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6 Näherungsverfahren für Differentialgleichungen 6.2.2. Gleichungssysteme und DGL höherer Ordnung Differentialgleichungen höherer Ordnung werden immer auf ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung zurückgeführt. Nimmt man z. B. die Gleichung y ″ + P(x)y ′ + Q(x)y = F(x) Dann kann man y ′ = p setzen und erhält das System aus zwei Gleichungen: y ′ = p p ′ = F(x) − P(x)p − Q(x)y ≡ f(x, y, p) Dieses System benötigt wie die ursprüngliche dgl zweiter Ordnung zwei Anfangsbedingungen: y(0) = y und p(0) = p . Analog geht man vor, wenn man dgl noch höherer Ordnung hat. Als Beispiel soll ein physikalisches Problem gelöst werden: Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit Induktivität L und einem Kondensator mit Kapazität C. Wir suchen die Stromstärke I und die Spannung U an der Spule als Funktion der Zeit. Dann bekommt man das System: dI dt = 1 L ⋅ U(t) und dU dt = − 1 ⋅ I(t) (95) C Die Anfangsbedingungen seien: I(0) = I und U(0) = U Dieses System löst man nun mit genau denselben Waffen numerisch, die im vorigen Abschnitt benützt wurden, also mittels der Methoden von Euler oder Runge-Kutta. Man wählt einen kleinen Zeitschritt h und integriert beide Gleichungen: I(h) = I + 1 L h U(t) dt U(h) = U − 1 C h I(t) dt Nähert man die Integrale mittels der Trapezregel, dann bekommt man I = I + h 2L (U + U ) U = U − h 2C (I + I ) Löst man dieses lineare Gleichungssystem auf, dann erhält man die Rekursionsformeln: I = 1 − h CL I + h L U 1 + h CL und U = − h C I + 1 − h CL U 1 + h CL Von diesen Werten ausgehend macht man dann den Schritt zum Zeitpunkt 2h usw. Natürlich kann man auch die bessere Methode von Runge-Kutta benützen. Dann bekommt man ein Schema wie in Tabelle 3 für das allgemeine System y ′ = f(x, y, z) z ′ = g(x, y, z) mit y(x ) = y z(x ) = z Jeder k- bzw. l-Wert wird berechnet, indem man die Funktion f bzw. g mit den Argumenten auswertet, die in derselben Zeile davor stehen und das so ermittelte Resultat noch mit h multipliziert. 60
6.2 Numerische Lösung von Differentialgleichungen Tab. 3 Runge-Kutta-Schema für ein System aus zwei Differentialgleichungen erster Ordnung x y z k l x y z k l x + h x + h y + k y + k z + l z + l k l K k l L x + h y + k z + l k l x + h y = y + K z = z + L K = (k + 2k + 2k + k ) L = (l + 2l + 2l + l ) 61
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