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6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen
wo erwartungsgemäß f ∗ = f(x , y ∗ ) gesetzt wurde.
Schlecht an diesem Vorgehen ist, die Tatsache, dass y als bekannt vorausgesetzt wurde.
Dem kann man abhelfen, indem man diesen Wert mit der verbesserten Eulerschen
(Heunschen) Methode bestimmt. Setzt man den dortigen Wert Gleichung (93) ein, so
nimmt der Prädikator die Form an:
y ∗ = y − 2hf ∗ + 4hf
Fasst man nun alle Rechenschritte zusammen, dann erhält man:
y ∗ = y + hf y = y + h(f + f∗ )
y ∗ = y − 2hf∗ + 4hf y = y + h(f + 4f + f∗ )
In der Literatur findet man dieses Schema in anderer Form gegeben. Um es zu erhalten,
führen wir die Hilfsgrößen ein
k = 2hf k = 2hf ∗
k = 2hf k = 2hf ∗
Damit bekommt man das Schema für die erste Methode von Runge-Kutta, wo man
jetzt h = x − x setzt, um die beiden Schritte x → x und x → x verschmelzen zu
können.
k = hf(x , y )
k = hfx + h 2 , y + k
2
k = hfx + h 2 , y + k
4 + k
4 k = hf(x + h, y − k + 2k )
y = y + (k + 4k + k )
Ein etwas anderes Schema ist das folgende, das praktisch ebenso genau ist. Es wird
zweite Methode von Runge-Kutta genannt und üblicherweise verwendet:
k = hf(x , y )
k = hfx + h 2 , y + k
2
k = hfx + h 2 , y + k
2 k = hf(x + h, y + k )
y = y + (k + 2k + 2k + k )
Für unsere Beispiels-dgl y ′ = −xy bekommt man im ersten Schritt mit x = 0, y = 1
und h = 0, 1 der Reihe nach:
k = 0; k = −0, 005; k = −0, 00049875; k = −0, 00995013; y = 0, 995012479
Alle hier gezeigten Stellen sind exakt. Fügt man nach diesem Schema 9 weitere Schritte
an, dann bekommt man y(1) ≈ 0, 606531. Dieses Ergebnis ist auf 6 Stellen genau.
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