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1.2 Ellipse
Zunächst erkennt man, dass Punkt R zum Winkel φ = 90 ∘ gehört, dann ist aber
cos φ = 0 und r = p, d. h. der Parameter ist die Ordinate im Brennpunkt. Das gilt für alle
Kegelschnitte.
Aus Gl. (1) folgt sofort, dass der kürzeste Abstand r p dann erreicht ist, wenn der
cos φ = 1 ist, also φ = 0 und entsprechend der größte, wenn cos φ = −1 ist, also φ = π.
Damit gilt
r p =
p r
1 + ε
a =
p
(2)
1 − ε
Die große Halbachse a ist a = (r p + r a ), damit gilt:
a = 1 2 p
1 + ε + p
1 − ε = p 2
⋅
1 − ε + 1 + ε
1 − ε =
p
1 − ε oder p = a(1 − ε ) (3)
Der zweite Brennpunkt F ′ hat die Koordinate F ′ (r p − r a | 0) und ein beliebiger Punkt X
auf der Ellipse hat die Koordinaten X(r cos φ | r sin φ), wobei r aus Gl. (1) zu nehmen ist.
Hieraus folgt, dass die für die lineare Exzentrizität e gilt:
r p − r a = − 2pε = −2aε ⇒ e = ε a (4)
1 − ε Damit ist F ′ (−2e | 0). Nun gilt
Weiter bekommt man für F ′ X:
FX =
p
1 + ε cos φ
F ′ X = (r cos φ + 2e) + r sin φ = 4e + r + 4er cos φ
Setzt man hier ein: e = aε = pε/(1 − ε ) und r = p/(1 + ε cos φ), dann folgt (am besten mit
einem Algebraprogramm rechnen!):
F ′ X = p(1 + ε + 2ε cos φ)
(1 − ε )(1 + ε cos φ)
und schließlich:
FX + F ′ X =
2p = 2a
1 − ε Damit haben wir die erste Brennpunkteigenschaft der Ellipse bewiesen:
Die Summe der Entfernungen eines Ellipsenpunktes von den beiden Brennpunkten
ist immer das Doppelte der großen Halbachse.
Wegen der Wichtigkeit dieses Resultats noch eine zweite Herleitung. Wir zeigen, dass
alle Punkte X, für die FX + F ′ X = 2a gilt, auf einer Ellipse liegen. Wir bezeichnen dazu
r = FX, r = F ′ X und ∢(F ′ FX) = 180 ∘ − φ, sowie F ′ F = 2e. Die Forderung ist dann
r + r = 2a. Nach dem Kosinussatz gilt nun
r = r + (2e) + 4r e cos φ
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