
Ist f(x) = 0, dann heißt die lineare dgl homogen. Diese ist besonders einfach zu lösen,
wenn die Koeffizienten a, b, c konstant sind also nicht von x abhängen. Dann führt immer
der Ansatz y = exp(λx) zum Erfolg.
Sind die Funktionen y (x) und y (x) Lösungen einer solchen homogenen dgl, dann ist
auch ihre Summe y (x) + y (x) wieder eine Lösung. Das ist offensichtlich, man braucht
nur einzusetzen.
Weil hier auch zweite Ableitungen vorkommen, muss man zweimal integrieren, erhält
also nun zwei Integrationskonstanten. Dies ist eine für alle dgl gültige
Regel: Die allgemeine Lösung einer dgl n-ter Ordnung benötigt n frei wählbare Integrationskonstanten.
5.4.1. Etwas Theorie zur linearen DGL
Wir betrachten wieder die allgemeine lineare dgl (56). Sind hier y (x) und y (x) Lösungen,
dann gilt für die Differenz dieser Lösungen durch Einsetzen in (56)
a(x)(y − y ) ″ + b(x)(y − y ) ′ + c(x)(y − y ) = 0
d. h. die Differenz zweier beliebiger Lösungen der linearen dgl ist eine Lösung der
zugehörigen homogenen dgl. Daher scheint es sinnvoll zu sein, zuerst mal die Lösungen
der homogenen dgl zu betrachten.
Die Menge aller Lösungen der homogenen dgl bildet einen Vektorraum, denn wie
wir oben schon erwähnt hatten, ist die Summe zweier Lösungen ebenso wie das skalare
Vielfache ky(x) einer Lösung y(x) wieder eine Lösung.
37

5 Differentialgleichungen
Mit diesen Lösungsfunktionen kann man also wie mit Vektoren rechnen, man kann
also zwei Lösungen u und u als unabhängig bezeichnen, wenn die Gleichung
C u (x) + C u (x) = 0
nur die triviale Lösung C = C = 0 besitzt. Bei linearen dgl 2. Ordnung ist die Dimension
des Lösungsraums zwei, bei dgl 3. Ordnung drei usw.
Sind nun u und u linear unabhängige Lösungen, dann ist die allgemeine Lösung der
homogenen dgl eine Linearkombination der u i , nämlich C u + C u , die u i sind also
die »Basisvektoren« des Lösungsraums.
Nun sei η eine spezielle Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen dgl, die also
keine allgemeinen Integrationskonstanten enthält, und es sei Y die allgemeine Lösung,
die also zwei Integrationkonstanten enthält, dann genügt ja y = Y − η der homogenen
dgl, deren allgemeine Lösung als C u + C u darstellbar ist. Daraus folgt:
Y − η = C u + C u ⇒ Y = C u + C u + η
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Lösung kann man also erhalten als Summe
der allgemeinen Lösung der homogenen dgl plus irgendeiner partikulären Lösung der
inhomogenen dgl.
5.4.2. Lösung der linearen DGL erster Ordnung
Eine lineare dgl erster Ordnung hat die Form:
f(x)y ′ + g(x)y = h(x)
Dividiert man sie durch f(x), so bekommt man die Normalform:
y ′ + p(x)y = q(x) kurz: y ′ + py = q oder: (py − q)dx + dy = 0 (57)
Durch Anwendung der Bedingung Gl. (54) erkennt man (p und q hängen ja nur von x ab)
1
Q ∂P ∂y − ∂Q
∂x = p − 0 = p
1
dass der Ausdruck nur von x abhängt. Damit existiert der integrierende Faktor:
μ ′ (x)
μ(x)
Dann ist die Gleichung
= p(x) ⇒ ln |μ| = p dx
p x
⇒ μ = e∫
(py − q)μ dx + μ dy = 0 ⇒ μ dy + μ ′ y dx = μq dx ⇒ d(μy) = qμ dx ⇒ μy = qμ dx
total und die Lösung kann angegeben werden. Die Umformungen gelten, weil μ ′ = pμ
ist. Damit hat man eine Lösungsformel für die lineare dgl erster Ordnung gefunden:
38

5.4 Lineare Differentialgleichungen
Die Gleichung (57) hat die Lösung:
y = 1 μ qμ dx mit μ = e∫ p x (58)
Die für die allgemeine Lösung nötige Integrationskonstante entsteht als Integrationskonstante
des Integrals ∫ qμ dx.
Anmerkung: Im Fall q = 0 hat man die homogene Gleichung, die mittels Variablentrennung
sofort integriert werden kann und die allgemeine Lösung
y = C e − ∫ p x (59)
besitzt.
Beispiel:
Der integrierende Faktor ist:
weiter ist
ln μ = − x + 1
x
xy ′ − (x + 1)y = x − x ⇒ y ′ − x + 1
x
y = x − x
dx = −x − ln x ⇒ ln(μx) = −x ⇒ μ = e−x
x
μq dx = (x − x ) e−x
x dx = (1 − x)e−x dx = xe −x + C
Damit ist die allgemeine Lösung der dgl:
y = 1 μ qμ dx = xex (xe −x + C) = Cxe x + x
5.4.3. Lösung der linearen DGL mit konstanten Koeffizienten
Wir hatten oben schon erwähnt, dass bei konstanten Koeffizienten die Lösung der homogenen
dgl durch den Exponentialansatz y = exp(λx) ermittelt werden kann. Durch
den Exponentialansatz bekommt man eine Gleichung zweiten Grades (die charakteristische
Gleichung) in λ mit den Lösungen λ und λ . Die allgemeine Lösung ist dann
C e λ x + C e λ x . Das Problem besteht im Auffinden einer partikulären Lösung der inhomogenen
Gleichung. Eine Methode ist die sogenannte Variation der Konstanten.
Dazu ersetzt man die Integrationskonstanten C i der homogenen Lösung C u + C u
durch Funktionen von x und setzt dies in die dgl ein.
Unsere inhomoge dgl zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten sei:
y ″ + py ′ + qy = r(x)
39

5 Differentialgleichungen
mit konstanten p und q. Mit dem Exponentialansatz ermitteln wir die Lösung der homogenen
Gleichung: y = C u + C u . Fasst man hier die C i als Funktionen von x auf, dann
gilt:
y ′ = C ′ u + C ′ u + C u ′ + C u ′
y ″ = (C ′ u + C ′ u ) ′ + C ′ u′ + C′ u′ + C u ″ + C u ″
(60)
Da wir ja nur irgendeine partikuläre Lösung suchen, kann man an die C i vereinfachenden
Forderungen stellen, etwa
C ′ u + C ′ u = 0 und C ′ u′ + C′ u′ = r(x) (61)
wendet man diese Vereinfachungen auf Gl. (60) an, dann folgt:
y ′ = C u ′ + C u ′
y ″ = C u ″ + C u ″ + r(x)
Dies in die inhomogene dgl eingesetzt liefert:
Daraus folgt
C u ″ + C u ″ + r(x) + p(C u ′ + C u ′ ) + q(C u + C u ) = r(x)
C (u ″ + pu′ + qu ) + C (u ″ + pu′ + qu ) = 0
was erfüllt ist, da die u i Lösungen der homogenen Gleichung sind.
Die Gleichungen (61) sind nun zwei Gleichungen für die unbekannten Funktionen C ′
und C ′ . Löst man dieses Gleichungssystem ganz normal nach den C′ auf, dann folgt:
i
C ′ =
−r(x)u
u u ′ − u′ u
C ′ =
r(x)u
u u ′ − u′ u
Mit
entsteht dadurch das allgemeine Integral
y = −u r(x)u
W
W = u u ′ − u′ u
dx + u r(x)u
W
dx (62)
die beiden notwendigen Integrationskonstanten entstehen dabei aus den Integrationskonstanten
der beiden Integrale.
Anmerkung zu zusammenfallenden Lösungen: Ergeben sich beim Exponentialansatz y =
exp(λx) für λ keine zwei Lösungen, so hat man nur eine unabhängige Lösung u = C e λ x.
Eine vollständige allgemeine Lösung ist dann u = (A + Bx)e λx .
Entsprechendes gilt für lineare dgl höherer Ordnung. Eine r-fache Lösung der charakteristischen
Gleichung trägt den Summanden
zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung bei.
(C + C x + ⋯ + C r x r− )e λx (63)
40

5.4 Lineare Differentialgleichungen
Beispiel:
Es sei die dgl gegeben:
y ″ + y = 1
cos x
Ansatz für die Lösung des homogenen Systems: y = e λx . Daraus λ + 1 = 0. Dies
liefert die beiden komplexen Werte λ , = ±i, also die Lösungen e x und e −x . Da jede
Linearkombination ebenfalls eine Lösung ist, kann man wählen (e x + e −x ) = cos x
und (e x − e −x ) = sin x, womit man wieder rein reelle Lösungen erzeugt hat. Damit ist
u = cos x und u = sin x
Für W bekommt man dann W = cos x + sin x = 1 und damit aus Gleichung (62) die
allgemeine Lösung:
y = − cos x tan x dx + sin x dx = cos x ⋅ (A + ln | cos x|) + sin x ⋅ (B + x)
Beispiel: Schwingungsgleichung Als Beispiel lösen wir die Schwingungsgleichung mit
Dämpfung. Diese hat die Form:
ma = −kv − Dx ⇒ m d x
= −kdx
dt dt − Dx
Um sie in eine »schönere« Form zu bringen, verwendet man die folgenden Größen:
ω =
D
m
γ = k m
Damit bekommt die Schwingungsgleichung die folgende Form:
d x
+ γdx
dt dt + ω x = 0 (64)
Das ist eine homogene lineare dgl mit konstanten Koeffizienten.
Mit dem Lösungsansatz
x = e λt
dx
dt = λeλt
d x
dt = λ e λt
folgt nach Einsetzen und Division der Gleichung durch e λt
diese Gleichung hat die beiden Lösungen:
λ + γλ + ω = 0
λ , = − γ 2 ± γ 2 − ω
Nun muss man diverse Fälle unterscheiden:
41

5 Differentialgleichungen
Sind die Lösungen λ und λ beide reell und verschieden, dann kann man die Lösung
sofort angeben:
x(t) = A e λt + A e λt γ
, falls
2 > ω (65)
Man kann die Lösung noch ein bisschen anders schreiben:
x(t) = e −tγ/ (A e Γt + A e −Γt ) mit Γ =
γ 2 − ω < γ 2
Nach längerer Zeit überwiegt der Summand mit A und die Funktion geht über in:
x(t) = A e t(Γ−γ/)
Der nächste Fall ist der zusammenfallender Lösungen, wenn also
λ = λ = λ = − γ 2
ist. Als Lösung kann man nun schreiben:
d. h.
γ
2 = ω
x(t) = A e λt + A e λ = (A + A )e λt = Ce λt
Diese Funktion hat nur noch eine Integrationskonstante, kann also nicht die allgemeine
Lösung sein, sondern nur eine spezielle Lösung. Wo bekommt man jetzt eine zweite
Integrationskonstante her?
Dazu ändert man zunächst γ oder ω ein bisschen ab, so dass wieder zwei Lösungen
entstehen, die sich um einen kleinen Betrag δλ unterscheiden:
λ = λ λ = λ + δλ ⇒ x(t) = e λt (A + A e δλt ) = e λt (A + A (1 + δλ ⋅ t))
wobei man im letzten Schritt die Näherung e x = 1 + x für kleine x verwendet hat. (vgl.
Gl. (44))
Nun führen wir die beiden Integrationskonstanten ein:
A = A + A
B = A δλ
Nun machen wir den Grenzübergang δλ → 0, aber so, dass A und B endlich bleiben.
Dies ist nur möglich, wenn A → −∞ und A → ∞ gilt. Damit erhält man die Lösung:
x(t) = e −γt/ (A + Bt) (66)
Was mit den Ausführungen zu Gl. (63) übereinstimmt.
Diese Lösung wird als aperiodischer Grenzfall bezeichnet. Dies ist auch eine »Begründung«
der Regel über zusammenfallende Lösungen der charakteristischen Gleichung
von oben.
Schließlich der letzte Fall: γ/2 < ω 0 . Dann werden die λ komplex. Wir setzen nun:
ω =
ω − γ
4 ∈ R ⇒ λ , = − γ 2 ± iω
42

5.4 Lineare Differentialgleichungen
Setzt man diese λ in die Lösung Gl. (65) ein, dann bekommt man:
x(t) = e −γt/ (A e ωt + A e −ωt )
= e −γt/ [A (cos ωt + i sin ωt) + A (cos ωt − i sin ωt)]
Hier haben wir die Eulersche Formel verwendet. Wir sortieren die Gleichung noch
etwas um:
x(t) = e −γt/ [(A + A ) cos ωt + i(A − A ) sin ωt]
Da die Lösung aus physikalischen Gründen reell sein muss, müssen die A k selbst komplex
sein, und zwar so
A + A = A und A − A = −iB
mit reellen A und B. Mit dieser Setzung wird 2A = A − Bi und 2A = A + Bi. Nun
bekommt man wieder eine reellwertige Funktion:
x(t) = e −γt/ [A cos ωt + B sin ωt] (67)
Dies ist die allgemeine Lösung im dritten Fall. Sie stellt nun tatsächlich eine harmonische
Schwingung dar, die durch den Faktor exp(−γt/2) gedämpft wird.
Beispiel Keplerbewegung:
Energiesatz:
Für die Keplerbewegung gilt der Drehimpulssatz und der
m(r × dr
dt ) = L 1
m dr
2 dt − GMm = E
r
Da die Bewegung in einer Ebene verläuft, führt man in dieser Ebene Polarkoordinaten
ein, dann gilt dr = dr + r dφ . Für den Betrag des Drehimpulses L gilt dann
L = mr ⋅ r dφ
dt
= mr
dφ
dt
da nur die zu r senkrechte Komponente von dr/dt zum Drehimpulsbetrag beiträgt. Die
Energiegleichung wird dann zu:
E = m 2 ⋅ dr + r dφ
dt
− GMm
r
= m ⎛ dr dφ dφ ⎞
2 ⎜ +
⎝dφ r
dt dt ⎟
⎠
− GMm
r
Gesucht ist ja die Funktion r(φ), deshalb wird die Energiegleichung so umgeformt,
dass nur noch r und φ vorkommen. Nun ist aber wegen des Drehimpulses
dφ
dt
L h
= ≡
m r r
und dies eingesetzt in die Energiegleichung liefert
E = m 2
dr h
dφ r
+
h
r − GMm
r
43

5 Differentialgleichungen
Setzt man nun noch r = 1/u, dann ist dr/dφ = −u ′ /u , wobei der Strich die Ableitung
nach φ bedeutet. Damit bekommt man:
E = m 2 u′ u h u + h u − GMmu = h m
2 u′ + u − GMmu
Leitet man diese Gleichung ein weiteres mal nach φ ab, dann entsteht:
0 = h m
2 2u′ u ″ + 2uu ′ − GMmu ′ ⇒ u ″ + u = GM
h (68)
Dies ist wieder eine lineare dgl mit konstanten Koeffizienten. Zwei unabhängige
Lösungen der homogenen Gleichung u ″ + u = 0 sind cos φ und sin φ, wieder ist W = 1
und die allgemeine Lösung lautet:
u = − cos φ GM
h
= GM
h
GM
sin φ dφ + sin φ cos φ dφ
h
− cos φ ⋅ (A − cos φ) + sin φ ⋅ (B + sin φ)
= GM (1 − A cos φ + B sin φ)
h = GM
h (1 + ε cos(φ + φ ))
wobei ε = A + B und tan φ = B/A ist.
Damit hat man nun:
die bekannte Kegelschnittlösung.
1
r = GM
h (1 + ε cos(φ + φ )) ⇒ r =
h
GM
1 + ε cos(φ + φ )
Beispiel Planetenbahn in der A R T : In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Bahn
eines Körpers durch die Geodäten der Raumzeit bestimmt, das sind die Linien, die zwei
Ereignisse der Raumzeit so verbinden, dass ihre Länge extremal wird. (Auf einer Kugel
sind etwa die Großkreise, also die Kreise, deren Mittelpunkt mit dem Kugelmittelpunkt
zusammenfällt die Geodäten.)
Für die Geodäten unter der Schwarzschildmetrik, das ist die Metrik der Raumzeit, die
in der Umgebung einer nicht rotierenden kugelsymmetrischen Masse vorliegt, bekommt
man fast dieselbe dgl wie Gleichung (68), nämlich
u ″ + u = R
2h + 3 2 Ru mit R = 2GM
c (69)
dabei bezeichnet man R als den Schwarzschildradius. Es tritt zur Gleichung (68) nur das
Glied mit u hinzu.
44

5.4 Lineare Differentialgleichungen
Wie löst man nun eine solche Gleichung? Nun, die Bahn muss der oben berechneten
Kegelschnittbahn sehr ähnlich sein, denn die Newtonsche Mechanik funktioniert bei der
Planetenbewegung sehr genau, daher kann man als erste Näherung die Newtonsche
Lösung für u verwenden, also (mit φ = 0):
u = R (1 + ε cos φ)
2h Setzt man das in die rechte Seite von Gleichung (69) ein, dann folgt:
u ″ + u = R 3R
+
2h 8h (1 + 2ε cos φ + ε cos φ)
Neben der gewohnten Lösung des homogenen Systems braucht man für diese Gleichung
eine partikuläre Lösung für jeden Summanden rechts, also für jede der dgl’s
u ″ + u = A u ″ + u = A cos φ u ″ + u = A cos φ
Die Summe dieser partikulären Lösungen ist dann eine partikuläre Lösung der dgl. Dass
man dies machen darf, folgt wieder aus der Tatsache, dass die Summe zweier Lösungen
einer linearen dgl wieder eine Lösung ist.
Diese partikulären Lösungen sind dann:
u = A u = 1 2 Aφ sin φ u = 1 2 A − 1 A cos 2φ
6
wie man durch Einsetzen bestätigen kann.
Nun entsteht die allgemeine Lösung als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen
Gleichung plus partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung.
u fügt nur eine Konstante zur Lösung hinzu, das ändert nichts wesentliches, u
fügt eine Konstante hinzu sowie einen oszillierenden Teil mit kleiner Amplitude. (Man
beachte, dass R eine sehr kleine Größe ist, und damit auch A). Damit kann auch der
Beitrag von u in erster Näherung vernachlässigt werden. Nicht vernachlässigt werden
kann dagegen der Beitrag von u , denn er enthält φ als Faktor, wächst also ständig
(betragsmäßig).
Die nächstbeste Näherung nach der reinen Keplerbahn ist also:
u = R
3R
R
(1 + ε cos φ + εφ sin φ) ≈
2h 4h 2h 1 + ε cos 1 − 3R
4h φ
Für die Näherung hat man cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β verwendet und dann
cos β ≈ 1, sin β ≈ β für kleine Winkel. Es zeigt sich, dass u und damit auch r eine
periodische Funktion von φ sind mit der Periode
2π
1 − 3R /(4h ) > 2π
45

5 Differentialgleichungen
Daraus folgt, dass das Perihel der Bahn nicht nach einem Umlauf von 360 ∘ = 2π erreicht
wird, sondern dieses um einen Winkel Δ bei jedem Umlauf vorrückt, wobei gilt
Δ =
2π
1 − 3R
4h
− 2π ≈ 2π(1 + 3R 3R 3πR
− 1) = ≈
4h 2h a(1 − ε )
Die letzte Näherung folgt aus der Tatsache, dass 2h /R ja gerade der Parameter des
Kegelschnitts ist und somit 2h /R = a(1 − ε ) gilt, wo a die große Halbachse ist. Dies ist
die bekannte Periheldrehung, die beim Merkur mit a = 5, 8 ⋅ 10 m, T = 88 Tage, ε = 0, 2
und R Sonne = 3 km etwa 5 ⋅ 10 − rad = 0, 105 ″ pro Umlauf beträgt, das sind in einem
Jahrhundert, also 418 Umläufen dann ca 43 ″ .
Es ist zu beachten, dass durch Bahnstörungen in einem Jahrhundert eine Präzession
des Perihel von ca. 5600 ″ im Jahrhundert entsteht, der durch die A R T zu erklärende
Anteil sind nur diese dagegen kleinen 43 ″ . Trotzden war diese Abweichung schon vor
der A R T bekannt und führte zu Vermutungen über einen weiteren Planeten innerhalb
der Merkurbahn.
Man fragt sich (hoffentlich) weshalb man bei der Näherung φ als klein ansetzen konnte,
obwohl u stetig größer wird. Nun man kann zeigen, dass die Lösung der Gleichung (69)
unter Anfangsbedingungen, die auf Ellipsen führen, eine periodische Funktion sein
muss, so dass wir eine typischen Teil der Bahn beschreiben konnten. Es gibt allerdings
auch noch andere Lösungen dieser Gleichung, die kein klassisches Analogon haben,
etwa Bahnen, die sich spiralförmig auf das Zentrum zu bewegen.
5.4.4. Superposition linearer DGL
Im letzten Beispiel haben wir die Möglichkeit der Superposition von Lösungen einer
linearen dgl ausgenützt.
Nehmen wir an, wir hätten zwei lineare dgl der Form (56), die sich nur in den rechten
Seiten unterscheiden, also
a(x)y ″ + b(x)y ′ + c(x)y = f (x) (70)
a(x)y ″ + b(x)y ′ + c(x)y = f (x) (71)
Sei nun y (x) bzw. y (x) eine Lösung von (70) bzw. (71), dann erhält man durch Einsetzen
dieser Lösung und anschließender Addition der beiden Gleichungen:
a(x)(y ″ + y″ ) + b(x)(y′ + y′ ) + c(x)(y + y ) = f (x) + f (x)
Diese Möglichkeit der Superposition linearer dgl bedeutet nun, dass man die Lösung
der Gleichung
a(x)y ″ + b(x)y ′ + c(x)y = f (x) + f (x) (72)
aus den Einzellösungen y (x) und y (x) der Gleichungen (70) und (71) durch einfache
Addition erhalten kann. Die Lösung y(x) von Gl. (72) ist also gegeben durch
y(x) = y (x) + y (x)
46

5.4 Lineare Differentialgleichungen
5.4.5. Einige direkte Ansätze für partikuläre Lösungen
In vielen Fällen findet man bei linearen dgl mit konstanten Koeffizienten eine partikuläre
Lösung ohne die Variation der Konstanten anwenden zu müssen. Einige Fälle seien hier
ohne Beweis mitgeteilt.
Bezeichnet man mit D den Operator D = , dann kann eine solche Gleichung in der
x
Form
F(D)y = f(x)
geschrieben werden, z. B. ist y ″ + y ′ − 6y = 8e x dasselbe wie (D + D − 6)y = 8e x und
das charakteristische Polynom ist dann F(λ) = λ + λ − 6.
Nun gilt:
1. Ist f(x) = Ae αx , so ist eine partikuläre Lösung y = Aαx
, sofern F(α) ≠ 0 ist.
F(α)
Sollte α eine r-fache Nullstelle von F(α) sein, also F(D) = G(D)(D − α) r gelten, dann
ist die partikuläre Lösung durch y = Aαx x r
gegeben.
r!G(α)
2. Mit obiger Regel kann man auch den Fall f(x) = A sin ωx mittels komplexer Rechnung
erledigen, indem man f(x) als Imaginärteil von Ae ωx betrachtet.
3. Ist f(x) ein Polynom vom Grad k, so kann man für die partikuläre Lösung ebenfalls
ein Polynom k-ten Grades ansetzen.
4. Ist f(x) = P k (x)e αx , wo P k ein Polynom k-ten Grades ist, dann ist Q k (x)e αx , wo Q k
ein Polynom höchstens k-ten Grades ist, eine partikuläre Lösung.
5. Der Fall f(x) = P k (x)e αx cos ωx lässt sich auf den vorigen zurückführen indem man
f(x) als Realteil von P k (x)e (α+ω)x betrachtet.
Beispiel: (D + 1) y = e −x + x . Linke Seite ausgeschrieben lautet: y ‴ + 3y ″ + 3y ′ + y.
Die charakteristische Gleichung hat nur die dreifache Nullstelle λ = −1. Die allgemeine
Lösung der homogenen Gleichung ist demnach: u = (C + C x + C x )e −x . Wir müssen
nun partikuläre Lösungen für die rechten Seiten x und e −x suchen. Nach dem
Superpositionsprinzip ergibt sich ja die Gesamtlösung als Summe der Lösungen für die
Summanden.
Für x setzt man y = A + Bx + Cx an. Dann erhält man durch Einsetzen:
0 + 3 ⋅ 2C + 3 ⋅ (B + 2Cx) + (A + Bx + Cx ) = x ⇒
(C − 1)x + (B + 6C)x + (A + 3B + 6C) = 0
woraus durch Koeffizientenvergleich C = 1, B = −6 und A = 12 folgt. Damit ist die
partikuläre Lösung y = x − 6x + 12
Für den Summanden ist Regel 1 anzuwenden. Hier ist α = −1 eine r = 3 fache Nullstelle
von F(λ), damit ist G(D) = 1 und die Partikulärlösung lautet: y = x e −x
Somit ist die allgemeine Lösung der dgl:
y = (C + C x + C x + x )e −x + x − 6x + 12
47

5 Differentialgleichungen
Beispiel: y ″ − 7y ′ + 12y = e x (x − 5x )
Die charakteristische Gleichung liefert λ = 3 und λ = 4. Als Ansatz für die Partikulärlösung
nimmt man: y = (A + Bx + Cx + Dx )e x Dann ist
y ′ = e x [(2A + B) + (2C + 2B)x + (3D + 2C)x + 2Dx ] und
y ″ = e x [4A + 4B + 2C + (4B + 8C + 6D)x + (4C + 12D)x + 4Dx ]
Einsetzen des Ansatzes liefert:
(2A − 3B + 2C) + (2B − 6C + 6D)x + (5 + 2C − 9D)x + (2D − 1)x = 0
woraus durch Koeffizientenvergleich folgt: D = ; C = − ; B = −
und A = −
Da die homogene Lösung u = C e x + C e x lautet, ist die Lösung der dgl:
y = C e x + C e x + e x 1 2 x − 1 4 x − 9 4 x − 28 8
Beispiel: y ″ + a y = e μx cos ax
Die Lösung der homogenen Gleichung ist C cos ax + C sin ax.
Wir betrachten die rechte Seite als Realteil von e (μ+a)x . Nach Regel 4 kann man ansetzen:
y = Ae (μ+a)x , dann ist y ″ = Ae (μ+a)x (μ + ia)
Einsetzen liefert:
Damit ist:
A(μ + ai) + Aa = 1 ⇒ A =
1
a + (μ + ai) = μ − 2iμa
μ + 4μ a
y = e(μ+a)x (μ + 2ia)
⇒ Ry = eμx (μ cos ax + 2μa sin ax)
μ + 4μ a μ + 4μ a
Für die partikuläre Lösung brauchen wir nur den Realteil, also lautet die vollständige
Lösung der dgl:
y = C cos ax + C sin ax +
e μx
μ + 4a cos ax + 2a
μ sin ax
Beispiel (erzwungene Schwingung):
Wir betrachten die Gleichung:
x ̈ + γx ̇ + ω x = a cos ωt (73)
Dies ist die Schwingungsgleichung wie im oben behandelten homogenen Fall, nur wird
der Schwinger nun durch eine periodische Kraft mit der Kreisfrequenz ω angeregt. Man
kann die rechte Seite wieder als Realteil von ae ωt auffassen. Mit komplexer Rechnung
war ja die homogenen Lösung gegeben durch
u(t) = e −γt/ (A e Ωt + A e −Ωt ) mit Ω =
ω − γ
4
48

5.4 Lineare Differentialgleichungen
Die Integrationskonstanten A und A sind hier komplex, stellen also vier reelle Konstanten
dar. Die allgemeine Lösung braucht aber nur zwei reelle Konstanten, so dass A = 0
gesetzt werden kann. Damit hat man für den physikalisch allein sinnvollen Realteil dann
mit A = Ae φ das Ergebnis:
Ru(t) = R Ae −γt/ e (Ωt+φ) = Ae γt/ cos(Ωt + φ)
Dies ist die allgemeinste Lösung der Gleichung (64), wobei hier Ω komplex sein kann,
nämlich dann, wenn die Lösungen λ , = − γ ± iΩ der charakteristischen Gleichung reell
sind.
u(t) beschreibt also eine Bewegung in der komplexen Ebene, ihr Realteil die Projektion
dieser Bewegung auf die x-Achse.
Für das charakteristische Polynom haben wir hier F(D) = D + γD + ω . Nach der
Regel 1 von oben hat man dann als Ansatz für eine partikuläre Lösung zu nehmen (mit
α = iω):
v(t) = aeiωt
F(iω) = ae ωt
ae
=
ωt
−ω + iγω + ω ω − ω + iγω
falls F(iω) ≠ 0 ist. Der Fall, dass F(iω) = 0 ist, tritt auf, wenn ω = γ ± Ω ist. Dieser
Fall kann bei echten Schwingungen, wo Ω reell ist, nicht vorkommen, da sonst die
Erregerfrequenz selbst komplex sein müsste.
Im allgemeinen Fall bekommt man so zunächst als komplexe Lösung der erzwungenen
Schwingung:
ae ωt
x(t) = u(t) + v(t) = Ae −γt/+(Ωt+φ) +
ω − ω + iγω
Wir wollen hier nur den einzig interessanten Fall der »echten« Schwingung betrachten,
wo also Ω reell ist. Dann klingt wegen der Dämpfung die homogene Lösung nach
Beendigung des Einschwingvorgangs auf Null ab, so dass nur die partikuläre Lösung v
verbleibt. Für diese gilt dann
v(t) ≡ Ce (ωt+δ) = ae ωt ((ω − ω ) − iγω)
(ω − ω ) + ω γ ⇒ C =
a
(ω − ω ) + ω γ (74)
Die Phasenverschiebung zwischen der Erregerschwingung und e ωt und v(t) ist dann
gegeben durch
e δ =
(ω − ω ) − iγω
(ω − ω ) + ω γ ⇒ tan δ =
δ
Ie
Re = − γω
δ ω − (75)
ω
Wir können feststellen, dass die maximale Amplitude auftritt, wenn ω ≈ ω ist (Resonanzfall),
ohne Dämpfung (also mit γ = 0) bekäme man dann unendliche Auslenkung,
die Dämpfung drückt die Amplitude auf einen endlichen Wert herunter.
49

5 Differentialgleichungen
Lässt man ω von 0 an ins Unendliche wachsen, so erkennt man, dass die Phase für
kleine ω Null ist, also Schwinger und Erreger gleichphasig sind, mit wachsenden Werten
wird dann die Phase negativer, bis sie bei ω = ω den Wert − π = −90∘ erreicht. Steigt
nun die Erregerfrequenz weiter, so wird die Phase zu −π = −180 ∘ , also schwingen dann
Erreger und Schwinger gegenphasig. Der Schwinger hinkt also immer dem Erreger nach.
Noch eine Anmerkung zur genauen Lage des Maximums der Amplitude C: Ableiten
und Null setzen von C(ω) führt auf die Gleichung
mit den Lösungen
2ω(ω − ω ) = ωγ
ω = 0;
C(0) = a ω
und ω res =
ω − γ ; C(ω res ) =
a
γ
ω − γ
Damit liegt die Resonanzfrequenz unterhalb von ω . Ohne äußere Erregung würde das
System mit der Eigenfrequenz Ω =
ω − γ schwingen.
Bei ω = 0 liegt ein lokales Minimum vor, denn für ω → ∞ wird C = 0.
Das Verhältnis der Amplituden bei ω res und ω = 0 bezeichnet man als Resonanzüberhöhung,
sie hat den Wert:
ω
≈ ω
γ ω
− γ ≈ ω res
γ
γ
Die Näherungen gelten, wenn γ ≪ ω ist.
Mehrere Anregungsfrequenzen: Nun kann man noch den Fall untersuchen, dass der
Schwinger von den Frequenzen ω , … , ω n angeregt wird. Dann hat die rechte Seite von
Gleichung (73) in komplexer Schreibweise die Form:
n
F(t) = a k e ω k t
k=
Nach dem Superpositonsprinzip addieren sich dann die Lösungen nach dem Schema
der Gleichungen (74) und (75) auf zur Lösung
n
v(t) = C k e (ω k t+δ k ) = (C k e δ k)e ω k t
k=
Stellen wir uns nun noch F(t) als »beliebige« Funktion vor, so kann man diese in eine
Fourierreihe entwickeln (n geht dabei gegen Unendlich). Die Losung der Bewegungsgleichung
ist dann ebenfalls eine Fourierreihe mit den Koeffizienten
C k e δ k =
n
k=
a k
ω − ω k + iω kγ
50

B
A
B
y 1
y 0
y
A 1 ∗ y 1 y2
∗
y 0
x 0 x 1 x 0 x 1 x 2
h
h h
Abb. 7 Zur numerischen Integration (links) und numerischen Lösung von dgl (rechts).
Diese Situation kann man so interpretieren: Der Oszillator führt eine Fourieranalyse
der Kraftfunktion F(t) durch. Er zeigt maximale Schwingungsamplitude für ω k ≈ ω . So
stellt man bei elektromagnetischen Schwingungen den Radiosender ein. Die einfallenden
Wellen haben Maxima bei den Frequenzen der diversen Sender; der Schwingkreis im
Empfänger wird solange verändert, bis er die Frequenz eines der empfangbaren Sender
erreicht hat.
6. Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
Bevor wir in diesem Abschnitt auf die Lösung von Differentialgleichungen eingehen,
betrachten wir die numerische Integration.
6.1. Numerische Integration
6.1.1. Die Trapezregeln
Von der Funktion f(x) seien zwei Stützwerte A(x | y ) und B(x | y ) gegeben. Um das
Integral
x
x
f(x) dx
zu berechnen, kann man in erster Näherung die Fläche durch das Trapez ersetzen, das
die Strecke AB anstelle der Kurve hat. Schreibt man h = x − x , dann ist die Fläche
näherungsweise
x
x
dx ≈ T = h(y + y ) (76)
Das ist die so genannte Trapezregel.
Zur Abschätzung des Fehlers benützen wir die Tangenten in den Punkten A und B
und bezeichnen noch die Ableitungen an den Stützstellen mit
y ′ = f′ (x ) und y ′ = f′ (x )
51

6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
Die linke Tangente trifft die mittlere Vertikale auf der Höhe y + hy′ , somit ist die Fläche
des linken Tangententrapezes
h
4 y + y + hy′ = hy + h y ′
Entsprechend hat das rechte Tangententrapez die Fläche
hy − h y ′
Die Summe T ∗ dieser beiden Trapeze ist eine andere Näherung für das Integral:
T ∗ = h(y + y ) + h (y ′ − y′ ) = T − h (y ′ − y′ )
Ist nun – wie in Abb. 7 – die Kurve im Intervall [x ; x ] eine Linkskurve, also f ″ (x) > 0,
dann liegt der echte Integralwert zwischen den Werten von T und T ∗ . Damit gilt für den
Fehler der Trapezregel:
x
x
f(x) dx − T ⩽ h (y ′ − y′ )
Dasselbe ist richtig, wenn die Kurve eine Rechtskurve ist, also immer dann, wenn sie
keinen Wendepunkt hat. Die Trapezregel wird also umso ungenauer, je stärker die Kurve
gekrümmt ist. Bei der Trapezregel werden alle Werte addiert, es kann also auch bei
kleinen Schrittweiten h nicht zu Auslöschung durch Subtraktion kommen.
Sowohl T als auch T ∗ liefern ein exaktes Ergebnis, wenn f eine lineare Funktion (eine
Gerade) ist. Nun versuchen wir, durch Kombination von T und T ∗ eine Näherung zu
erhalten, die für Parabeln exakt ist. Wir bilden dazu den Ausdruck pT + qT ∗ mit den
Gewichten p und q, deren Summe p + q = 1 ist. Auch diese Summe integriert Geraden
dann noch richtig. Falls sie auch f(x) = x richtig integriert, kann sie es für alle Parabeln.
Wir nehmen x = 0 und h = 1 an. Dann ist ja
x dx = 1
3
und T = 1 2
Daher sind p und q so zu bestimmen, dass gilt
und T ∗ = 1 4
p + q = 1
Daraus folgt p = und q = . Damit ist
und
p + q =
pT + qT ∗ = T −
h (y ′ − y′ )
Damit bekommt man die verbesserte Trapezregel
x
x
f(x) dx ≈ h(y + y ) − h (y ′ − y′ ) (77)
Diese Formel hat die schöne Eigenschaft, sogar Polynome dritten Grades exakt integrieren
zu können. Zur Übung sollte man nachrechnen, dass x richtig integriert wird.
52

6.1 Numerische Integration
6.1.2. Fortgesetzte Halbierung
Wir wollen nun annehmen, dass wir jeden beliebigen Funktionswert der Funktion f(x)
bestimmen können. Dann kann man die Stützstellen so legen, wie es einem passt. Das
Integrationsintervall hat nun die Länge l = b − a. Zur Vereinfachung soll hier a = 0 und
l = 1 gesetzt werden. Wir wollen also das Integral
f(x) dx
näherungsweise bestimmen. Die gröbste Näherung ist mit der Trapezformel über das
ganze Intervall:
T = f(0) + f(1)
Um die Näherung zu verbessern, halbiert man das Intervall und wendet die Trapezformel
auf jedes Teilintervall an. Den Wert des linken Trapezes nennen wir T( ), weil x = die
Mitte des linken Trapezes ist und den rechten T( ). Die Summe dieser beiden Werte ist
dann:
T = T( ) + T( ) = f(0) + 2f( ) + f(1) = T + f (78)
Für eine weitere Halbierung braucht man nun die Trapeze
T = f(0) + f( )
T = f( ) + f( )
T = f( ) + f( )
T
= f( ) + f(1)
Die Summe ist dann:
T = 1 8 f(0) + 2f( ) + 2f( ) + 2f( ) + f(1)
anders geschrieben:
T = 1 2 T + f( ) + f( ) (79)
Jetzt erkennt man das System: Es muss immer das Mittel der hinzukommenden Funktionswerte
zum vorhergehenden Trapezwert addiert werden. Damit wäre die nächste Verbesserung:
T = 1 2 T + f( ) + f( ) + f( ) + f( ) (80)
Ist f eine stetige Funktion, dann erhält man auf diese Weise eine Folge T , T , T , … von
Näherungen, die gegen das Integral streben.
Wie bei der Trapezregel soll wieder eine Verbesserung gesucht werden, die auch
quadratische Funktionen exakt berechnet. Es war ja
x dx = 1
3
und T = 1 2
und T = 3 8
53

6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
Für die Gewichte der Kombination pT + qT bekommt man daraus die Gleichungen:
p + q = 1
Damit bekommt man den Wert:
p + q =
⇒
p = −
q =
S = 4T − T
(81)
3
Diese Formel ist wieder sogar für Polynome dritten Grades exakt. Man kann sie so
deuten: Sind die Werte f(0), f( ) und f(1) bekannt, so legt man durch diese Stützpunkte
eine Parabel und integriert diese anstelle der Funktion f. Nun kann man wieder auf die
Teilintervalle übergehen, was ich nicht weiter vorführen will, weil es langsam langweilig
wird. Man bekommt wie zu erwarten für die Summe der beiden Teilintervalle dann
S = 4T − T
3
und
S = 4T − T
3
usw.
Man könnte jetzt wieder die Summen S und S so gewichten, dass sie für Polynome
vom 4. Grade exakt wird, nach dem schon geübten Vorgehen bekommt man dann
C = 4 S − S
4 − 1
und
C = 4 S − S
4 − 1
usw.
Sie sind sogar für Polynome 5. Grades exakt. Auf diese Weise kann man weitermachen
und C und C gewichten. Das schöne dabei ist, dass es ganz regelmäßig weitergeht:
D = 4 C − C
4 − 1
und
D = 4 C − C
4 − 1
usw.
Die D i sind nun sogar für Polynome 7. Grades exakt. Wie das weitergehen muss, ist nun
offensichtlich. Damit erhält man eine Integrationstabelle:
T
T
S
T S C
T S C D
T S C D E
In dieser Tabelle konvergiert jede Spalte und jede absteigende Diagonale gegen den Integralwert.
Wenn das Integrationsintervall nicht die Länge 1, sondern die Länge l hat, dann muss
man am Ende noch mit l multiplizieren. Man treibt die Tabelle so weit voran, bis rechts unten
ein »Nest« von Werten entsteht, die in hinreichend vielen Dezimalen übereinstimmen.
Die Werte S i nennt man Simpsonsche, die C i Cotessche Näherungswerte. Die D i sind für
Polynome 8. Grades i. a. nicht mehr exakt.
Die Keplersche Fassregel
Integriert man über ein Intervall der Länge l = x − x mit Mittelpunkt x , dann gilt ja,
wenn man die Ordinaten an den x i wieder mit y i bezeichnet:
T = l 2 (y + y ) T = l 4 (y + 2y + y ) ⇒ S = l 6 (y + 4y + y )
54

6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Diese Näherung ist die Keplersche Fassregel. Sie ist i. a. etwas weniger genau als die
verbesserte Trapezregel, hat aber den Vorteil, dass man keine Ableitungen kennen muss.
x
x
f(x) dx ≈ l 6 (y + 4y + y ) (82)
Bei fünf äquidistanten Stützstellen bekommt man durch Addition über die beiden Teilintervalle
dann:
x
x
f(x) dx ≈ l
12 (y + 4y + 2y + 4y + y )
Das kann man beliebig weitertreiben. Die Randpunkte haben einfaches, die geraden
Punkte doppeltes und die ungeraden vierfaches Gewicht. Das ist die Formel von Simpson.
(Im Nenner steht die dreifache Intervallzahl.)
6.2. Numerische Lösung von Differentialgleichungen
6.2.1. Differentialgleichungen erster Ordnung
Einführendes Beispiel
Als Einführungsbeispiel wollen betrachten:
y ′ = −xy (83)
Diese Gleichung kann mittels Trennung der Variablen geschlossen gelöst werden, so
dass wir gut prüfen können, wie gut unsere Näherungen funktionieren. Die Lösung ist
y = Ce −x /x
mit y(0) = 1 dann y = e −x /
Das Richtungsfeld dazu findet man in der Abb. 8. Nun wollen wir eine Näherungslösung
unter der Anfangsbedingung y(x ) = y aufstellen. Wir wollen den Funktionswert von y
an der Stelle x = x +h bestimmen. Dazu integrieren wir beide Seiten von Gleichung (83):
x
x
y ′ dx = − x
xy dx ⇒ y(x ) − y(x ) = − x
xy dx
x
Das erste Integral konnte mühelos berechnet werden, das rechte – tun wir mal so – konnte
nicht. Der Integrand ist die Funktion xy(x). Mit der Trapezregel (76) bekommt man dafür
die Näherung:
und damit
x
x
xy dx ≈ h[x y(x ) + x y(x )]
y(x ) ≈ y(x ) − h[x y(x + x y(x ))]
Wir haben nun durch diese Diskretisierung aus der dgl eine normale lineare Gleichung
gemacht. Man bekommt nun durch Auflösen nach dem Näherungswert y ≈ y(x )
y = 2 − hx
2 + hx
⋅ y (84)
x
55

6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
2
1
-2 -1 1 2
-1
-2
Abb. 8 Richtungsfeld der dgl von Gleichung (83)
Der Näherungswert wird umso genauer ausfallen, je kleiner die Schrittweite h ist. Nun
lassen wir einen weiteren Iterationsschritt folgen, der nun y als Startwert nimmt und
den Wert y an der Stelle x = x + h annähern soll. Dann ist
y = 2 − hx
2 + hx
⋅ y
Da y schon ungenau war, wird y den gesuchten Wert y(x ) mit höherer Ungenauigkeit
liefern; es ist also mit einer Erhöhung des Fehlers im Verlauf des Verfahrens zu
rechnen. Deshalb wird man in der Praxis den Schritt h nicht konstant lassen, sondern
verkleinern, wenn man in Gegenden kommt, wo y(x) stärker variiert. Damit hat man die
Rekursionsformel:
y n+ =
2 − hx n
⋅ y
2 + hx n (85)
n+
Ein Zahlenbeispiel für x = 0, y = 1 und h = 0, 1 liefert die Tabelle
x = 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
y = 0.995 0.980 0.956 0.923 0.882
Diese Näherungen sind auf drei Dezimalen genau.
56

6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Die Schwierigkeit bei der numerischen Integration von dgl ist die Wahl einer günstigen
Schrittweite h und deren Regulierung während des Prozesses. Ein kleines h hält
zwar den Diskretisierungs-Fehler klein, begünstigt aber infolge der vielen Schritte die
Akkumulation der numerischen Fehler.
Allgemeines Vorgehen
Vorgelegt ist nun die dgl
y ′ = f(x, y) mit Anfangsbedingung y(x ) = y (86)
Wie im Beispiel oben wählt man nun einen Schritt h, der zur Stelle x = x + h führt und
integriert die Gleichung über das Intervall:
y(x ) = y(x ) + x
f(x, y) dx
Mit der Trapezregel bekommt man die Näherung:
x
y = y + h[f(x , y ) + f(x , y )] (87)
wobei hier leider die gesuchte Größe y auch noch auf der rechten Seite auftaucht. Oben
konnte man die Gleichung leicht nach y auflösen, aber das kann Schwierigkeiten bereiten.
In diesem Falle muss man die Gleichung numerisch lösen. Dazu braucht man einen
»vernünftigen« Näherungswert für y . Diesen kann man bekommen, wenn man die
Funktion f linearisiert, also statt der Funktion selbst die Tangente verwendet. Damit
bekommt man als Näherungswert für y :
y ∗ = y + hy′ = y + hf(x , y ) (88)
Diese Gleichung nennt man den Prädikator, weil sie einen ersten Wert für y vorhersagt.
Setzt man nun diesen in die rechte Seite von Gleichung (87) ein, dann erhält man:
y = y + h[f(x , y ) + f(x , y ∗ )] (89)
Diese Formel nennt man den Korrektor. Eigentlich müsste man nun den so gewonnenen
Wert von y wieder rechts in (87) einsetzen usw. Das wird üblicherweise nicht gemacht,
den irgendwann muss man ja abbrechen.
Begnügt man sich bei der Näherung für y mit dem Prädikator, so spricht man vom
Verfahren von Euler, verwendet man auch noch den Korrektor, dann hat man das
verbesserte Euler-Verfahren, das auch Methode von Heun genannt wird. Diese Methode
besteht also aus zwei Schritten:
Prädikator: y ∗ = y + hf Korrektor: y = y + h(f + f ∗ ) (90)
wobei gesetzt wurde:
f = f(x , y ) und f ∗ = f(x , y ∗ )
57

6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
An diesen ersten Schritt wird nun ein weiterer Schritt, ausgehend von den Anfangswerten
(x , y ), angeschlossen usw.
Verfahren von Runge-Kutta
Man kann auf den Gedanken kommen, die Trapezregel durch eine bessere Regel, etwa
die Keplersche Fassregel, zu ersetzen. Außer dem Anfangswert y sei dazu auch der Wert
y am Ende des ersten Schritts bekannt. Wir fügen nun einen zweiten Schritt derselben
Länge h an, der nach x führt; sodann wird die dgl über das Intervall von x bis x
integriert:
Die Werte an den Stellen sind dann
y(x ) = y(x ) + x
x
f(x, y(x))dx (91)
f = f(x , y ) f = f(x , y(x )) f = f(x , y(x ))
Das Integrationsintervall hat die Länge l = 2h und man bekommt mit der Keplerschen
Fassregel
Damit erhält man
x
x
f(x, y(x)) dx = h[f + 4f + f ]
y = y + h[f + 4f + f ] (92)
Auch diese Gleichung ist im allgemeinen Fall nur näherungsweise nach y auflösbar;
wir brauchen also wieder einen Prädikator y ∗ für y . Den konstruiert man wie oben. An
den Stellen x und x sind ja nicht nur die Funktionswerte y und y (näherungsweise)
bekannt, sondern wegen der dgl auch die Ableitungen y ′ = f(x , y ) und y′ = f(x , y ).
In der Abb. 7 rechts hat man also in den beiden Punkten A und B die Funktionswerte
samt ihren Ableitungen, man kann also durch diese Punkte ein Polynom dritten Grades
P(x) legen. Mit den Abkürzungen p = x − x und q = x − x lautet dieses
Die Ableitung ist:
P(x) = 1 h q (3p − q)y − p (3q − p)y + 1 h pq y ′ + p qy ′
P ′ (x) = 6pq
h (y − y ) + 1 h q(q + 2p)y′ + p(p + 2q)y′
An der Stelle x ist p = 0 und q = −h, woraus sofort P(x ) = y und P ′ (x ) = y ′ folgt.
Entsprechend ist in x dann p = h und q = 0, woraus P(x ) = y und P ′ (x ) = y ′ folgt. Das
Polynom ist also richtig. Nun ist der Wert des Polynoms an der Stelle x , wo p = 2h und
q = h ist, gegeben durch
y ∗ = P(x ) = 5y − 4y + 2hy′ + 4hy′
(93)
Das ist der Prädikator. Einsetzen in Gleichung (92) liefert dann den Korrektor:
y = y + h(f + 4f + f ∗ ) (94)
58

6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen
wo erwartungsgemäß f ∗ = f(x , y ∗ ) gesetzt wurde.
Schlecht an diesem Vorgehen ist, die Tatsache, dass y als bekannt vorausgesetzt wurde.
Dem kann man abhelfen, indem man diesen Wert mit der verbesserten Eulerschen
(Heunschen) Methode bestimmt. Setzt man den dortigen Wert Gleichung (93) ein, so
nimmt der Prädikator die Form an:
y ∗ = y − 2hf ∗ + 4hf
Fasst man nun alle Rechenschritte zusammen, dann erhält man:
y ∗ = y + hf y = y + h(f + f∗ )
y ∗ = y − 2hf∗ + 4hf y = y + h(f + 4f + f∗ )
In der Literatur findet man dieses Schema in anderer Form gegeben. Um es zu erhalten,
führen wir die Hilfsgrößen ein
k = 2hf k = 2hf ∗
k = 2hf k = 2hf ∗
Damit bekommt man das Schema für die erste Methode von Runge-Kutta, wo man
jetzt h = x − x setzt, um die beiden Schritte x → x und x → x verschmelzen zu
können.
k = hf(x , y )
k = hfx + h 2 , y + k
2
k = hfx + h 2 , y + k
4 + k
4 k = hf(x + h, y − k + 2k )
y = y + (k + 4k + k )
Ein etwas anderes Schema ist das folgende, das praktisch ebenso genau ist. Es wird
zweite Methode von Runge-Kutta genannt und üblicherweise verwendet:
k = hf(x , y )
k = hfx + h 2 , y + k
2
k = hfx + h 2 , y + k
2 k = hf(x + h, y + k )
y = y + (k + 2k + 2k + k )
Für unsere Beispiels-dgl y ′ = −xy bekommt man im ersten Schritt mit x = 0, y = 1
und h = 0, 1 der Reihe nach:
k = 0; k = −0, 005; k = −0, 00049875; k = −0, 00995013; y = 0, 995012479
Alle hier gezeigten Stellen sind exakt. Fügt man nach diesem Schema 9 weitere Schritte
an, dann bekommt man y(1) ≈ 0, 606531. Dieses Ergebnis ist auf 6 Stellen genau.
59

6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen
6.2.2. Gleichungssysteme und DGL höherer Ordnung
Differentialgleichungen höherer Ordnung werden immer auf ein System von Differentialgleichungen
erster Ordnung zurückgeführt. Nimmt man z. B. die Gleichung
y ″ + P(x)y ′ + Q(x)y = F(x)
Dann kann man y ′ = p setzen und erhält das System aus zwei Gleichungen:
y ′ = p
p ′ = F(x) − P(x)p − Q(x)y ≡ f(x, y, p)
Dieses System benötigt wie die ursprüngliche dgl zweiter Ordnung zwei Anfangsbedingungen:
y(0) = y und p(0) = p .
Analog geht man vor, wenn man dgl noch höherer Ordnung hat. Als Beispiel soll ein
physikalisches Problem gelöst werden: Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit
Induktivität L und einem Kondensator mit Kapazität C. Wir suchen die Stromstärke I
und die Spannung U an der Spule als Funktion der Zeit. Dann bekommt man das System:
dI
dt = 1 L ⋅ U(t) und dU
dt = − 1 ⋅ I(t) (95)
C
Die Anfangsbedingungen seien:
I(0) = I und U(0) = U
Dieses System löst man nun mit genau denselben Waffen numerisch, die im vorigen
Abschnitt benützt wurden, also mittels der Methoden von Euler oder Runge-Kutta.
Man wählt einen kleinen Zeitschritt h und integriert beide Gleichungen:
I(h) = I + 1 L h U(t) dt
U(h) = U − 1 C h I(t) dt
Nähert man die Integrale mittels der Trapezregel, dann bekommt man
I = I + h
2L (U + U )
U = U − h
2C (I + I )
Löst man dieses lineare Gleichungssystem auf, dann erhält man die Rekursionsformeln:
I =
1 − h
CL I + h L U
1 + h
CL
und U =
− h C I + 1 − h
CL U
1 + h
CL
Von diesen Werten ausgehend macht man dann den Schritt zum Zeitpunkt 2h usw.
Natürlich kann man auch die bessere Methode von Runge-Kutta benützen. Dann
bekommt man ein Schema wie in Tabelle 3 für das allgemeine System
y ′ = f(x, y, z) z ′ = g(x, y, z) mit y(x ) = y z(x ) = z
Jeder k- bzw. l-Wert wird berechnet, indem man die Funktion f bzw. g mit den Argumenten
auswertet, die in derselben Zeile davor stehen und das so ermittelte Resultat
noch mit h multipliziert.
60

6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Tab. 3 Runge-Kutta-Schema für ein System aus zwei Differentialgleichungen erster Ordnung
x y z k l
x y z k l
x + h
x + h
y + k
y + k
z + l
z + l
k l K
k l L
x + h y + k z + l k l
x + h y = y + K z = z + L
K = (k + 2k + 2k + k )
L = (l + 2l + 2l + l )
61