Mathematische Grundlagen - SFZ-WEB-Seite Mathematik-Server

5 Differentialgleichungen
Daraus folgt, dass das Perihel der Bahn nicht nach einem Umlauf von 360 ∘ = 2π erreicht
wird, sondern dieses um einen Winkel Δ bei jedem Umlauf vorrückt, wobei gilt
Δ =
2π
1 − 3R
4h
− 2π ≈ 2π(1 + 3R 3R 3πR
− 1) = ≈
4h 2h a(1 − ε )
Die letzte Näherung folgt aus der Tatsache, dass 2h /R ja gerade der Parameter des
Kegelschnitts ist und somit 2h /R = a(1 − ε ) gilt, wo a die große Halbachse ist. Dies ist
die bekannte Periheldrehung, die beim Merkur mit a = 5, 8 ⋅ 10 m, T = 88 Tage, ε = 0, 2
und R Sonne = 3 km etwa 5 ⋅ 10 − rad = 0, 105 ″ pro Umlauf beträgt, das sind in einem
Jahrhundert, also 418 Umläufen dann ca 43 ″ .
Es ist zu beachten, dass durch Bahnstörungen in einem Jahrhundert eine Präzession
des Perihel von ca. 5600 ″ im Jahrhundert entsteht, der durch die A R T zu erklärende
Anteil sind nur diese dagegen kleinen 43 ″ . Trotzden war diese Abweichung schon vor
der A R T bekannt und führte zu Vermutungen über einen weiteren Planeten innerhalb
der Merkurbahn.
Man fragt sich (hoffentlich) weshalb man bei der Näherung φ als klein ansetzen konnte,
obwohl u stetig größer wird. Nun man kann zeigen, dass die Lösung der Gleichung (69)
unter Anfangsbedingungen, die auf Ellipsen führen, eine periodische Funktion sein
muss, so dass wir eine typischen Teil der Bahn beschreiben konnten. Es gibt allerdings
auch noch andere Lösungen dieser Gleichung, die kein klassisches Analogon haben,
etwa Bahnen, die sich spiralförmig auf das Zentrum zu bewegen.
5.4.4. Superposition linearer DGL
Im letzten Beispiel haben wir die Möglichkeit der Superposition von Lösungen einer
linearen dgl ausgenützt.
Nehmen wir an, wir hätten zwei lineare dgl der Form (56), die sich nur in den rechten
Seiten unterscheiden, also
a(x)y ″ + b(x)y ′ + c(x)y = f (x) (70)
a(x)y ″ + b(x)y ′ + c(x)y = f (x) (71)
Sei nun y (x) bzw. y (x) eine Lösung von (70) bzw. (71), dann erhält man durch Einsetzen
dieser Lösung und anschließender Addition der beiden Gleichungen:
a(x)(y ″ + y″ ) + b(x)(y′ + y′ ) + c(x)(y + y ) = f (x) + f (x)
Diese Möglichkeit der Superposition linearer dgl bedeutet nun, dass man die Lösung
der Gleichung
a(x)y ″ + b(x)y ′ + c(x)y = f (x) + f (x) (72)
aus den Einzellösungen y (x) und y (x) der Gleichungen (70) und (71) durch einfache
Addition erhalten kann. Die Lösung y(x) von Gl. (72) ist also gegeben durch
y(x) = y (x) + y (x)
46