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5.4 Lineare Differentialgleichungen
Wie löst man nun eine solche Gleichung? Nun, die Bahn muss der oben berechneten
Kegelschnittbahn sehr ähnlich sein, denn die Newtonsche Mechanik funktioniert bei der
Planetenbewegung sehr genau, daher kann man als erste Näherung die Newtonsche
Lösung für u verwenden, also (mit φ = 0):
u = R (1 + ε cos φ)
2h Setzt man das in die rechte Seite von Gleichung (69) ein, dann folgt:
u ″ + u = R 3R
+
2h 8h (1 + 2ε cos φ + ε cos φ)
Neben der gewohnten Lösung des homogenen Systems braucht man für diese Gleichung
eine partikuläre Lösung für jeden Summanden rechts, also für jede der dgl’s
u ″ + u = A u ″ + u = A cos φ u ″ + u = A cos φ
Die Summe dieser partikulären Lösungen ist dann eine partikuläre Lösung der dgl. Dass
man dies machen darf, folgt wieder aus der Tatsache, dass die Summe zweier Lösungen
einer linearen dgl wieder eine Lösung ist.
Diese partikulären Lösungen sind dann:
u = A u = 1 2 Aφ sin φ u = 1 2 A − 1 A cos 2φ
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wie man durch Einsetzen bestätigen kann.
Nun entsteht die allgemeine Lösung als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen
Gleichung plus partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung.
u fügt nur eine Konstante zur Lösung hinzu, das ändert nichts wesentliches, u
fügt eine Konstante hinzu sowie einen oszillierenden Teil mit kleiner Amplitude. (Man
beachte, dass R eine sehr kleine Größe ist, und damit auch A). Damit kann auch der
Beitrag von u in erster Näherung vernachlässigt werden. Nicht vernachlässigt werden
kann dagegen der Beitrag von u , denn er enthält φ als Faktor, wächst also ständig
(betragsmäßig).
Die nächstbeste Näherung nach der reinen Keplerbahn ist also:
u = R
3R
R
(1 + ε cos φ + εφ sin φ) ≈
2h 4h 2h 1 + ε cos 1 − 3R
4h φ
Für die Näherung hat man cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β verwendet und dann
cos β ≈ 1, sin β ≈ β für kleine Winkel. Es zeigt sich, dass u und damit auch r eine
periodische Funktion von φ sind mit der Periode
2π
1 − 3R /(4h ) > 2π
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