Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

2 Differentialrechnung
cos Δx − 1
Δx
=
(cos Δx − 1)(cos Δx + 1)
Δx(1 + cos Δx)
= cos Δx − 1
Δx(cos Δx + 1)
= −sin
Δx
Δx
sin Δx
cos Δx + 1
Der erste Faktor im letzten Ausdruck hat den Grenzwert 1, der zweite Faktor wird im
Zähler Null und im Nenner 2, also hat dieser den Grenzwert Null und somit auch der
ganze Ausdruck.
Damit erhält man
(sin x) ′ Δy
= lim = sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1 = cos x
Δx→ Δx
Die Ableitungen weiterer Funktionen findet man in allen Formelsammlungen.
2.3. Geometrische Bedeutung der Ableitung
Die Ableitung f ′ (x) einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an.
Entsprechend gibt f ″ (x) die Steigung der Ableitungsfunktion an.
2.3.1. Maxima und Minima
Ist für eine Funktion in einem Intervall a ⩽ x ⩽ b die Ableitung f ′ (x) > 0, dann ist f
in diesem Intervall streng monoton steigend. Dies ist sogar dann noch richtig, wenn in
einzelnen, isolierten Punkten des Intervalls f ′ (x) = 0 ist. Vgl. dazu die Funktion y = x ,
die streng monoton in R ist und an allen Stellen außer x = 0 eine positive Ableitung
(y ′ = 3x ) hat. In anderen Worten: f ′ (x) darf nicht in einer ganzen Umgebung eines
Punktes Null sein.
Auf diese Weise lassen sich die Maxima und Minima der Funktion bestimmen. Ist
etwa die Funktion in einem Intervall a < x < x monoton steigend im anschließenden
Intervall x < x < b monoton fallend, so muss bei x ein Maximum auftreten. Da dort
das Vorzeichen von f ′ (x) von Plus auf Minus wechselt, muss f ′ (x ) = 0 sein. Die analoge
Überlegung gilt für die Minima.
Damit hat man: Kandidaten für Maxima und Minima einer Funktion sind die Stellen
x , an denen f ′ (x ) = 0 gilt. Ob an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum oder Maximum
vorliegt, muss an Hand des Vorzeichenwechsels von f ′ an der Stelle x entschieden
werden. So hat etwa die Funktion f(x) = x die Ableitung f ′ (x) = 3x , für diese gilt
f ′ (0) = 0, trotzdem liegt dort kein Extrempunkt vor, denn sowohl links als auch rechts
der Stelle x = 0 ist das Vorzeichen von f ′ (x) positiv.
2.3.2. Krümmung einer Kurve
Ist in einem Intervall a < x < b die zweite Ableitung f ″ (x) > 0 dann ist f ′ (x) streng
monoton steigend. Dadurch wird die Tangente an die Funktion f immer steiler. Das
bedeutet, dass f eine Linkskurve ist. (Wenn man in Richtung zunehmender x auf der Kurve
entlangfährt, so muss man das Steuer nach links einschlagen). Entsprechend bedeutet
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