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Der Koeffizientenvergleich ist deshalb so leicht gegangen, weil wir schon einige Werte
mit der Einsetze-Methode ermittelt hatten. Man hätte statt des Koeffizientenvergleichs
auch weitere Gleichungen erzeugen können, indem man einfach weitere Zahlen einsetzt.
Wenn irgend möglich, sollte man versuchen mit der Einsetze-Methode zum Ziel zu
kommen. Am aller einfachsten ist es allerdings, Mathematica anzuwerfen, dann hat man
das Integral in Sekundenbruchteilen.
4. Approximierung – Taylorreihen
In der Physik werden komplizierte Formeln häufig durch Näherungen ersetzt, damit
man das zu untersuchende Modell mathematisch einfacher beschreiben kann.
Die wichtigste Technik dabei ist die Entwicklung einer Funktion in eine Reihe. Die am
häufigsten vorkommende Reihe ist die Taylorreihe.
4.1. Das Taylorpolynom
Man versucht eine gegebene Funktion f(x) durch ein Polynom anzunähern. Dazu kann
man zunächst den folgenden Ansatz machen:
f(x) = a + a x + a x + a x + ⋯ + a n x n = a k x n
Leitet man die Funktion ab, so ergibt sich:
n
k=
f ′ (x) = a + 2a x + 3a x + ⋯ + na n x n− = ka k x k−
n
k=
n
f ″ (x) = 2a + 6a x + ⋯ + n(n − 1)a n x n− = k(k − 1)x k−
⋮
f (n) (x) = n! a n
⋮
Setzt man den Wert 0 für x in die obigen Gleichungen ein, dann ergibt sich:
a = f(0) a = f ′ (0) a = f″ (0)
2
k=
… a k = f(k) (0)
k!
Ist die Funktion f selbst kein Polynom, dann ist diese Reihe stets nur eine Näherung,
die Werte der Reihe unterscheiden sich dann vom Funktionswert f(x) um ein »Restglied«
R n (x). Wir schreiben:
n
f (k) (0)
f(x) = x k + R
k!
n (x) (Taylorpolynom) (40)
k=
…
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